[数学精品] 常微分方程及其matlab求解 毕业设计 + 开题报告 +任务书

大学毕业论文（设计）论文题目常微分方程及其MATLAB求解姓名学号学院理学院专业信息与计算科学指导教师职称教授中国合肥二O一一年六月大学学士学位论文（设计）开题报告A1A0A2A3A0A2常微分方程及其MATLAB求解A4A5A6A7A4A5教师指定A8A9A10A11A8A9A10A11A12A13A12A1307A14A15A16A17A18A19A20A21A22A23A24A25A26A27A24A25A26A27A28A29汪宏喜A30A31A30A31教授A32A33A34A35本文主要讨论了一阶常微分方程和高阶常微分方程的相关解法问题,并用MATLAB求解相关方程文章首先探讨了一阶常微分方程的解法，讨论的主要类型有变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有变量分离法和一阶线性方程的常数变易法然后讨论了高阶常微分方程的解法的问题，所讨论的解法有非齐线性方程的常数变易法、常系数齐线性方程的欧拉待定指数法和非齐线性方程的比较系数法最后简单讨论了线性微分方程组的解法和其性。A36A37A38A3912011年2月25日3月25日调查研究并查取相关资料22011年3月25日4月25日完成主要内容中一、二两章32011年4月25日5月25日完成主要内容中第三章42011年5月25日5月30日完成论文初稿并修改，撰写毕业设计论文，打印成册52011年6月1日6月10日准备毕业论文答辩A40A41A42A43A44本文主要探讨常微分方程解法以及运用MATLAB实现其算法，既阐明了常微分方程解法的原理，也运用了数学工具来实现了算法。把理论和实G17353G13479G2524G17227来G7171本文的一G3835G10317G14406，易G1122简单的了解常微分方程G2528时G2460G14033G6496G6581G3926G1321求解常微分方程A45A46A47A48A49A50A51A52A53A54A52A53A55A56A57A52A50A58A59A52A50A60A61A62A63A64A65A64A65A64A65A66A66A67A68A69目录A70A61A70A611A71A72A73A71A721A74A75A74A751A76A77A78A76A77A79A80A81A82A83A84A85A86A87A88A89A79A80A82A83A84A85A86A87111A90A91A92A93A94A92A95A96A97A90A91A98A99A91A92A93A94A95A96A91A981111A90A91A92A93A94A92A95A96A93A941112A100A101A102A90A91A92A93A94A92A95A96A103A104A105A101A102A91A92A93A94A103A104212A106A107A92A108A95A96A106A107A95A96313A106A107A95A96A97A109A110A111A95A96A106A107A95A96A109A110414A112A94A92A95A96A97A113A92A114A115A112A94A97A1135141A112A94A92A95A96A112A94A95A966142A113A92A114A115715A116A117A118A95A96A116A1178151A100A119A120YA121XA103A95A96A103A119A122A95A96A103A1198152A123A124A125A124A125YA126A126A127A127XA128A129A130A131916MATLABA132A133A134A130A131A135A129A136A137A133A13410A138A139A140A138A139A141A134A142A143A130A131A129A144A145A141A134A143A130A144A1451221A146A147A142A143A130A131A129A133A148A149A150A147A142A143A130131A151A152A146A147A142A143A130A131A129A144A129A147A153A154A155A156A152A146A147A142A143A130A153A154132A157A158A152A146A147A142A143A130A131A154A159A160A161A162A145A152A146A147A142A143A130A160A161A162A1451422A163A164A165A166A167A168A169A170A171A172A173A174A163A164A165A166A168A169A170A171141A175A176A177A165A178A175A176A173A178A1751423A179A180A181A166A167A168A169A170A171A172A182A183A164A165A174A179A180A181A166A168A169A170A171A183A1641824A184MATLABA173A185A186A166A167A170A171