电大必备小抄---常微分方程试题库

常微分方程试题库（四）、计算题，每小题10分1解方程组；YXYX2,322解方程组；3解方程组；4解方程组；2,TET5解方程组；ZXYXZYX,6解方程组；337解方程组；35,8解方程组；TSIN29解方程组；TYXEYXT2,10解方程组；ICO11解方程组；TEZZ61,12解方程；02T13解方程；95X14解方程21D15解方程TE216解方程COS417解方程TX2318解方程6219解方程TT4S20解方程DIN121解方程224TEXT22解方程；TTTE385323解方程02TXT24解方程；25解方程；326解方程组，；Y4XY527解方程组，；AXDTADT28解方程组，；32TE8229解方程组；3321,YYY30解方程；TEXD选题说明每套试题选3个题为宜。（四）、计算题参考答案与评分标准，每小题10分1解方程组YYX,解其系数矩阵为，（2分）213A特征多项式为，1DET2E其特征根为，（2分）1,21当时，由方程组1，031BA可解得特征向量为，（2分）1T当时，由方程组12，03BA可解得特征向量为，（2分）1T所以方程组的基本解组为（2分）3TTE，2解方程组XYX2,解其系数矩阵为，（2分）31A特征多项式为，542DET2E其特征根为，（2分）,21I，当时，由方程组I，01BAI可解得特征向量为，（2分）IT由，（2分）TIETEIETTTISINCOSNCO1222可知方程组的基本解组为（2分）TTTTIIS22，3解方程组YXYX,解其系数矩阵为，（2分）1A特征多项式为，12DETE其特征根为，（2分）I21，当时，由方程组I，012BAII可解得特征向量为，（2分）T由，（2分）TITIEITSNICOCSO1可知方程组实的基本解组为（2分）TTIOIN，4解方程组2,2XYEXT解一其对应齐次线性方程的系数矩阵为，（1分）01A特征多项式为，DET2E其特征根为，（2分）12，当时，由方程组，01BA可解得特征向量为，（1分）1T当时，由方程组1，0BA可解得特征向量为，（1分）1T所以对应齐次线性方程组的基本解组为（1分）TTE，现在求非齐次方程组形如TTECEYX21的特解，代入原方程可得221TCETTTT解之得，（2分）TTTET221,从而TTTTTTTEECETC22211,最后可得该方程组的通解为（2分）TETECTYXTTTTT21212解二原方程可化为（1分）2TDYXT消去可得Y，21ET由得齐方程的基本解组为（2分）012XD,TTE其特解为（2分）22211TDDTXT（1分）ET所以，（1分）221TECTT代入第一个方程得，（2分）YTTT方程组的通解为（2分）TECETTCXTTT2125解方程组ZXYZYX,解其系数矩阵为，（1分）10A特征多项式为，210DETE其特征根为，（2分）1,03,21当时，由方程组，010CBA可解得特征向量为，（1分）1T当时，1，（2分）01EA12EA由方程组01CBA可解得，（1分）10,0H由可得01HEA（1分）1,1H从而方程组的基本解组为（2分）TTTTEE10,10,16解方程组YX3,3解其系数矩阵为，（1分）30A特征多项式为，231DET）（E其特征根为，（2分）321，而（2分）03013EAA，所以，1,1H（3分）,0H所以方程组的基本解组为（2分）,13TETE307解方程组ZXYXYZX5,解其系数矩阵为，（1分）3015A特征多项式为，130155DET2EA其特征根为，（2分）I3,210当时，由方程组，03015CBA可解得特征向量为，（1分）15T当时，I2由方程组030155CBAII可解得（2分）,3425IT再由，（2分）TTTTITTTTEIITCOS3N4I251S3CO425134251从而方程组实的基本解组为（2分）TTTTCOS3IN425I1,SI3CO425I1,8解方程组；XYXN,2解原方程可化为（1分）TDYXSIN5021消去可得Y，2由得齐方程的基本解组为（2分）02XD,TTE其特解为ITDT1IM0SIN122（2分）IEITCO3IM0所以，（1分）TEXTTCOSIN321代入第一个方程得，（2分）TECYTTSINO221方程组的通解为，TXTTCI321（2分）ECYTTSI9解方程组；YEXT,32解原方程可化为（1分）TDXT23消去可得Y，ET612由得齐方程的基本解组为（2分）012XD,TTE其特解为（2分）TETDDXTT31362所以，（1分）TECTT321代入第一个方程得，（2分）123TTYT方程组的通解为，TECTX21（2分）12TECYTT10解方程组YXTSIN,OS解原方程可化为（1分）TDI1O消去可得Y，（2分）TXSNC2由得齐方程的基本解组为（1分）012XD,O,SINT其特解为（2分）COSIN2IMRE1INIC222TTDDTXITIT所以，（1分）SI1ICOS2TTTX代入第一个方程得，（2分）TCTYSIN2132112方程组的通解为，TCTCXSIN21OS21（1分）TCYSIN21O31111解方程组TEZYXZ6,解原方程可化为（1分）TEYXZD160消去可得YX,，（2分）TZ23由得齐方程的基本解组为06123ZD（1分）,2TTTEE其特解为，（2分）TTEDZ231所以，TTTTCEC1321代入第一、二个方程得（1分）TTTTTEEY2321（1分）TTTTTECECX94321方程组的通解为TTTE3211TTTECTCY322（2分）TTTEZ3112解方程02XT解作变换，并记，（2分）SEDSDT,则原方程可化为1,020TXDT，（2分）0100X其特征方程为，（2分）特征根为2重根，所以其基本解组为，（2分）1SE,将代回得原方程的通解为SET（2分）TCTXLN113解方程0952XTT解作变换，并记，（2分）SEDSDT,则原方程可化为1,020TXDT，（2分）09500X其特征方程为，（2分）0962为2重根，所以其基本解组为，（2分）3SE3,将代回得原方程的通解为SET（2分）TCTXLN3114解方程212TXD解对应齐方程的特征根为，（2分）I其实基本解组为，（2分）TSIN,CO得原方程的特解为，（4分）21TTDT所以原方程