基于区制转移模型的短期利率动态行为研究＿毕业论文

I摘要短期利率的动态行为对固定收益证券及利率衍生品的定价起着十分重要的作用,了解短期利率的动态有助于金融产品价格发现和利率风险管理。短期利率是分析经济周期的一个重要指标,其在制定货币政策和预期通货膨胀等方面有着相当重要的作用。对短期利率的动态行为进行分析有助于宏观经济政策正确的制定,使得制定的经济政策适应经济周期和通胀预期的变化。因此,大量国内外学者对短期利率的动态进行研究,但是大多数的研究均是以连续的扩散运动来描述短期利率变量随机动态行为特征,因此短期利率的样本轨迹总是连续的。然而大量的实证研究发现,利率变动并非都是连续的,利率动态行为会出现结构性变动的特征。在实际经济运行中,由于利率市场化改革和宏观经济政策的调整,我国短期利率动态行为确实表现出了显著的结构性变化。因此,有必要将这种结构性变化考虑到短期利率变动中。本文通过区制转换模型,即在短期利率动态模型中通过参数的内生性的结构性变化来捕捉短期利率的动态行为的时变结构性变化。本文的研究主要集中在三个方面,首先,在模型的基础上,引入了一个区制变量构建了含有区制变量的模型。该模型中,驱动参数变化的区制状态变量服从连续时间两状态马尔科夫链,并且状态转移矩阵是时变的。其次,详细介绍了AITSAHALIA2002,ECONOMETRICA提出的求解任意单因素扩散过程转移密度函数近似封闭解的理论,并运用HAMILTON1989给出的递推算法获得本文模型的极大似然函数。因此,本文的参数估计不会出现离散化的偏差。最后,通过极大似然估计对我国短期利率动态进行实证分析,并与含有区制状态变量的模型及模型进行对比。II本文对银行间拆借市场七日同业拆借收盘利率即的日数据进行了实证研究，结果表明,我国短期利率的波动不仅存在水平效应,还存在显著的区制转换。并且每种区制都具有较高的持续性,在本文选取的样本时期内,高波动状态是较为普遍出现的区制状态。与单一区制模型相比较,引入区制转移变量后,似然比检验显示区制转移模型的拟合能力有较大的提高,因此在研究我国短期利率的波动时不容忽视结构性变化。另外,本文还发现我国短期利率在两种不同的区制状态下,其漂移项呈现非对称性,即在低波动区制时利率明显表现为未含趋势的随机游走过程,而在高波动区制则表现为均值回归过程。并且马尔科夫转移概率在高低两种不同的区制状态下也呈现非对称性,即在利率低波动区制时转移概率为时变函数,而在高波动区制时转移概率为常数。通过对平滑概率分析发TPSI现,我国的宏观经济环境以及央行的货币政策与我国短期利率的结构性动态行为密切相关。关键词短期利率；区制转移；连续时间模型的极大似然估计；银行间拆借市场利率III目录一、引言1二、相关文献综述1三、我国国债市场的现况分析2（一）中国国债市场发展历史回顾2（二）中国国债市场的现状5四、研究方法和数据7（一）研究方法7（二）数据来源7五、基本实证分析8六、结论、不足与展望11参考文献141一、引言（一）研究背景我国于年恢复发行国债,到目前为止我国的债券市场经历了曲折的探索阶段和快速的发展阶段。现在，我国债券市场有三个基本子市场银行间市场、交易所市场和商业银行柜台市场。这三个子市场均在中央国债登一记结算有限公司以下简称“中央结算公司”，英文简称“CCDC”）实行集中统一托管，并根据参与主体的不同，实行不同的托管结算安排制度。债券市场中，银行间市场是主体，属于批发市场，其债券存量和交易量大约占全部市场的。参与银行间市场的投资者是各类机构投资者，他们在银行间市场实行双边谈判成交，逐笔结算。投资者直接在中央结算公司开设证券账户，由中央结算公司实行一级托管，中央结算公司还提供交易结算服务。银行间市场的交易品种包括现券交易、质押式回购、买断式回购以及远期交易。交易所市场属于集中撮合交易的零售市场，实行净额结算，交易所的参与者是除银行以外的各类社会投资者。