拟线性广义逆与非完全分歧理论及其应用

东北师范大学博士学位论文拟线性广义逆与非完全分歧理论及其应用姓名刘萍申请学位级别博士专业应用数学指导教师王玉文20080501东北师范大学博士学位论文摘要非线性数学是非线性科学的部分，亦为非线性科学的笨础，是现代数学研究的丰攻方向之一。本文研究内容属于二|扛线性数学范畴，同时与物理、化学、生态学、通过数学模型有一定的交叉，是数学一1，非线性分析学的研究内容现代科学技术L，的现实系统，通过数学建模，其状态方程一般为代数方程、常微分方程、差分方程或偏微分方程。如果适当地选取状态空间与输入空问为BANACH函数空间X勺Y，W统一地将状态方程表示为算予方程FXY或FA，ZY，这里F为从X到Y的算子映射，而F，为从魏X到Y魄算子。对于非线性系统来说，上述方程一般为非线性力程FA，Z一Y001如果F与A无关，且关于Z为线性的，则方程001可表示为TXY，其；TLX，Y为线性算子，如果I方程的解存在；II方程能鳃唯一；III方程的解关于Y连续相依，则称算子方程是适定的如果上述三条I|I有一条不成立，则称算子方程为非适定的1仁适定数学是近五T年才发展起来的研究方向非适定的非线性算予方程的硒究内容丰要有分歧、突变、混沌等，谢I适定线性算子方程的丰要研究内容有算予广义逆理论等本文研究了拟线性广义逆与非完全分歧理论及其在编微分方程，LT豹应，嚣。首先，证明了在线性算子的所有拟线性广义逆集合TL其最佳广义逆不是别的，恰为MOOREPENROSE度量广义逆从而使2000年GRGOLDSTEIN和J。A。GOLDSTEIN得到的结聚“最佳广义逆矩阵就愁MOOREPENROSE广义逆”成为其实质特例，其次，将算予广义逆理论勺非线性方程的局部分歧理论相结合，解决了非爷特征值的广义分妓定理，并鹿璀予扰动方程，为分歧理论的研究提供了瓤的思路。最后，研究了BANACH空问的解析分歧理沦刚MORSE引理代替隐函数定理，在没有给定解曲线的情况下，通过F本身在分歧点的条件得到了两支交叉的解NL线，从丽使CR褪ETAB秘RABINOWITZ的经典髂析分歧定理成为其特例。剥J|J新得到的分歧定理研1东北师范大学博士学位论文究了小扰动下的怍完全分歧，并给出不H的横截条件，对中特征根条件下一仁线性方程解的局部状念进行了近乎完全的分类并将获得的结果应川到半线性椭圆方程|I特别是应川I完全分歧理沦研究了扰动逻辑型力程住对称区问上的精确多解性问题，得到了精确分歧图关键IIDBANACH空问；最佧广义逆；拟线性广义逆；一仁甲特征值；非完仝分歧；二级分歧；多解性；逻辑力。程东北师范大学博士学位论文ABSTRACTNONLINEARMATLMMATICS，ASARANCHOFNONLINEARSCIENCE，ISTHETHEORETICALFOUNDATIONOFNONLINEARSCIENCEANDITISONEOFTHEMOSTSTUDIEDDIRECTIONSINMODERNNLFLTHEMATICSTHECONTENTOFOURPAPERBELONGSTONONLINEARMATHEMATICS，WHICHISCONNECTEDTOMANYNONLINEARPROBLEMSINPHYSICS，CHEMISTRY，ENGINEERINGANDBIOLOGYBYTHEIRMATHEMATICALMODELSINGENERAL，THEMECHANISMOFREALWORLDPR01LEMSANDMODERNSCIENCETECHNOLOGYCANBEDESCRIBEDBYSTATEEQUATIONSLIKEALGEBRAICEQUATIONS，ORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONS，DIFFERENCEEQUATIONS，PARTIALDIFFERENTIALEQUATIONSANDOTHERTYPESOFEQUATIONSIFTHESTATESPACEAND。INPUTSPACEARETAKENTOBEBANACHSPACES义ANDYWECANEXPRESSTHESTATEEQUATION88OPERATOREQUATIONF力YORFA，ZY，WHEREFANDF，。