【创新设计】2014高考数学一轮复习 第六章 不等关系与不等式训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第六章不等关系与不等式训练理新人教A版第一节不等关系与不等式备考方向要明了考什么怎么考1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式组的实际背景3掌握不等式的性质及应用本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现1依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；2利用不等式的性质进行大小关系的比较3不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用归纳知识整合1比较两个实数大小的法则设A，BR，则1ABAB0；2ABAB0；3ABAB02不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ABBB，BCAC可加性ABACBCERRORACBC可乘性ERRORACBD同向同正可乘性ERRORACBD可乘方性AB0ANBNNN，N2可开方性AB0NN，N2NANB同正探究1同向不等式相加与相乘的条件是否一致提示不一致同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立21ABBANBNNN，且N1对吗提示1不成立，当A，B同号时成立，异号时不成立2不对，若N为奇数，成立，若N为偶数，则不一定成立自测牛刀小试1教材习题改编给出下列命题ABAC2BC2；A|B|A2B2；ABA3B3；|A|BA2B2其中正确的命题是ABCD解析选B当C0时，不成立；当|A|1，B2时，不成立2如果AR，且A2AAA2ABAA2A2ACAA2AA2DA2AAA2解析选BA2AB，CD，且C，D不为0，那么下列不等式成立的是AADBCBACBDCACBDDACBD解析选D由不等式的性质知，AB，CDACBD4教材习题改编已知AB0，CD0，则与的大小关系为_ADBC解析CD0，01D1C又AB0，0ADBCADBC答案ADBC5已知12NCMND不确定2甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则A甲先到教室B乙先到教室C两人同时到教室D谁先到教室不确定自主解答1MNA1A2A1A21A1A2A1A21A1A21A21A11A21，又A10,1，A20,1，A110，即MN0MN2设甲用时间为T，乙用时间为2T，步行速度为A，跑步速度为B，距离为S，则T，S2AS2BS2AS2BSAB2ABSTATB2T2SABT2TS0，即乙先到教室SAB2AB2SABAB24AB2ABABSAB22ABAB答案1B2B若将本例1中“A1，A20,1”改为“A1，A21，”，试比较M与N的大小解MNA1A2A1A21A11A21，当A1，A21，时，A110，A210A11A210MN0，即MN比较大小的常用方法1作差法一般步骤是作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差2作商法一般步骤是作商；变形；判断商与1的大小；结论注意所比较的两个数的符号3特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路2比较下列各组中两个代数式的大小13X2X1与2X2X1；2当A0，B0且AB时，AABB与ABBA解13X2X12X2X1X22X2X1210，3X2X12X2X12AABBBAAABABABAABBABBA1BAB当AB，即AB0，1时，AB1，AABBABBAABAB当A1，AABBABBAABAB当A0，B0且AB时，AABBABBA不等式性质的简单应用例312012湖南高考设AB1，C；ACLOGABCCACB其中所有的正确结论的序号是ABCD2已知三个不等式AB0，BCAD0，0其中A，B，C，D均为实数，用其中CADB两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A0B1C2D3自主解答1ERRORABERROR，1AB1ABCBCACACB所以正确；ERRORERRORACLOGABC，ERRORAC1LOGBACLOGAAC，所以LOGBACLOGABC所以正确2由AB0，BCAD0，即BCAD，得，即0；CADBCADB由AB0，0，即，得BCAD，CADBCADB即BCAD0；由BCAD0，0，CADB即0，得AB0；BCADAB故可组成3个正确的命题答案1D2D与不等式有关的命题的真假判断在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等32013包头模拟若A0BA，CBC；2BD；4ADCBDC中能成立的个数是A1B2C3D4解析选CA0B，C0，AD0BA，AB0CD0ACBDACBDDAB，ACBD，即ACBD3正确AB，DC0，ADCBDC4正确1个区别不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“”，“B”，“AB，AB0B0,0；ACBD0B0，M0，则真分数的性质BM0；BABMAMBABMAM假分数的性质；0ABAMBMABAMBM3个注意点应用不等式的性质应注意的问