的通解为（2分）221SINCOTCTX15解方程TED2解对应齐方程的特征根为2重根，（2分）1其基本解组为，（2分）TE,得原方程的特解为，（4分）TTTEX22所以原方程的通解为（2分）TTTCX22116解方程；TXD2COS42解对应齐方程的特征根为，（2分）401，其基本解组为，（2分）TE1，得原方程的特解为，（4分）0SINCO82RE4R2TTIXITIT所以原方程的通解为（2分）2S421TTCXT17解方程TED23解对应齐方程的特征根为，（2分）31，其基本解组为，（2分）TTE,2，得原方程的特解为，（4分）1893112322222TETDETTXTTT所以原方程的通解为（2分）2323221TCTXTTT18解方程63423D解对应齐方程的特征根为，（2分）0321，其基本解组为，（2分）TE,1，得原方程的特解为，（4分）TTTX16342）（）（所以原方程的通解为（2分）TECXTT232119解方程TTXD4COS242解对应齐方程的特征根为，（2分）I其实基本解组为，（2分）TSINCO，得原方程的特解为，（2分）416RE41E41RE2222TITIITITEIDX，（2分）COSSINITTII所以原方程的通解为（2分）1COS4SIN2IS1TTTCTX20解方程TDIN22解对应齐方程的特征根为，（2分）21，其基本解组为，（2分）TTE，得原方程的特解为，（4分）TTITETITXIITISINCOIMIM21I2所以原方程的通解为（2分）TTCEXTTSIC2121解方程224TD解对应齐方程的特征根为2重根，（2分）其基本解组为，（2分）TTE2,得原方程的特解为，（4分）TETETXTTLN1122所以原方程的通解为（2分）TCXTTL22122解方程EED3485223解对应齐方程的特征根为，（2分）13，其基本解组为，（2分）TTTE,，得原方程的特解为2TTTEEX（2分）TTTDE3112，（2分）TTTE6所以原方程的通解为（2分）TTTTTTEECX611232123解方程022TXT解作变换，并记，（2分）SEDSDT,则原方程可化为1,020XTDTX，（2分）000X其特征方程为，（2分）0232，为特征根，所以其基本解组为，（2分）1SE2,将代回得原方程的通解为SET（2分）TCX124解方程；023XTT解作变换，并记，（2分）SDSDT0,则原方程可化为1,020TXDTXDX003，（2分）0其特征方程为，（2分）3特征根为，所以其基本解组为，（2分）2,1SE3,将代回得原方程的通解为SET（2分）321LNTCCX25解方程；03XT解作变换，并记，（2分）SETDSDT,则原方程可化为,020XDTXDX003，（2分）110其特征方程为，（2分）33为3重根，所以其基本解组为，（2分）1SE,S2将代回得原方程的通解为SET（2分）321LNLTCTTCX26解方程组，；YX45Y5解其系数矩阵为，（2分）4A特征多项式为，985DET2E其特征根为，（2分）9,12当时，由方程组9，05BA可解得特征向量为，（2分）1T当时，由方程组1，05BA可解得特征向量为，（2分）1T可知方程组的基本解组为（2分）TTE19，27解方程组，；YAXDTYAXDT解其系数矩阵为，（2分）A特征多项式为，2DETE其特征根为，（2分）I21，当时，由方程组I，0BAI可解得特征向量为，（2分）1T由，（2分）TIETEIETTTISNCOCOSN可知方程组实的基本解组为（2分）TTTTII，28解方程组，；YX532TEYX82解原方程可化为（1分）TD35消去可得Y，（2分）TEX241042由得齐方程的基本解组为（1分）0542XD,5TTE其特解为（2分）TTTTEEDD351231052414152所以，（1分）TTTCX251代入第一个方程得，（2分）TTTEEY51234251方程组的通解为，TTTEECX351251（1分）TTTECY5124129解方程组；33221,YY解其系数矩阵为，（2分）ZEA01（2分）Z因为（2分），00132Z所以其基本解矩阵为（2分）2EXP2TZEATT（2分）102TT30解方程组；TEXD32解对应齐方程的特征根为，（2分）21，其基本解组为，（2分）TE,得原方程的特解为（2分）TTTETEDX1221，（2分）TTTETED2所以原方程的通解为（2分）18233221TECTEXTTT数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（一）题号一二三四五总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是2DYX2方程的所有常数解是SIN3若在上连续，则方程的任一非零解XY,YXD与轴相交4在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在0YXQPPQ,平面上与轴相切XOY5向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式,21NYYI，0WIX得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间N（A）维（B）维（C）维（D）维1N1N2N7方程（）奇解2DYX（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个8方程过点（）32X0,（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解Y9若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示1X2X为（）（A）（B）2121X（C）（D）1XXC10连续是方程初值解唯一的（）条件,YF,DYF（A）必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分得分评卷人三、计算题（每小题分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分1121DXY12E3130D322YY140EX152Y得