A186A16620A187A188A189A187A188A166A167A168A169A170A171A190A168A169A170A1712331A191A192A193A165A191A1922432A194A173A191A192A172A195A196A194A173A191A192A195A196251A191A192AA197A198NA199A200A201A202A203A204A205A206A207A208A204A209A210A199A200A204A205A206A207A204A2092533A211MATLABA212A200A201A213A214A215A212A200A214A21528A216A21729A218A219A220A221A218A21930ORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONANDCARRYONBYMATLAB31ABSTRACT31KEYWORDS31A222A223A224A225A226A227A228MATLABA229A230A2311A232A23330A232常微分方程及其MATLAB求解摘要本文主要讨论了一阶常微分方程和高阶常微分方程的相关解法问题,并用MATLAB求解相关方程文章首先探讨了一阶常微分方程的解法，讨论的主要类型有变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有变量分离法和一阶线性方程的常数变易法然后讨论了高阶常微分方程的解法的问题，所讨论的解法有非齐线性方程的常数变易法、常系数齐线性方程的欧拉待定指数法和非齐线性方程的比较系数法最后简单讨论了线性微分方程组的解法和性G17148。关键字一阶常微分方程高阶常微分方程解法MATLAB引言常微分方程G1328为现G1207数学的一G1022G18337要分G6915，G4439的G1147G10995G1972G1058G994微G12227分G7171G2528时G1207的，G13475G17819G2394G2502的G9448变，G4439G5062G13475G7171G2520G12193G5224用学G12197和数学理论研究G18129G993可G13582G4581的工具。G19555G11540计算G7438G6228G7427的G20146G17907G2469G4649，G7368G1363G4439的G5224用G9195G17891到G2159学、G3837文、G10301理G12573G2520G1022G20058G3507。G17963G6034的G7171，G13489G3835G3822数微分方程定解问题的解G993G14033以实用的解G7524G5430G5347来G15932G12046，这G4613G1147G10995了理论G994G5224用的G11695G11474一方G19766，G1166G1216G5326G12447了G3835量实用的数学G8181型，G2027G1998了G2465G7156G4470G16278现G16949的微分方程；G2490一方G19766，G1166G1216G2460G7092法G5483到这些方程的准G11842解以定量G3332G6563G17860G4470G16278G17819程。G118620G1002G1343880年G1207以来，G1002G11040G2520G3281所G5332G2469的数学类G12197G6228G17731G1226G3822G17810G1972G2325G12193，在G6117G3281G8981G15904的数学G17731G1226主要有G3247G12193MATLAB、MATHEMATICA、MAPLE和MATHCAD。其中，MATLAB有G11540其G4439G1972G12193数学G17731G1226G7092法比G6323的G1260G2195和G17878用G19766，G17829G1972年，MATLABG5062成为G12197学工G1328G13785首G17885的数学G17731G1226。本文把微分方程求解和MATLAB有G7438的G13479G2524G17227来，G1852G19766G1183G13473了微分方程的求解在MATLAB中的实现，G1363G5483G16765数学G3534G11796G993G9157G2414的G16847G13785G2528G7691G14033G17743易G2045用MATLAB解决较高G9157的微分方程问题。第一章一阶微分方程的初等解法11变量分离微分方程与变量代换变量分离微分方程G7171一G12193最简单也G7171最G3534本的可用初G12573方法求解的微分方程类型，对一般的微分方程总G7171设法寻求G17878当的变量G1207换，将其化为变量分离微分方程来求解。111变量分离微分方程A234A235A236A237A238A239A240MATLABA241A242A2432A244A24530A244G5430G3926YHXFDXDY（11）的方程，称为变量分离微分方程，其中,YHXF分别G7171YX,的连续函数。