题1在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如AB，BBAC2BC2；若无C0这个条件，ABAC2BC2就是错误结论当C0时，取“”3“AB0ANBNNN，N1”成立的条件是“N为大于1的自然数，AB0”，假如去掉“N为大于1的自然数”这个条件，取N1，A3，B2，那么就会出现“3121”的错误结论；假如去掉“B0”这个条件，取A3，B4，N2，那么就会出现“3242”的错误结论易误警示解题时忽视不等式的隐含条件而致误典例2013盐城模拟已知1D，则“AB”是“ACBD”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析选B由ERRORAB；而当AC2，BD1时，满足ERROR，但ACBD不成立，所以“AB”是“ACBD”的必要不充分条件22013朔州模拟已知AABAB2BAB2ABACABAAB2DABAB2A解析选D由1AB2A3设，那么2的取值范围是0，20，23AB0，566，56C0，D6，解析选D0ACBCBA0CCB20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当B0时C不正确5设A，B为正实数，则“A0，B0，A，由不等式的性质A0，B0，ABABAB12答案A2B2ABAB128若XYZ1，则，从大到小依次为_XYZXYYZXZ解析因为XYZ1，所以有XYXZ，XZYZ，XYZXY，于是有XYZXYXZYZ答案，XYZXYXZYZ9已知函数FXAX22AX4A0，若M0，AA10又M0，当X1时，X1X210，即X3X2X1；当X1时，X1X210，即X3X2X1；当XBC，求证01AB1BC1CA证明ABC，CBACAB001AB1AC0又BC0，01AB1CA1BC01AB1BC1CA12已知FXAX2C且4F11，1F25，求F3的取值范围解由题意，得ERROR解得ERROR所以F39ACF1F25383因为4F11，所以F15353203因为1F25，所以F28383403两式相加，得1F320，故F3的取值范围是1,201限速40KM/H的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度V不超过40KM/H，写成不等式就是AV40KM/HCV40KM/HDV40KM/H解析选D速度V不超过40KM/H，即V40KM/H2已知A，B，CR，则“AB”是“AC2BC2”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析选BAB/AC2BC2，因为当C20时，AC2BC2；反之，AC2BC2AB3若|AB|解析选DAB1A1BA2X2X|XB2ARAX2BXC0A0的解集X|X1XX2探究1AX2BXC0，AX2BXC0对一切XR都成立的条件为ERRORAX2BXC0的解集代替0的解集，你认为如何求不等式0，则ABAX|40，得X3或X3或X0的解集为ERROR，则AB的值为A6B5C6D5解析选CX1，是方程AX2BX10的两根，131即又1，BA13BA23131AA3，B2AB64教材习题改编若关于X的一元二次方程X2M1XM0有两个不相等的实数根，则M的取值范围为_解析方程X2M1XM0有两个不相等的实数根，M124M0，即M26M10M3222答案，3232，225不等式X2AX40，即A216A4或A0；2X24X50；3AX2A1X10，所以方程X28X30有两个不等实根X14，X24又二次函数YX28X3的图象开口向下，所1313以原不等式的解集为X|41若A0，解得X1X1A1A若A0，原不等式等价于X11时，1，解X11；当01时，解集为ERROR若将本例2改为“X24X50”呢解424516204172172由，得0A0恒成立的充要条件是A0且B24AC15X00时均有A1X1X2AX10，则A_解析X0，当A1时，A1X11对于X2AX10，设其两根为X2，X3，且X20又当X0时，原不等式恒成立，通过YA1X1与YX2AX1图象可知X1必须满足方程X2AX10，即X1X3，1A1代入解得A或A0舍32答案32名师点评1本题具有以下创新点1本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题2本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平2解决本题的关键1将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题；2若直接通过函数求导、求最小值，则运算量大，基本上无法求解；而通过一次函数Y1A1X1X0及二次函数Y2X2AX1X0图象的变化情况，再结合Y1Y2的结果得出为方程X2AX10的根，使问题得以巧妙解决1A1变式训练1偶函数FXXR满足F4F10，且在区间0,3与3，上分别递减和递增，则不等式X3FX1的解集为A2,33，2B，22C2,3D，22解析选A由导函数图象知当X0，即FX在，0上为增函数；当X0时，FX1等价于FX26F2或FX26F3，即212已知不等式2XX2的解集为P，不等式X1X20的解集为X|20对于一切XR恒成立1当A24A50时，有A5或A1若A5，不等式化为24X30，不满足题意；若A1，不等式化为30，满足题意2当A24A50时，应有ERROR解得1XX2的解集是_解析不等式|XX2|XX2的解集即