AREMAPPINGSFROMXTOYANDRXXTOYRESPECTIVELYFORNONLINEARSYSTEMS，THEEQUATIONMENTIONEDABOVEISGENERALNONLINEAREQUATIONFA，ZYIFFISINDEPENDENTOFAANDLINEARABOUTX，THEN002BECOMESTXY，002WHERETLX，YISALINEAROPERATORIFTHEOPERATOREQUATIONSATISFIESTHEFOLLOWINGCONDITIONSITHEEXISTENCEOFSOLUTION；IITHEUNIQUENESSOFSOLUTIONIIICONTINUITYANDDEPENDENCEOFSOLUTIONWITHRESPECTTOY，THENTHEOPERATOREQUATIONISWELLPOSEDIFANYOFTHETHREECONDITIONSFAILED，THENTHEOPERATOREQUATIONISILLPOSEDINTHELASTFIFTYYEARS，ILLPOSEDMATHEMATICSHASATTRACTEDLOTSOFINTERESTS，WHICHHASBEENANIMPORTANTNEWRESEARCHBRANCHTHERESEARCHSUBJECTSOFILLPOSEDANDNONLINEAROPERATOREQUATIONSINCLUDEBIFURCATION，CATASTROPHEANDCHAOSETCANDTHERESEARCHSUBJECTSOFILL。POSEDANDLINEAROPERATOREQUATIONSINCLUDETHEGENERALIZEDINVERSETHEORYOFTHELINEAROPERATORETCIII东北师范大学博士学位论文INTHISPAPER，WEWILLDISCUSSQUASILINEARGENERALIZEDINVERSEANDTHEAPPLICATIONOFIMPERFECTBIFURCATIONTHEORYINSOMEPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONS。FIRST，WESHOWTHATTIMBESTGENERALIZEDINVERSEAMONGALLBOUNDEDQUASILINEARGENERALIZEDINVERSESETINLINEAROPERATORISTIMMOOREPENROSEGENERALIZEDINVERSEINTHECASEXANDYAREFINITEDIMENSIONSPACES黔ANDR“RESPECTIVELY，THISRESULTDEDUCESTHEMAINTHEOREMBYGRGOLDSTEINAALDJAGOLDSTEININ2000SECOND，WESTUDYTHEGENERALIZEDBIFURCATIONTHEOREMFROMANONSIMPLEEIGENVALUE，WHICHWILLBEAPPLIEDTOPERTMBEDNONLINEAREQUATIONSANDITPROVIDESNEWIDEASTOTHERESEARCHINBIFLLRCATIONTHEORYFINALLY,WESTUDYANALYTICBIFURCATIONTHEORYONBANACHSPACES。BYUSINGMORSELELNINAINSTEADOFIXNPLICITFLMCTIONTHEOREM，WEOBTAINTHETWOCROSSINGSOLUTIONCURVESFROMCONDITIONSONFATTHEBIFURCATIONPOINT；WEPROVETHATTHECELEBRATEDBIFURCATIONTHEOREMOFCRANDALLANDRABINOWITZISASPECIALCASEOFOURRESULTWESTUDYIMPERFECTBIFURCATIONUNDERSMALLPERTURBATIONSBYUSINGTHISNEWBIFILRCATIONTHEOREMAALDGIVEDIFFERENTTRANSVERSALITYCONDITIONS，ANDOBTAINTHECLASSIFICATIONOFDEGENERATESOLUTIONS。