交易所市场实行两级托管制度，中央结算公司为一级托管人，负责交易所代理总账户的开立，中国证券登记结算公司为债券的二级托管人，记录投资者账户,中央结算公司与交易所投资者没有直接的权责关系。中国证券登一记结算公司负责交易所交易结算。商业银行柜台市场是银行间市场的延伸，也属于零售市场。柜台市场实行两级托管体制，中央结算公司为一级托管人，负责承办银行的债券自营账户和代理总账户的开立，承办银行为债券二级托管人，中央结算公司与柜台投资者没有直接的权责关系。与交易所市场不同的是，承办银行每天需要将余额变动数据传给中央结算公司，同时中央结算公司为柜台投资人提供余额查询服务,成为保护投资者权益的重要途径。银行间市场由同业拆借市场、票据市场和债券市场等构成。银行间市场有调节货币流通和货币供应量，调节银行之间的货币余缺以及金融机构货币保值增值的作用。我国的同业拆借始于1984年。1984年以前，我国实行的是高度集中统一的信贷资金管理体制。银行间的资金余缺只能通过行政手段纵向调剂，而不能自由地横向融通。经过起起落落的曲折发展，1996年1月3日，全国统一的银行间同业拆借市场正式建立。同业拆借是指具有2法人资格的金融机构及经法人授权的非法人金融机构分支机构之间进行短期资金融通的行为，目的在于调剂头寸和临时性资金余缺。金融机构在日常经营中，由于存、放款的变化，汇兑的收支增减等原因，会在一个营业日终了时，出现资金收支不平衡的情况，一些金融机构收大于支，另一些金融机构支大于收，资金不足者要向资金多余者融入资金以平衡收支。于是产生了金融机构之间进行短期资金相互拆借的需要。资金不足者向资金多余者借入款项，称为资金拆入资金多余者向资金不足者借出资金，称为资金拆出。资金拆入大于资金拆出称之为净拆入反之，称之为净拆出。这种金融机构之间进行资金拆借活动的市场被称为同业拆借市场，简称拆借市场。票据市场指的是在商品交易和资金往来过程中产生的以汇票、本票和支票的发行、担保、承兑、贴现、转贴现、再贴现来实现短期资金融通的市场。债券市场是发行和买卖债券的场所,是金融市场的一个重要组成部分。自银行间同业拆借市场和债券市场成立以来，伴随着参与主体的不断多元化、产品不断多样化以及市场交易量不断增长，银行间同业拆借市场和债券市场的流动性迅速提高，市场的流动性管理职能也不断提升。因此很多运营良好的金融机构为了取得更高的收益将闲置的资金投放到同业拆借市场和回购市场。与此同时，由于中长期债券的发行、利率水平的下降、债券业务与其他业务的组合、机构投资者内部激励机制的改善以及交易员市场运作水平的提高使得银行间债券市场具备了投资职能。目前，银行间同业拆借市场和债券市场已经是监管部门对市场进行即时监管的重要平台，同时为货币政策部门提供实施货币政策所需要的关于资金流动态势和货币市场资金松紧状况等的重要信息。债券市场的存在有助于改善整个经济系统融资体系以及降低融资成本，有助于优化公司资本结构并完善公司治理。一个统一、成熟的债券市场可以为全社会的投资者和筹资者提供低风险的投融资工具债券的收益率曲线是社会经济中一切金融商品收益水平的基准，因此债券市场也是传导中央银行货币政策的重要载体。可以说，统一、成熟的债券市场构成了一个国家金融市场的基础。然而，纵览我国金融体制现状可以发现，在快速增长的宏观经济背景下，企业虽然有发展的良好机遇，但是目前的金融体系不能为它们提供充足的资金支持，使得企业面临资金短缺的发展困境。目前企业仍然以间接融资为主，直接融资渠道相对薄弱，并且直接融资又是以股票融资为主，企业债券融资比重很小。显然，我国3企业债券市场发展严重不足，这必将影响我国企业未来的发展，也将会阻碍我国经济持续、健康、稳定发展。债券市场的发展能够促进经济的发展和经济结构的转变，在债券市场中短期利率是重要的金融变量，它是固定收益债券及其衍生产品定价的基础，它在利率的风险管理中具有重要作用。