XX2FA，则实数A的取值范围是_解析FX是奇函数，当XFA，得2A2A，即21或X0的解集是AB1，12，1C，12，D1，12解析选D2X2X10，2X1X10，X1解集为ERROR122如果不等式0，所以不等式可化为2X32342X22MXM0依题意有62M283M12，解得X30X10，解得X40X30KM/H，X乙40KM/H，经比较知乙车超过限速，应负主要责任第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题备考方向要明了考什么怎么考1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1考查形式选择题或填空题2命题角度1求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值范围，如2012年广东T5，新课标全国T14，山东T5等2利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如2012年江西T8等3将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如2012年陕西T14，福建T9等归纳知识整合1二元一次不等式表示的平面区域1一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AXBYC0表示直线AXBYC0某一侧的所有点组成的平面区域半平面不包括边界直线不等式AXBYC0所表示的平面区域半平面包括边界直线2对于直线AXBYC0同一侧的所有点X，Y，使得AXBYC的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合AXBYC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合AXBYC03可在直线AXBYC0的某一侧任取一点，一般取特殊点X0，Y0，从AX0BY0C的符号来判断AXBYC0或AXBYC0，代入X2Y2得10，即点1,1在X2Y20的内部，在XY10的内部，故所求二元一次不等式组为ERROR4下列各点中，与点1,2位于直线XY10的同一侧的是A0,0B1,1C1,3D2，3解析选C当X1，Y2时，XY112120，当X1，Y3时，XY113110，故1,3与1,2位于直线XY10的同侧52012广东高考已知变量X，Y满足约束条件ERROR则ZX2Y的最小值为A3B1C5D6解析选C变量X，Y满足的不等式组ERROR表示的平面区域如图所示，作辅助线L0X2Y0，并平移到过点A1，2时，ZX2Y达到最小，最小值为5二元一次不等式组表示的平面区域例12012福建高考若直线Y2X上存在点X，Y满足约束条件ERROR则实数M的最大值为A1B1CD232自主解答如图所示约束条件ERROR表示的可行域如阴影部分所示当直线XM从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，M取最大值解方程组ERROR得A点坐标为1,2，故M的最大值是1答案B二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线AXBYC0B不为0及点PX0，Y0，则1若B0，AX0BY0C0，则点P在直线的上方，此时不等式AXBYC0表示直线AXBYC0的上方的区域2若B0，AX0BY0C0，则截距取最大值时，Z也取最大值；截距取最小值时，Z也取最小值ZBZB2若B0时，求导得FX，所以曲线在点1,0处的切线的斜率K1，切线1X方程为YX1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为，0，1，12，01,0，平移直线X2Y0，可知在点0，1处Z取得最大值2答案2一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1不等式组ERROR所表示的平面区域的面积等于AB3223CD4334解析选C平面区域如图解ERROR得A1,1，易得B0,4，C，0，43|BC|44383SABC11283432在平面直角坐标系XOY中，满足不等式组ERROR的点X，Y的集合用阴影表示为下列图中的解析选C|X|Y|把平面分成四部分，|X|Y|表示含Y轴的两个区域；|X|1，在约束条件ERROR下，目标函数ZXMY的最大值小于2，则M的取值范围为A1,1B1，22C1,3D3，解析选AM1，由ERROR画出可行域，如图所示对于目标函数ZXMY，即YX，平移直线YX到B处Z取值最大，则由ERROR得1MZM1MB，ZMAX1，10，B02等号成立的条件当且仅当AB时取等号探究1如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义提示当AB时，取等号，即ABAB2ABAB2AB仅当AB时，取等号，即ABAB2ABAB2AB2几个重要的不等式A2B22ABA，BR；2A，B同号BAABAB2A，BR；2A，BRAB2AB2A2B223算术平均数与几何平均数设A0，B0，则A，B的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为AB2AB两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知X0，Y0，则1如果积XY是定值P，那么当且仅当XY时，XY有最