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解XY5SIN17求下列方程组的通解YXT4D得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）18设在整个平面上连续可微，且求证方程,YXFO0,YXF,DYXF的非常数解，当时，有，那么必为或XY00Y0X19设和是方程的任意两个解，求证它们的朗斯基行列式12XQ，其中为常数CXW数学与应用数学2001级第三学期常微分方程试题答案及评分标准（供参考）2003年1月一、填空题（每小题3分，本题共15分）1平面XOY2,21,0K3不能4不能5必要二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6A7B8A9C10D三、计算题（每小题分，本题共30分）11解当时，分离变量得0Y（3分）XD12等式两端积分得CYLNLLN2即通解为（6分）21XC12解齐次方程的通解为（2分）XY3E令非齐次方程的特解为XC3代入原方程，确定出（5分）CX5E1原方程的通解为（6分）XY3E213解由于，所以原方程是全微分方程（2分）NYM取，原方程的通积分为0,0YX（4分）10323DCYXYX即（6分）4414解令，则原方程的参数形式为TY（2分）TXTE由基本关系式TTXYDE1D积分有（4分）CTT2得原方程参数形式通解（6分）CTTYXT1E215解原方程为恰当导数方程，可改写为0即（2分）1CY分离变量得（4分）XD1积分得通积分（6分）212CY四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解方程的特征根为，0152齐次方程的通解为（3分）XYE因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为II5（5分）XBAXY5COSSIN1代入原方程，比较系数得0251确定出，（8分）01AB原方程的通解为（10分）5SINCO501E21XCYX17解特征方程为4EA即032特征根为，（2分）112对应特征向量应满足03141BA可确定出（5分）21同样可算出对应的特征向量为（8分）22BA所以，原方程组的通解为（10分）TTCYXEE231五、证明题（每小题10分，本题共20分）18证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可XOY延展到平面的无穷远。（2分）又由已知条件，知是方程的一个解。（4分）0Y假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向X00LIM0YX,0YX的右侧（或左侧）延展这样，过点就有两个不同解和这与解的唯一性矛盾，因此0X,YY不能是有限值19证明如果和是二阶线性齐次方程1XY2XY0QP的解，那么由刘维尔公式有（5分）X0DETPWX现在，故有0P（10分）CXXXTE0D0数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（二）题号一二三四五总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1方程的任一解的最大存在区间必定是XYXESIND2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是CO3阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间4方程的所有常数解是YXTAND25方程的基本解组是04Y得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分7方程的任一非零解在平面上（）与轴横截相交0YXOYX（A）可以（B）不可以（C）只能在处可以（D）只能在处可以X28方程（）奇解22Y（A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无9方程过点的解，这个解的存在区间是（）210,XYSIN（A）（B）（C）（D）,02,10向量函数组在区间I上线性相关的（）条件是在区间I上它们的朗斯基行列式,21XXNYYXW（A）充分（B）充分必要（C）必要非充分（D）必要得分评卷人三、计算题（每小题分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分111D2YXY1213XY2E3140D1COS22YXXY1502得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解XY5E317求下列方程组的通解YXT43D2得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）18设在区间上连续试证明方程X,YXYSIND的所有解的存在区间必为,19在方程中，已知在上连续试证明若存在使0YXQPY,XQP,BA,0BAX方程的两个解，同在处取极值，则，不能是方程的基本解组1X21Y2数学与应用数学常微分方程模拟试题（二）试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分，本题共15分）1,2平面XOY3N4，K,21,05X2E,二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6B7A8D9C10D三、计算题（每小题分，本题共30分）11解当时，分离变量得1Y（3分）XD2等式两端积分得121CXY12LN222E,ECXY方程的通积分为（6分）212X12解令，则，代入原方程，得UYUD，（2分）2DX2X当时，分离变量，再积分，得0（4分）CU2，XLN1XLN1即通积分为（6分）CYL13解齐次方程的通解为（2分）XY3E令非齐次方程的特解为XC3代入原方程，确定出（4分）CX5E1原方程的通解为（6分）XY3E214解由于，所以原方程是全微分方程（2分）NM取，原方程的通积分为0,0YX（4分）CYXX0DCOS2即（6分）YIN15解原方程为恰当导数方程，