研究短期利率的动态行为是理解货币效应及其传导机制的关键。为了能更准确地描述短期利率的动态行为，构建适当的动态利率模型成为固定收益分析的核心，并且动态利率模型一直是金融领域研究的重点。（二）研究目的和意义1研究目的我国短期利率的随机行为的研究越来越重要，具体原因有首先是以全国银行间同业拆借市场和银行间债券市场为代表的利率市场的完善，标志着我国利率形成机制正初步实现市场化；其次是1998年我国货币政策的调控基本实现了由直接调控向间接调控的转变，这种利率形成机制的结构性变化使得采用区制转换模型描述利率行为成为可能；第三我国的固定收益产品不断增多，对这些产品的合理定价严重依赖于所选择的短期利率动态模型。综上伴随着国内利率市场化的进程，确定准确基准利率的变动模式也变的越来越重要。本文就是采用区制转移的单因素扩散模型分析我国短期利率动态特征。将连续时间2状态一阶马尔科夫链的区制状态变量引入到单因素模型的漂移项和波动项部分中，来考察我国短期利率结构转移特征。并且使用推断概率将利率波动区制进行划分来分析宏观经济与短期利率结构性转移之间的内在关系。在此基础上，通过模型对比说明错误的模型表达式将会导致错误的参数估计结果，尤其是对短期利率波动项和结构转移概率等这些在经济状态的预测、债券及其衍生产品定价以及利率风险管理中非常重要的参数指标给出错误的结果。2研究意义由于短期利率是金融产品定价的基础，所以对利率动态模型的研究一直是金融领域研究中的重点与难点。经过多年的发展,由于参与主体的多元化、产品多样化，我国债券市场4在不断的发展与完善，伴随着利率市场化改革、国债发行规模不断扩大及国债交易品种不断丰富，利率期限结构趋于多样化。因此研究短期利率的动态行为具有更现实的意义。首先通过短期利率的研究来对固定收益债券和衍生债券进行定价。现代金融产品的设计与定价是以利率波动率模型为基础,因此产品的设计与定价是以利率为基础进行的。只有准确估计了动态利率模型各参数，尤其是波动率参数，才能为金融衍生产品的开发和设计提供合理的价格依据，从而使得金融产品不断丰富、金融市场机制不断完善。其次，短期利率水平通过影响风险溢价水平，能够对风险资产的期望均衡收益产生重要的作用。因为利率期限结构表示在一定风险水平下具有不同到期期限的证券收益率与其到期期限之间的关系，所以在不同的风险水平下，给予证券的报酬是不同的。因而，利率期限结构蕴含着市场对于风险的补偿。对利率期限结构曲线形状的判断分析，有利于有效地管理金融风险。而短期无风险利率是金融市场上最基本的价格决定因素，它驱动着利率曲线结构的变动，因而选择正确的短期利率动态模型非常重要。最后，利率是基础的宏观变量并随着经济变量的变化而变化。政府通过对利率水平的调整来实现经济增长、物价稳定、充分就业与国际收支平衡等政策目标。企业通过参考利率来衡量其在生产、投资等经营活动产生的成本和收益。因此，揭示利率变动的实质，把握利率水平的变化，能够为政府制定宏观经济政策提供依据，能够对企业的生产与投资行为提供指导。3基本框架第二章为文献综述。主要从两个方面进行相关的研究回顾。一方面回顾了国外学者对于短期利率动态模型理论及实证研究，分别介绍了单因素模型下的短期利率动态研究、多因素模型下的短期利率动态研究、跳跃一扩散模型下短期利率动态研究以及区制转移一扩散模型下的短期利率动态行为研究。另一方面回顾了国内学者对于短期利率动态行为的经验研究。第三章为含有区制转移动态利率模型的构建。首先，简单介绍单因素扩散模型。然后，在此模型基础上加入区制转移变量，该区制状态变量服从连续时间两状态马尔科夫链。最后，简单介绍马尔科夫链转移概率矩阵。5第四章对参数极大似然估计方法进行了详尽的阐述。首先，详尽介绍了AITSAHALIA2002,ECONOMETRICA提出的求解任意单因素扩散过程转移密度函数近似封闭解的理论。