小值是2简记积定和P最小2如果和XY是定值P，那么当且仅当XY时，XY有最大值是2简记和定积最P4大探究2当利用基本不等式求最大小值时，等号取不到时，如何处理提示当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解例如，YX在X21X时的最小值，利用单调性，易知X2时YMIN52自测牛刀小试1已知M0，N0，且MN81，则MN的最小值为A18B36C81D243解析选A因为M0，N0，所以MN2218MN812若函数FXXX2在XA处取最小值，则A1X2A1B123C3D4解析选CFXXX22，1X21X2X2X20FX224X21X2当且仅当X2，即X3时，“”成立，又FX在XA处取最小值，所以1X2A33已知X0，Y0，Z0，XY2Z0则的XZY2A最小值为8B最大值为8C最小值为D最大值为1818解析选DXZY2XZX2Z2XZX24XZ4Z2当且仅，即X2Z时取等号1XZ4ZX418XZ4ZX4函数YX的值域为_1X解析当X0时，X22；1XX1X当X0，X22，所以X21XX1X1X综上，所求函数的值域为，22，答案，22，5在平面直角坐标系XOY中，过坐标原点的一条直线与函数FX的图象交于2XP，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析由题意知P，Q两点关于原点O对称，不妨设PM，N为第一象限中的点，则M0，N0，N，所以|PQ|24|OP|24M2N2416当且仅当M2，即2MM24M24M2M时，取等号故线段PQ长的最小值为42答案4利用基本不等式证明不等式例1已知A0，B0，AB1，求证911A11B自主解答法一A0，B0，AB1，112同理，121AABABA1BAB52549，当且仅当，即AB时取11A11B2BA2ABBAABBAAB“”9，当且仅当AB时等号成立11A11B12法二111A11B1A1B1AB11，ABAB1AB2ABA，B为正数，AB1，AB2，当且仅当AB时取“”AB21412于是4，8，当且仅当AB时取“”1AB2AB12189，11A11B当且仅当AB时等号成立12保持例题条件不变，证明2A12B12证明A0，B0，且AB1，A12B12A121B1212A1212B1212AB3242当且仅当A1，B1，即AB时“”成立121212利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等1已知A0，B0，C0，求证ABCBCACABABC证明A0，B0，C0，22C，BCACABBCACAB22B，BCAABCBCAABC22ACABABCCABABC以上三式相加得22ABC，BCACABABC即ABCBCACABABC利用基本不等式求最值例212012浙江高考若正数X，Y满足X3Y5XY，则3X4Y的最小值是AB245285C5D62已知A0，B0，A21，则A的最大值为_B221B2自主解答1由X3Y5XY，得5X0，Y0，3X1Y则3X4Y3X4Y153X1Y151312YX3XY1513212YX3XY1312515当且仅当，即X2Y时，12YX3XY“”成立，此时由ERROR解得ERROR2A0，A1B2A21B22A212B22，2A212B222324当且仅当ERROR即ERROR时取等号A的最大值为1B2324答案1C2324应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件1一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数；2“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；3“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方21函数YA1XA0，A1的图象恒过定点A，若点A在直线MXNY10M，N0上，求的最小值；1M1N2若正数A，B满足ABAB3，求AB的取值范围解1YA1XA0，A1的图象恒过定点A，A1,1又点A在直线MXNY10M0，N0上，MN1M0，N01MMN2224，当且仅当MN时，等号成立，的最小1N1M1NNMMN121M1N值为42ABAB3，又A，B0，AB23设T0，ABABT22T30T3或T1舍去AB的取值范围是9，利用基本不等式解决实际问题例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量即该厂的年产量X万件与年促销费用TT0万元满足X4K为K2T1常数如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的15倍产品成本包括固定投入和再投入两部分1将该厂家2014年该产品的利润Y万元表示为年促销费用T万元的函数；2该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大自主解答1由题意有14，K1得K3，故X432T1故Y15X612XT612XX36XT36T27TT0432T1182T12由1知Y27T182T12759T12T12基本不等式26，9T12T129T12T12当且仅当T，即T25时等号成立9T1212故Y27T275182T19T12T122756215当且仅当T时，等号成立，即T25时，Y有最大值2159T1212所以2014年的年促销费用投入25