G3926果0YH，方程改写为DXXFYHDY（12）G3926果XYG7171方程的解，且0XH，则在解的定义G3507内满足DXXFXHXD（13）两边G12227分G5483CDXXFXHXD（14）则XYG7171由隐函数方程CDXXFYHDY（15）所G11842定的函数，对一切允许值C，,CXYG18129将G7171方程的解，即（15）实际给G1998了方程的通解公G5347。G3926果0YH有实根KYY（K1,2,3，,M）,则可以验证KYY（K1，2,3，M）也G14033G7171方程的解。有时可以通G17819扩G3835常数C的取值范围，G1363其包含G1122通解G15932G17810G5347中。112可化为变量分离微分方程的类型对G1122方程,YXFDXDY在变量G1207换CBYAXU下变成1,1CAXUBXFADXDUB（16）整理G5483BACAXUBXFDXDUB1,1（17）G993难看G1998，G5483到的方程为变量分离微分方程当且仅当A246A247A248A249A250A251A252MATLABA253A254A2553A11A1230A111,UGXBACAXUBXF）（18）由此G6117G1216可G5483G1998以下G13479论变量G1207换CBYAXUG14033化为变量分离微分方程的一般类型为BACBYAXGXDXDY（19）其中UGX）和（均为任意的连续函数，在变量G1207换U下，方程化为变量分离方程UGXBDXDU（110）求G1998（110）的解，用CBYAXUG1207回原变量，即求的原方程解12线性分式方程G6117G1216把G5430G3926222111CYBXACYBXADXDY（111）的方程称为线性分G5347方程，这里222111,CBACBA均为常数。当021CC时，方程（111）G7171齐次方程，当21CC和G993G1852为零时，G3926G1321化为某G12193G5062知的可解类型当21212211,0BBAABABA即的情G5430。设KBBAA2121，则方程可以写成222122CYBXACYBXAKDXDY（112）令YBXAU22，方程G4613化为变量分离微分方程2122CUCKUBADXDU（113）当02211BABA时解方程组00222111CYBXACYBXA（114）A1A0A2A3A4A5A6MATLABA8A7A104A9A1330A9设所求G5483的解为YX,。G1328坐标平移变换YYXX（115）将方程（111）变成齐次方程YBXAYBXADXDY2211（116）G13475G17819变换XYU将方程（116）化为变量微分方程。求解所G5483变量微分方程后，逐步G1207回原来的变量，求G5483原方程的解。13线性方程与伯努利方程G6117G1216把一阶线性方程通常写成其标准G5430G5347,XQYXPDXDY（117）其中，,XQXP为连续函数，当0XQ时，方程成为,YXPDXDY（118）称方程（118）为方程（117）对G5224的齐次线性方程，而称（117）为非齐次线性方程。齐次线性方程（118）G7171变量分离微分方程，可求其通解为DXXPCEY（119）为了求（117）的解，设想用两G1022新的未知函数XVXU和的乘G12227G15932G12046原来的未知函数，即XVXUY（120）G1207入方程G5483XQXVXUXPDXXDVXUXVDXXDU（121）将其整理G5483XQXUXPDXXDUXVDXXDVXU（122）设XU为齐次方程0XUXPDXXDU的解DXXPEXU，则方程变成A14A15A16A17A18A19A20MATLABA21A22A235A24A2530A24XQEDXXDVDXXP（123）这G7171一G1022变量分离微分方程，很容易求G5483其通解为CEXQXVDXXP124最后G5483到非齐次线性方程的通解CEXQEYDXXPDXXP（125）以上这G12193方法被称为常数变易法。G5430G39261,0,NYXQYXPDXDYN（126）的方程称为伯努利方程，将方程（126）两边G2528时除以NY，方程变成1XQYXPDXDYYNN由G1122,11DYDYYNNN即NY1关G1122Y的导数恰好为NY的1N（常数）倍，G1122G7171,111111DXDYNDXDYDYDYNDXDYYNNN方程化为1111XQNYXPNDXDYNN令,1NYZ伯努G2045方程化为了线性方程11XQNZXPNDXDZ求G5483此线性方程的通解，G1207回原变量，G4613可G5483到伯努G2045方程的通解。此外，G3926果N0，则Y0显然也G7171伯努G2045方程的解。14全微分方程与积分因子G1852微分方程G7171G2490一G12193既简单G2460G3534本的可G12227方程类型，一般的方程可以通G17819求G5483其A26A27A28A29A30A31A32MATLABA33A34A356A36A3730A36G12227分因子，乘以G12227分因子而化成G1852微分方程求解，这G7171一阶微分方程初G12573G12227分方法的第二G12193有效途径。141全微分方程G6117G1216讨论一阶对称G5430方程MX,YDXNX,YDY0127而且约定MX,Y,NX,Y在所考虑的单连通区G3507GG18129具有一阶连续偏导数。