然后，利用该理论获得本文短期利率模型的转移密度函数显性表达式。最后，详细阐述了给出的递推算法，并运用该方法得到本文模型的极大似然函数。第五章为本文的实证部分。首先，对本文实证所使用的数据进行说明并给出样本数据的基本统计一量。然后，运用第四节给出的本文模型的极大似然函数对我国银行间拆借市场七日同业拆借收盘利率（即IBO007）的日数据进行实证研究。最后，将本文模型的实证结果与含有区制变量的VASICEK模型和CIR模型进行比较分析。第六章给出了本文的结论及研究展望。这一部分主要给出了本文的主要工作和结论、本文的创新点以及本文的不足和研究展望。二、相关文献综述短期利率的动态行为对固定收益证券及利率衍生品的定价起着十分重要的作用，了解短期利率的动态有助于金融产品价格发现和利率风险管理。短期利率是分析经济周期的一个重要指标，其在制定货币政策和预期通货膨胀等方面有着相当重要的作用。对短期利率的动态行为进行分析有助于制定正确的宏观经济政策，使得制定的经济政策适应经济周期和通胀预期的变化。因此，国外大量的学者对短期利率的动态行为进行研究。根据所描述的短期利率的动态行为特征和发展顺序，将动态短期利率模型分为单因素模型、多因素模型、跳跃一扩散模型以及区制转移一扩散模型。（一）动态利率模型1单因素模型下的短期利率动态行为最早的单因素模型是由MERTON（1970）提出，MERTON假设在风险中性概率空间中,短期利率遵循广义布朗运动TR1QTTDRTDW6那么，未来短期利率遵循条件正态分布。但是这样的理论结果与现实短期利率行为TR不吻合，因为MERTON模型给出的利率会以一个严格大于零的概率为负。随后VASICEK（1977）将利率均值回复的特征引入模型。VASICEK假设在风险中性概率空间中，短期利率遵循如下过程，（2）（R）QTTTDRDW模型（2）相对于模型（1）的一个重要改进就是考虑了短期利率的均值回复行为特征，也就是短期利率不会无止境地增加和减少，它总是在长期均值水平夕附近波动。并且参数越大，短期利率回归到长期水平的速度就越快。VASICEK模型也同样存在未来利率会以RT一个严格正的概率为负的缺陷。为了避免利率在未来某个时刻以一个严格为正的概率出现负值这个缺陷，COX,INGERSOLLANDROSS（1985）导出了在经济达到均衡条件下利率取值不为负数并且具有均值回复特征的模型后称模型（后称CIR模型），（3）（R）QTTTDRDRW模型（3）的波动率函数是利率的平方根函数为，当利率水平增大时，利率的期T望波动率也增大，体现了利率的波动率具有水平效应。CHAN,KAROLYI,LONGSTAFANDSANDERS（1992）估计了一个更为一般的模型（后称CKLS模型），（4）（R）QTTTDRDR模型（4）的波动率函数为（为常数），当不为0时，利率的波动率具有水平T效应。实证研究拒绝了所有小于等于的模型，研究结果发现美国利率的等于15。以上单因素模型的漂移项都是短期利率的线性函数。除了上面4个单因素模型，RENDLEMANANDBARTTER（1980）假设短期利率服从几何布朗运动，并且在这个模型的基础上为固定收益债券的欧式看涨和看跌期权进行定价。BLACKANDKARASINSKI（1991）对短期利率的对数进行建模，分别用目标利LOG（）TRLOGLOGLTTTDRTTRDW率表示收益率曲线，表示利率的均值回复，表示短期利率的局部波动。并且在对数模型下未来短期利率永远不会出现小于零的值。LONGSTAFF（1989）提出了平方模7型，使用广义矩方法对参数进行估计，并且证明了此模型比CIR平方根模型刻画国库券实际利率在1964年到1986年的动态行为效果更好。