可改写为0即（3分）CY积分得通积分（6分）212X四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解对应的齐次方程的特征方程为，032特征根为，0132故齐次方程的通解为（4分）XCY321E因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为5（6分）XA51代入原方程，得XX55EE2即，10A故原方程的通解为（10分）XXCY5321E017解方程组的特征方程为43EA即0562特征根为，（2分）12对应的解为TBAYX51E其中是对应的特征向量的分量，满足1,A054312BA可解出（5分）,1A同样，可解出对应的特征向量的分量为（8分）21,2BA故原方程组的通解为（10分）TTCYXE3E251五、证明题（每小题10分，本题共20分）18证明由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解XOY（4分）,21,0,KY对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义0YXK0K,（6分）若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷KY01,0XYXY远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解KXY,1和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为1KYKY,（10分）19证明由已知条件，该方程的任一解都在区间上存在（2分）,BA若在处取极值，则必有,21XY0（4分）021XY成立，于是由解构成的朗斯基行列式在处的值为,XYXW00（8分）02010YXW21Y故不能构成该方程组的基本解组，因为构成基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式,21XY，（10分）0X,BA数学与应用数学专业常微分方程试题模拟试题（三）题号一二三四五总分得分得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1方程所有常数解是0DCOSSINYXYX2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是ID23线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式,21XXNYY0XW4方程的任一非零解与轴相交SINDYXYX5阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6方程（）奇解1DYX（A）有无数个（B）无（C）有一个（D）有两个7方程过点（）20,（A）只有一个解（B）有无数个解（C）只有两个解（D）无解8有界是方程初值解唯一的（）条件,YXF,DYXF（A）必要（B）必要非充分（C）充分（D）充分必要9方程的任一非零解在平面上（）与轴相切03OX（A）不可以（B）只有在点处可以0,1（C）只有在原点处可以（D）只有在点处可以10阶线性非齐次微分方程的所有解（）N（A）构成一个线性空间（B）构成一个维线性空间1N（C）构成一个维线性空间（D）不能构成一个线性空间1得分评卷人三、计算题（每小题分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分11YXED121130D2EDYXYY141LN152Y得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解XY2COS417求下列方程组的通解YXT2D得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）18设方程中，在上连续可微，且，求证该方程的D2YFXF,0YF任一满足初值条件的解必在区间上存在0X019设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证它们不能有共同的零点1XY2Y数学与应用数学常微分方程模拟试题（三）试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分，本题共15分）1；或,21,0KY,21,02KX2平面3充分必要4不能5XON二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6B7A8C9A10D三、计算题（每小题分，本题共30分）11解分离变量得（3分）XYDE等式两端积分得通积分（6分）12解齐次方程的通解为（2分）CXY令非齐次方程的特解为XCY代入原方程，确定出（5分）CLN原方程的通解为（6分）XYL13解由于，所以原方程是全微分方程（2分）NMYE取，原方程的通积分为0,0YX（4分）CYX0D2E即（6分）Y14解令，则原方程的参数形式为P（2分）1LN2Y由基本关系式PYXDD2积分有（4分）CARCTN2得原方程参数形式通解（6分）1LNRT2PYX15解原方程为恰当导数方程，可改写为即（2分）1CXY分离变量，取积分（4分）21DDX得原方程的通积分为（6分）2121CY四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解方程的特征根为I2,1齐次方程的通解为（3分）XCYSINCO因为是特征根所以，设非齐次方程的特解为II2（5分）2SIC1XBAXY代入原方程，可确定，（8分）041故原方程的通解为（10分）XXCYSINSICO2117解特征方程为02EA即02特征根为，（2分）112对应特征向量应满足0211BA可确定出（5分）1同样可算出对应的特征向量为（8分）212BA所以，原方程组的通解为（10分）TTCYXE2E21五、证明题（每小题10分，本题共20分）18证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可XOY延展到平面的无穷远（2分）又由已知条件，知是方程的一