万元时，该厂家利润最大，最大利润为215万元解实际应用题时应注意的问题1设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值3某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件1据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元2为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到X元公司拟投入X2600万元作为技改费用，投入1650万元作为固定宣传费用，投入X万元作为浮动宣传费用试问当该商品明年的销售15量A至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时商品的每件定价解1设每件定价为X元，依题意，有X258，整理得8X25102X265X10000，解得25X40要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元2依题意，X25时，不等式AX25850X2600X有解，1615等价于X25时，AX有解，150X1615X210当且仅当X30时，等号成立，A102150X16150X16X当该商品明年的销售量A至少应达到102万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元1个技巧公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如A2B22AB逆用就是AB；A，B0逆用就是AB2A，B0等，还要注意“添、A2B22AB2ABAB2拆项”技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形12ABA，BR，当且仅当AB时取等号；A2B22AB22A0，B0，当且仅当AB时取等号A2B22AB2AB21A1B3个关注利用基本不等式求最值应注意的问题1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用1考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题2解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件典例2012湖南高考已知两条直线L1YM和L2YM0，L1与函数82M1Y|LOG2X|的图象从左至右相交于点A，B，L2与函数Y|LOG2X|的图象从左至右相交于点C，D记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为A，B当M变化时，的最小值为BAA16B822C8D43434解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间0,1内，B，D点的横坐标在区间1，内，而且XCXA与XBXD同号，所以，BAXBXDXCXA根据已知|LOG2XA|M，即LOG2XAM，所以XA2M同理可得XC2，XB2M，XD2，所以8181BA821M2，由于M4，当且821821M81821M81M82M182M12M12121272仅当，即2M14，即M时等号成立，故的最小值为2882M12M1232BA72答案B名师点评1本题具有以下创新点1本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题2本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力2解决本题的关键有以下几点1正确求出A、B、C、D四点的坐标；2正确理解A，B的几何意义，并能正确用A、C、B、D的坐标表示；3能用拼凑法将MM0化成利用基本不等式求最值的形式82M1变式训练1已知X0，Y0，X，A，B，Y成等差数列X，C，D，Y成等比数列，则的AB2CD最小值是A0B1C2D4解析选D由题知ABXY，CDXY，X0，Y0，则AB2CDXY2XY4，当且仅当XY时取等号2XY2XY2若直线AXBY20A0，B0被圆X2Y22X4Y10截得的弦长为4，则的最小值为1A1BAB142CD2322322解析选C圆的直径是4，说明直线过圆心1,2，故AB1，121A1B12AB，当且仅当，即A21，B2时取等号1A1B32BAA2B322BAA2B223若X0，Y0，且A恒成立，则A的最小值是_XYXY解析由A，得A，XYXYXYXY令FX，Y，XYXY则FX，Y，当且仅当XYXYXYXY2XY12XYXY12XY2XY2时等号成立故A2答案2一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12012福建高考下列不等式一定成立的是ALGX2LGXX014BSINX2XK，KZ1SINXCX212|X|XRD1XR1X21解析选C取X，则LGLGX，故排除A；取X，则SINX1，12X21432故排除B；取X0，则1，故排除D1X2122012陕西高考小王从甲地到乙地往返的时速分别为A和BAA，即A0，B0，且LNAB0，则的最小值是1A1BAB114C4D8解析选C由A0，B0，LNAB0得ERROR故41A1BABAB1AB1AB221122当且仅当AB时上式取“”1242013淮北模拟函数YX1的最小值是X22X1A22B