随后BEAGLEHOLEANDTENNEY（1992），JAMSHIDIAN（1996）和LEIPPOLDANDWU（2002）也都提出了平方模型，这些模型都假设利率扩散过程的漂移项是短期利率的非线性函数，即为利率的二次函数。JONES（2003）和KRISTENSEN（2004）对单因素扩散模型也进行了研究。2多因素模型下的短期利率动态行为利率的单因素模型结构比较简单,但是它们不足以刻画实际中发现的短期利率的有偏、尖峰、厚尾分布以及波动集聚等的动态行为特征。鉴于单因素模型在描述短期利率动态行为方面的不足,动态利率模型发展了多因素模型。HULLANDWHITE（1994）提出了两因素VASICEK模型，该模型将单因素模型中的长期利率水平设为另一个状态变量。LONGSTAFFTANDSCHWARTZ（1992）提出了两因素CIR模型，这两个因素分别是短期利率和短期利率的波动率。由于假设收益率依赖于波动率水平，使得该模型能捕捉收益率曲线的许多特征,如单调递增、单调递减、先增后减和先减后增等多种形状。因此该模型比单因素模型能更好的描绘收益率曲线的形状及变特征。BALDUZZI，DAS,FORESIANDSUNDARAM1996考察了三因素仿射模型，模型中的三个变量分别是短期利率水平，短期利率的长期水平和短期利率的瞬时方差。CHEN（1996）也采用了用上述三个变量作为状态变量，构建了一个三因素模型，并给出了零息债券和零息债券期权等债券的封闭定价公式。DAIANDSINGLETON（2000）将具有仿射形式的多因素模型分为不同的类别，对每个类别的仿射模型找出其最一般的表达式，并集中研究三因素模型，同时设法证明已有的三因素模型都包含在他们的分类中。他们对三种不同期限零息债券收益率的样本数据进行了实证研究，发现为了使模型更符合实际情况，对其进行推广是关键，但是推广的模型很难得到零息债券封闭的定价公式。除了上面以短期利率水平、短期利率的长期趋势及其波动率为状态变量构建多因素模型外，许多学者也提出了以其他变量为状态变量来构建多因素模型。例如提出同时以短期利率和长期利率为状态变量的多因素模型，并假设这两个利率服从高斯维纳过程。他们使用该模型对加拿大政府债券进行定价。DUFFIEANDKAN（1996）研究了关键利率模型，他们选取N个不同8到期日的收益率作为关键利率并且它们服从具有随机波动率的多元马尔科夫扩散过程。同时给出了扩散表达式中参数的充要条件以及求解模型的数值方法。三、我国国债市场的现况分析（一）中国国债市场发展历史回顾中国国债市场伴随着中国市场经济的发展而成长。经过二十多年的历程，国债市场有了长足的进步，但同时又距离市场经济的要求相差很远。研究中国国债市场的发展历史，科学的区分期发展阶段，一方面可以帮助认识国债市场当前的位置和未来的发展方向，另一方面也可以为国债收益率曲线的研究提供市场背景。（二）中国国债市场的现状按照国债发行、上市交易的场所划分，目前，我国债券市场分为三个部分，即银行间债券市场、交易所债券市场、和商业银行柜台市场。一、银行间债券市场表1银行间市场和交易所市场的对比银行间市场交易所市场交易主体银行、信托投资公司、保险公司、基保险公司、基金公司、证券公9金公司、证券公司、农村信用社和财务公司司及企业和个人交易规模大宗交易为主小额的零星交易交易方式场外询价方式集中撮合竞价方式交易费用免费单项交易02的手续费资料来源中国债券网四、模型的极大似然估计方法（一）求解扩散过程转移密度函数近似封闭解的方法（41）TTTTDXDXW模型（41）是连续时间参数化的扩散过程，其中是状态变量，是标准布朗运动，T和都是已知函数，是未知的参数向量。扩散过程在金融领域被广泛的应用，可以用它来描述资产收益、汇率，利率等的随机动态过程。这类模型刻画的是金融变量在连续时间的动态行为，但是能够获得的金融变量的数据却是离散时间的样本数据。