WEGIVEAPPLICATIONSINSENFILINEARELLIPTICEQUATIONSINPARTICULAR，WEAPPLYTHEIMPERFECTBIFURCATIONTHEORYINBANACHSPACESTOSTUDYTHEEXACTMULTIPLICITYOFSOLUTIONSTOAPERTURBEDLOGISTICTYPEEQUATIONONASYLNMETRICSPATIALDOMAINANDOBTAINTHEPRECISEBIFURCATIONDIAGRAMSKEYWORDSBANACHSPACE；BESTGENERALIZEDINVERSE；QUASILINEARGENERALIZEDINVERSE；NONSIMPLEEIGENVALUE；HNPERFECTBIFURCATION；SECONDARYBIFLTRCATION；MULTIPLICITYOFSOLUTIONS；LOGISTICTYPEEQUATIONIV独创性声明本人郑重声明所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名学位论文使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库中国学术期刊光盘版电子杂志社、中国学位论文全文数据库中国科学技术信息研究所等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。学位论文作者毕业后去向。工作单位丝盈缝匝建盘盗数盏獭通讯地址堕叁逮匣建苤盗教翌型盗孚隗邮话幽二丝Z力297编Z丝型东北师范大学博士学位论文第1章引言非线性数学是非线性科学的一部分，亦为非线性科学的基础，是现代数学研究的主攻方向之一。本文研究内容属于J隧笔性数学范畴，同时遥过数学模型与物理、化学、生态学有一定的交叉，是数学中非线性分析学的研究内容现代科学技术中的现实系统通过数学建摸，其状态方程一般为代数方程、常微分方程、差分方程或偏微分方程。如果适当地选取状态空问，与输入空间为BANACH函数空问X与Y，可统一地将状态方程表示为算子方程FXY或FA，ZY，这里F为从X到Y的算子映射，而F，为从歉X到Y的算子，对于鼍线性系统来说，上述方程一般为非线性方程FA，Z一Y101如果F与A无关，且关于茹为线性的，则方程101可表示为TXY，102其中TLX，Y为线性算子如果I方程的解存在；II方程的解唯一；III方程的瓣关于Y连续专翼依，则称算予方程是适定的。如渠1述三条中有一条不成立，则称算予方程为非适定的非适定数学是近五十年才发展起来的研究方向非适定的非线性算子方程的研究内容主要有分歧、突变、混沌等，而非适定线性葬子方程的主要研究内容有算子广义逆理论等1。1广义逆理论发展概况1903年，IFREDHOLMT最早提出广义逆的概念。他给出了积分算子广义逆并称之为“伪逆”1920年，E。珏。MOORE2蓄先提出了矩阵广义遂，撰广了J奇异方阵的逆矩阵的概念，对任意的矩阵包含长方矩阵、奇异矩阵，引入广义逆矩阵的概念MOORE将MX礼矩阵A的广义逆定义为满足条件AGPA且GA的佗M矩阵G，这里段为矩阵X的列向量赝张成予空闻，L的正交投影算子。东北师范大学博士学位论文1955年，RPENROSE31在不知道MOORE所做的工作的情况下，独立地研究了矩阵广义逆，在英国剑撬哲学学报上发表的，义逆矩阵”论文，数J常篱单、直观的形式叙述了广义逆矩阵满足的四个条件，称为PENROSE条件，为广义逆矩阵的研究开辟了崭新的道路PENROSE证得存存唯一矩阵B，满足下丽的四个矩阵方程ABAA，BABB，ABAB，BABA11。3这些条件等价于MOORE的条件。满足这些条件魄唯一矩阵露被称之为A的MOOREPENROSE广义逆，且记为A十此记号沿用至今由于矩阵的MOOREPENROSE广义逆与求解最小二乘解有关，因丽衡到广泛昀研究。广义逆理论，尤其是线性广义逆理论在近四十年I|IL获得充分发展。美国数学家MZNASHED4L于1976年的专著GENERALIZEDINVERSESANDAPPLICATIONS是第一本此方商的专著。该专著收集了14篇关于广义逆理论、应用和算法的综述论文，列举了1976年以前发表的三干余篇研究论文日录其中由MZNASHED与GFVOTRUBA给出的综述以109页的篇幅，对线性空间中线性变换的线性广义逆，ITILBERT空闻中线性算子的线性广义逆、正交广义逆，BANACH空间中线性算子广义逆的研究成果进行了详尽的论述但在这本专著中，刚刚提出非线性广义逆的概念及迸一步研究的建议早在1974年，醚。ZNASHED就在权威数学硼物BULL。AMER。MATHSOCF现在SCI影响闳子在全世界数学刊物排名第二中撰文，给出线性算子的度量广义逆一种非线性广义逆的定义，并提出“得到度量广义逆鹃其有馥好性质的单落选择是值得研究的”的研究建议。