2233C2D23解析选AX1，X10，YX22X1X22X2X2X1X22X12X13X1X12X122X13X13X12222，X13X13当且仅当X1，即X1时，取等号3X135设A0，B0，且不等式0恒成立，则实数K的最小值等于1A1BKABA0B4C4D2解析选C由0得K，而24AB1A1BKABAB2ABAB2ABBAAB时取等号，所以4，因此要使K恒成立，应有K4，即AB2ABAB2AB实数K的最小值等于462013温州模拟已知M是ABC内的一点，且2，BAC30，ABC3若MBC，MCA和MAB的面积分别为，X，Y，则的最小值是121X4YA20B18C16D19解析选B由|COS302得AC3|4，SABC|SIN301，A12B由XY1得XY1212所以2XY22522181X4Y1X4Y5YX4XY二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7某公司租地建仓库，每月土地占用费Y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费Y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用Y1和Y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处解析设X为仓库与车站距离，由已知Y1；Y208X费用之和20XYY1Y208X28，当且仅当08X，即X5时“”成立20X08X20X20X答案58若A0，B0，AB2，则下列不等式对一切满足条件的A，B恒成立的是_写出所有正确命题的编号AB1A2B22A3B33AB221A1B解析两个正数，和为定值，积有最大值，即AB1，当且仅当AB时AB24取等号，故正确；2AB2224，当且仅当AB时取等号，得ABABAB2，故错误；由于1，故A2B22成立，故正确；ABA2B22AB24A3B3ABA2B2AB2A2B2AB，AB1，AB1，又A2B22，A2B2AB1，A3B32，故错误；1112，当且仅当AB时取等号，故正确1A1B1A1BAB2A2BB2A答案92013泰州模拟已知X0，Y0，X2Y2XY8，则X2Y的最小值是_解析依题意得X12Y19，X12Y126，X2Y4，当且仅当X12Y1，即X2，Y1时取等号，X12Y1故X2Y的最小值是4答案4三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10已知A0，B0，C0，D0求证4ADBCBDBCADAC证明224当且仅当ADBCBDBCADACABCDBADCABBACDDCAB，CD时，取“”，故4ADBCBDBCADAC11已知X0，Y0，且2X8YXY0，求1XY的最小值；2XY的最小值解1X0，Y0，XY2X8Y2，16XY即XY8，8，即XY64XYXY当且仅当2X8Y，即X16，Y4时，“”成立XY的最小值为642X0，Y0，且2X8YXY0，2X8YXY，即12Y8XXYXY1010218，2Y8X2XY8YX2XY8YX当且仅当，即X2Y12时“”成立2XY8YXXY的最小值为1812提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度V单位千米/小时是车流密度X单位辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明当20X200时，车流速度V是车流密度X的一次函数1当0X200时，求函数VX的表达式；2当车流密度X为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位辆/小时FXXVX可以达到最大，并求出最大值精确到1辆/小时解1由题意，当0X20时，VX60；当20X200时，设VXAXB，则由已知得ERROR解得ERROR故函数VX的表达式为VXERROR2依题意并由1可得FXERROR当0X20时，FX为增函数，故当X20时，FX取得最大值为60201200；当20X200时，FXX200X132，13X200X2100003当且仅当X200X，即X100时，等号成立所以，当X100时，FX在区间20,200上取得最大值100003综上，当X100时，FX在区间0,200上取得最大值3333，100003即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时1已知LOG2ALOG2B1，则3A9B的最小值为_解析LOG2ALOG2BLOG2ABLOG2ALOG2B1，AB2且A0，B03A9B3A32B222218，当且仅3A32B3A2B322AB322当A2B，3A9B的最小值为18答案182设A，B均为正实数，求证AB21A21B22证明由于A、B均为正实数，所以2，1A21B21A21B22AB当且仅当，即AB时等号成立，1A21B2又因为AB22，2AB2ABAB2当且仅当AB时等号成立，2AB所以ABAB2，1A21B22AB2当且仅当ERROR即AB时取等号423已知X0，则FX544X2323114X554X154X当且仅当54X，即X1时，等号成立154X4某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道阴影部分组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米如图所