个解（4分）0Y且在上半平面，有；02YFX在下半平面，有（7分）Y现不妨取点属于上半平面，并记过该点的解为由上面分析可知，一方面在上半,0YXXYXY平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过轴，否则与唯一性矛盾故解存在区间必为（10分）,0X19证明由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式1XY2XY（）（5分）021W假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得0X0102X于是020102010X这与（）式矛盾（10分）数学与应用数学专业常微分方程模拟试题4得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1方程所有常数解是0D11D22YXYX2阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个N3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线4方程的基本解组是0Y5若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点,21X得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6若是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上，它们（）,21XY（A）可以有共同零点（B）可在处有共同零点0X（C）没有共同零点（D）可在处有共同零点17连续是保证对满足李普希兹条件的（）条件,YXF,YXF（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分8方程（）奇解D（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个9一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解10方程通过点1,1的解为，其有定义的区间是（）2DYXXY21ABCD,2得分评卷人三、计算题（每小题分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分110D2YXX121DY13LN3YXX142Y1503X得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16求方程的通解XYCOS117求下列方程组的通解YXT34D2得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）18设，是方程1XY20YXQPY的解，且满足0，这里在上连续，试01XY0201X,0X证明存在常数C使得CY19在方程中，已知，在上连续求证该方程的任一非零0YXQPYXPQ,解在平面上不能与X轴相切XO数学与应用数学专业常微分方程模拟试题4试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分，本题共15分）11,XY2N324，COSI5没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6C7A8C9C10A三、计算题（每小题分，本题共30分）11解方程化为XY21D令，则，代入上式，得XUYU（3分）分量变量，积分，通解为1CXU原方程通解为（6分）Y212解齐次方程的通解为（2分）X令非齐次方程的特解为CY代入原方程，确定出（5分）CXLN原方程的通解为（6分）XYL13解因为，所以原方程是全微分方程（3分）XNYM1取，原方程的通积分为0,0XCYXY031D即（6分）4LN14解原方程是克来洛方程，通解为（6分）2XY15解原方程是恰当导数方程，可写成03即（3分）1CXY分离变量解此方程，通积分为（6分）2412四、计算题（每小题10分，本题共20分）16解对应齐次方程的的通解为（4分）XCYSINCO21令非齐次方程的特解为XI21满足,21CX（6分）XCXCOS10COSIN21解得,I1积分，得，XCSL2原方程通解为（10分）XXCYSINCOLSINO2117解特征方程为，0542特征根为，（4分）12和对应的特征向量分别为5（8分）21，故原方程组的通解为（10分）TTCYX521EE五、证明题（每小题10分，本题共20分）18证明设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为1X2,21XYW由已知条件，得002102010XYXYX故这两个解是线性相关的（5分）由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得21，021XY,由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，01XY2201XY01XY11XY线性相关矛盾故（8分）2（10分）1122XCYXY19证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是（2分）,显然，该方程有零解（5分）0XY假设该方程的任一非零解在X轴上某点处与X轴相切，即有0，那么由解的惟一性10101XY及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件0，XY,Y1XY于是由解的惟一性，有这与是非零解矛盾X1（10分）常微分方程模拟试题5一、填空题（每小题3分，本题共15分）1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是,21XY3方程的基本解组是02Y4一个不可延展解的存在在区间一定是区间5方程的常数解是21DX二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）YX31D（A）上半平面（B）XOY平面（C）下半平面（D）除Y