现在有很多学者提出不同的计量经济方法来估计模型的参数。有些计量方法是基于模拟，如GOURIEROUX，MORFORT,ANDRENAULT1993,GALLANTANDTAUCHEN1996。还有一些学者采用广义距方法来估计参数，如HANSENANDSCHEIKMAN1995，DUFFIEANDGLYNN1997，KESSLERANDSORENSEN1999。近似距的非参数回归，如STANTON1997，以及贝叶斯估计法等，如ERAKER1997。如果认为参数化模型41是正确的，那么采用极大似然法来估计参数是一个很好的选择。但是问题是对于模型（41）所代表的大多数扩散过程都没有一个显性的极大似然函数表达形式。定义表示在条件下，时模型0,XPX0TXXTXX（41）的条件密度函数，也被称作转移密度函数。假设在时刻，0,IN其中，观察扩散过程。根据贝叶斯法则和模型（41）的马尔科夫性可知，模型0（41）的对数似然函数形式为（42）11LN,NXIIIP对于少数几个扩散模型如BLACKANDSCHOLES模型、VASICEK模型和CIR模型，转移密度函数有显性的封闭的函数表达形式，那么对数似然函数（42）也有显性的函数形式。对于10离散时间样本，现有的求解转移密度函数方法包括数值地解偏微分方程，如XPLO（1998）采用的方法，以及包括模拟扩散过程（41）的许多样本路径，如PEDERSEN（1995）和SATANCLARA1995。但是这两种方法都没有求出似然函数封闭形式。相反，本文要构建转移密度的近似封闭形式序列，那么由42可以求出对数似然函数的JXP近似封闭函数序列。JN1近似转移密度函数序列的构建为了能更好的理解近似序列的构建，可以作以下类比。考虑一个随机变量标准化的XP和，这个标准化的和适用于中心极限定理（CLT）。当随机变量的个数N为无穷大时，我们通常使用标准正态极限分布来近似表示这些变量经过标准化后的和的分布。如果变0,1N量的个数较少，可以通过加入极限分布的更高阶项来改进。下面将要进行扩散过程近似转移密度的构建就是上述随机变量的一个类比。随机扩散过程的抽样间隔可以看做是随机变量个数N。如果我们能正确的将样本数据进行标准化，那么当趋近于0时，就能找到标准化样本数据的极限分布。在中心极限定理（CLT）中，将数据进行标准化是指将数据相加然后再除以，而在本文中就是将原始的随机过程X转换成另一个随机过程Z。上面12两种类比情况中，合适的标准化都将应用。由于不等于0，可以通过在0,1N基础上加入更高阶项来修正。在中心极限定理（CLT）情况中，收敛是指当随机变0,1N量的个数N趋于无穷时，具有固定数目修正项的序列收敛。实际上，对于常数N，当加入越来越多的修正项时，EDGEWORTH表达式通常是收敛的，除非每一个随机变量的概率密度不近似于标准正态概率密度。密度函数在固定抽样间隔情况下，是不能用标准正态密XP度函数来近似的。因为扩散过程X的分布通常情况下不是正态分布。例如，当随机过程X服从几何布朗运动时，对数正态密度函数具有较厚的右尾，从而使得HERMITE多项式不能够收敛。为了得到收敛的转移密度表达式，将扩散过程X转换成Z，而扩散过程Z的转移密度函数在更多的修正项加入时收敛，即Z的转移密度属于HERMITE序列收敛的情况。2第一次转换XY113第二次转换YZ4转移密度函数的近似表达式的构建5近似转移密度函数显性表达式的构建（二）短期利率转移密度函数显性表达式的构建TRTTPR先得到转移密度函数的近似封闭式函数形式，该封闭函数将用于对数似TTP然函数的构造。根据AITSAHALIA2002所描述的方法，首先将短期利率扩散过程用下面的等式转化TR为单位扩散过程，TY1TRTTDU其次，利用ITOSLEMMA得到单位扩散过程，TYTTTDW其中，112YYYYX12最后，将单位扩散过程变换成转移密度函数近似标准正态分布的扩散过程，那么TYTZ就可以对进行HERMITE扩展，如下ZP000,JJZZJJZYZYHZ其中，为标准正态密度函数。