示1若设休闲区的长和宽的比XX1，求公园ABCD所占面积S关于X的函数|A1B1|B1C1|SX的解析式；2要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计解1设休闲区的宽为A米，则长为AX米，由A2X4000，得A2010X则SXA8AX20A2X8X20A16040008X201602010X8024160X110X5X28041608024160160041605760102X5X102X5X当且仅当2，即X25时，等号成立，此时A40，AX100X5X所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米第五节合情推理与演绎推理备考方向要明了考什么怎么考1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异1合情推理的考查常单独命题，以选择题、填空题的形式考查，如2012年江西T6，陕西T11，湖南T16等2对演绎推理的考查则渗透在解答题中，侧重于对推理形式的考查归纳知识整合1合情推理1归纳推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点是由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点类比推理是由特殊到特殊的推理探究1归纳推理的结论一定正确吗提示不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验2演绎推理1模式三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断2特点演绎推理是由一般到特殊的推理探究2演绎推理所获得的结论一定可靠吗提示不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论自测牛刀小试1下面几种推理是合情推理的是由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形的内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是N2180ABCD解析选C是类比推理，是归纳推理，是非合情推理2观察下列各式553125,5615625,5778125，则52013的末四位数字为A3125B5625C0625D8125解析选A553125,5615625,5778125，58390625，591953125，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5M4K与5MKN，M5,6,7,8的后四位数字相同，又201345025，所以52013与55后四位数字相同为31253给出下列三个类比结论ABNANBN与ABN类比，则有ABNANBN；LOGAXYLOGAXLOGAY与SIN类比，则有SINSINSIN；AB2A22ABB2与AB2类比，则有AB2A22ABB2其中结论正确的个数是A0B1C2D3解析选B不正确，正确4教材习题改编有一段演绎推理是这样的“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线B平面，直线A平面，直线B平面，则直线B直线A”，结论显然是错误的，这是因为A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D非以上错误解析选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况5教材习题改编在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式1A1B1C9成立；在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想，在N1A1B1C1D1621A1B1C1D1E253边形A1A2AN中，成立的不等式为_解析932,1642,2552，且132,242,352，故在N边形A1A2AN中，有不等式成立1A11A21ANN2N2答案N31A11A21ANN2N2归纳推理例112012江西高考观察下列各式AB1，A2B23，A3B34，A4B47，A5B511，则A10B10A28B76C123D1992设FX，先分别求F0F1，F1F2，F2F3，然后归13X3纳猜想一般性结论，并给出证明自主解答1记ANBNFN，则F3F1F2134；F4F2F3347；F5F3F411通过观察不难发现FNFN1FN2NN，N3，则F6F4F518；F7F5F629；F8F6F747；F9F7F876；F10F8F9123所以A10B101232F0F1，F1F2，F2F3，333333猜想FXF1X，33证明FX，13X3F1X131X33X333X3X333XFXF1X13X33X333X33X333X1333答案1C利用本例2的结论计算F2014F2013F1F0F1F2015的值解FXF1X，33F2014F2013F1F0F1F2015F2014F2015F2013F2014F0F1201533201533归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类1数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等