G3926果其左端恰好G7171一G1022G1852微分，即存在一G1022可微的二元函数UX,Y，G1363G5483MX,YDXNX,YDYDUX,Y,（128）则称这G1022方程为全微分方程，UX,Y称为左端G1852微分的一G1022原函数根据数学分G7524中关G1122线G12227分DYYXNDXYXML,G994路径G7092关的G1972G1022G12573价命题及G1852微分方程的定义，方程（127）为G1852微分方程的充分必要条G1226G7171在所考虑的单连通区G3507G内有,XYXNYYXM（129）G3926果方程（127）G7171G1852微分方程，设UX,YG7171G1363G5483条G1226（128）成G12447的可微函数，则方程（127）G4613成为DUX,Y0设函数YXG7171方程（127）的解，则0,XXDUXDXXNDXXXM130G1186而,CXXU131这里CG7171某G1022常数。这G15932明，G1852微分方程（127）的解XYG7171由隐方程UX,YC132所G11842定的隐函数。G2465之，对G1122保证隐方程（132）有解的任意常数C，方程（132）G11842定的隐函数G7171,CXY则CCXXU,，G1122G71710,CXDCXXNDXCXXMCXXDU133这G15932明,CXYG7171G1852微分方程（127）的解。总而言之，G1852微分方程127的解G7171由隐函数方程（132）所G11842定的隐函数，G2465之由方程（132）所G11842定的隐函数也G7171必然G7171G1852微分方程127的解。求G1998方程127左端微分G5347的原函数UX,Y成为解G1852微分方程的关键。G2045用G994路径G7092关的线G12227分化为定G12227分求这G1022原函数的方法，G993失一般性，取GYX,00，有A38A39A40A41A42A43A44MATLABA45A46A477A48A4930A48YYXXDYYXNDXYXMYXU000,（134）最后G5483到G1852微分方程127的通解为UX,YC，这里C为任意常数。142积分因子下G19766G6117G1216看这G7691一G1022简单的方程YDXXDY0G4439显然G993G7171G1852微分方程，但只要分别乘以下G2027因子,1,1,1,12222YXXYXY方程G4613分别化为,0,0,0,02222YXXDYYDXXYXDYYDXXXDYYDXYXDYDYX这些G18129G7171G1852微分方程，相G5224G5483到方程的通解分别为,ARCTAN,LN,CYXCYXCXYCYX由此可见，非G1852微分方程可以通G17819乘以某G1022非零因子而化为G1852微分方程，并且这G7691的因子还G993G7171唯一的，相G5224G1122方程乘以G993G2528的这G7691的因子化成的G1852微分方程所G5483到的通解在G5430G5347上还可以G7171G3822G7691的。G3926果存在连续可微的函数,0,YXG1363G54830,DYYXNYXDXYXMYX（135）成为一G1022G1852微分方程，则称,YX为方程127的一G1022积分因子显然，方程（135）G994方程127G7171G2528解的为了求方程127的G12227分因子，首先需了解,YXG1328为方程127的因子所具备的条G1226根据G12227分因子的定义及G1852微分方程的充要条G1226（133），,YX为方程127的G12227分因子当且仅当,XNYM即XNYMYMXN（136）这意味G11540要求一般方程127的G12227分因子，需要一G1022一阶线性偏微分方程（136），A50A51A52A53A54A55A56MATLABA57A58A598A60A6130A60这比解方程127本身G2465而困难G5483G3822尽管G3926此，G6117G1216可以考虑求某些G10317殊G5430G5347的G12227分因子，以简化条G1226（136）G1363其求解成为可G1403315一阶隐方程接G11540G6117G1216讨论一阶隐方程0,YYXF（137）G3926果可以将,YG1186方程中解G1998，求解方程G4613归G13479到一G1022或G1972G1022显G12046微分方程的求解问题,但G7171G3926果难以G1186方程中解G1998Y，则可以采用引进参数的G2162法G1363之变成导数G5062解G1998的方程类型，这G4613G7171现在主要G1183G13473的方法。151可解出Y或X的方程的解法1首先讨论G5430G3926DXDYXFY,（138）的方程的解法，这里G1563设函数DXDYXF,有连续的偏导数。引进参数PDXDYA62则（138）变为,PXFY（139）将A63139A64两边对X求导数A62并以PDXDYG1207入，G5483到DXDPPFXFP（140）方程（140）G7171关G1122X,P的一阶微分方程，但G4439的导数G5062解G1998，G1122G7171G611