HERMITE多项式是标准正交基并定义为Z221JJZZJDDZHE其中，并且有2/ZE,IJZZDIJ0IJHOTHERWS利用HERMITE多项式的正交性，可以得到表达式,JZY00000,1,|,|1|JZJJYJTJTYJZPDZYZYJHEY条件期望可以使用无穷小操作因子进行泰勒展开，YA1000,|,KKKKTTEFYYFYO利用上面的公式，时间间隔用幂级数排列形式，可得到近似密度函数的第K阶YP扩展表达式为（）01/20000,|EXP|KKKYYKYYPYWDCY其中0|1CY012201010|/YJJJYJJCYJWCWYCWYDW1321YYYYYY实际上，大多数情况下K1或2就能得到非常精确的密度函数。本文采用K1，根据弹性参数的取值不同，可以得到不同的函数形式，T1,0TTTYR,TTTLN,1TTTR,TTTYR根据ITOSLEMMA得到单位扩散过程在上式中的任何情况都有，但是T21YT可根据上式具有不同的表达式。利用（）式，转移密度函数YT在上式中的任何情况下都能得到。然后通过变量变换就可以得到利率的|KTTPYTR转移密度函数|KKYTTTTPRPR进行极大似然估计的时候才要求随机过程是平稳的。根据左右边界条件，不YY用对和进行任何约束就能保证随机过程是平稳过程。01TR（二）数据来源我们主要研究收益率曲线变动情况，因此需要较长时期的收益率曲线历史数据，该实证分析选取近四年的国债收益率信息，样本跨度足够大，消除市场环境影响并消除数据间过强的相关性。因为考虑模型数据维度的问题，我们将使用月度数据，虽然这样将比使用日数据丢失更多信息。在本分析中,我们用2012年8月至2015年8月每月3号数据进行相关的实证研究（遇到非交易日，则提前或顺延到邻近的交易日）。14我们直接使用中国债券信息网所提供的中债收益率产品“银行间固定利率国债收益率曲线”（其网址是HTTP/YIELDCHINABONDCOMCN/CBWEBMN/YIELD_MAIN）进行研究，样本期限包括从2012年8月3日到2015年8月3日的月度数据，样本共37个；选取了该产品的收益率期限017年（2个月）、025年（3个月）、05年（6个月）、075年（9个月）、10年、20年、30年、40年、50年、60年、70年、80年、100年、150年、200年、300年、400年、500年作为样本点。五、基本实证分析将37个样本所含各期限数据导入STATA120中。下表中变量按顺序表示各样本点的收益率数据，即X1表示2个月收益率,X2表示3个月收益率，X3表示6个月收益率，依次类推，一直到X18表示50年收益率。从下表的描述性统计量看出，近四年来我国银行间固定利率国债收益率总体上短期利率和长期利率都经历了一个先上升后下降的过程,标准差说明2个月期、3个月期、6个月期、9个月期的中期利率变动较大。表2变量的基本描述性统计变量变量含义观测值均值标准差最小值最大值X12个月收益率37308521606096954194914789X23个月收益率373086227058733091953145792X36个月收益率3730791053642691887441404X49个月收益率373091365054840441789641625X51年收益率3731302590549498217744231X62年收益率373305878049584142361343792X73年收益率373425297045994872632144237X84年收益率3735359380461336526544522X95年收益率3735780304273646286284516