HILBERT空间中线性算子的广义逆研究，是由EHMOORE的学生，南京大学教授曾远荣Y。Y。TSENG先生所开始的。1933年，曾远荣YY。TSENG先生鞠弓|入了HILBERT空间中线性算子的广义逆的概念，这种广义逆国际上称之为TSENG广义逆曾远荣YYTSENG先生又发表了这方面的四篇羹基性论文茂7一1979年，JPAUBIN91对ITILBERT空间中钉界线性算子的广义正交右逆、广义正交左逆，利用HILBERT空问中的正交性给出表达式，并应用于规划论中1971年至1986年。J。LOCKER10，11，12，L锄利删ILILBERT空阅LMOOREPENROSE王交广义逆研究了不适定常微方程的两点边值问题20筐纪80年代初至90年代，MZNASHED，SJLEE14，15，18，拥，系统地研究了HILBERT空问中线性算子，多值线性算子的正交广义逆及其在不适定方程，不适定多值线性算子方程及数值逼近中的应用1990年，1992年，马吉逋、曹伟平、宋园棒骚究THILBERT空闻中有羚算子、无界2东北师范大学博士学位论文线性算子MOOREPENROSE广义逆【18191。特别是利用BANACH空间中有界线性算予的线性广义逆，定义了“精细点”的概念，得到了广义秩定理、共轭定理、广义原像定理等系列深刻的结论近二十年，HILBERT空间中DRAIN广义逆的研究获得了长足发展，见王国荣【20】及王国荣，魏国荣，魏益民，乔三正于2004年出版的专著【21】由于BANACH空间中一般没有正交的概念，为求解线性算子方程AXY的最小范数极值解。MZNASHED引入度量广义逆概念，并提出“得到度量广义逆的具有良好性质的单值选择是值得研究的”的研究建议由于研究BANACH空间中度量广义逆必须以BANACH空间几何为工具，同时需将HILBERT空间中RIESZ正交分解推广到BANACH空间，这只有在20世纪70年代至80年代BANACH空间几何理论得以充分发展之后才成为可能1989年，王玉文【22】对BANACH空间中有界线性算子引入度量左逆与度量右逆不必为线性，利用空间的几何性质和对偶映射，给出其形式表达式1995年，王玉文与李志伟【23】对闭稠定线性算子T，定义了单值MOOREPENROSE度量广义逆TM，并证得TM的连续性2003年，王辉，王玉文241地系统研究了MOOREPENROSE度量广义逆，并给出其连续性的判据王玉文，潘少荣【25】给出BANACH空间线性算子度量广义逆及其齐性选择王玉文、季大琴、于金凤【2627】研究了BANACH空间中线性算子的TSENG度量广义逆，不适定二阶椭圆方程NEUMANN问题2005年，王玉文、刘晶28J利用己得到的“广义正交分解定理”，引进BANACH空间中多值线性算子的度量广义逆的概念，并给出明确刻画，由此刻画了线性包含的最佳逼近解2005年，国内第一本全面阐述BANACH空间算子广义逆理论的专著巴拿赫空间中算子广义逆理论及应用【29】出版在这本著作中王玉文教授系统的总结了近20年有关巴拿赫空间算子广义逆及其应用的最新研究成果A012007年，文献【3LJ中用逼近紧性具体地刻画线性算子的单值度量广义逆的连续性设X，Y为赋范线性空间，T为从X到Y的有界线性算予人们想解决关于Z的线性问题丁ZY对于固定Y当A是可逆的，唯一的解为ZTY如果不是这种情况，人们想找最佳逼近解ZBY，其巾B为从Y到X的算子，称B为A的广义逆可惜的是，在一般的赋范线性空间中这个最佳逼近解非线性的依赖Y如果零空间NT和值空间RT分别在X、Y空间中是拓扑可补的，则存在F的线性斜投影广义逆R满足TTTT，TTTT，TT奴一只TTQ，114其中P、Q分别为从X、Y到NT、RT空间的连续线性投影通常，拓扑可补子3东北师范大学博士学位论文空问的补子空间不是唯_的，因此所有R的线性投影广义逆的集合不是单点集人们再次提出问题在Z的所有线性投影广义逆的集会毒|选择耋使得TS一矗在算子范数下达到最小此即最佳广义逆问题如采X、Y为有限维空间，GRGOLDSTEIN和JAGOLDSTEIN32J对这个问题已经给出了完伞的回答，并且证明了MOOREPENROSE广义逆矩阵为最佳广义逆。如果X、Y为无穷维内移空间，我们对最后一个问题可以证明类似的结论如果X、Y是一般的赋范线性空闻，问题将变得更麓复杂，可隧证明在线性投影广义逆的集合中一般刁I存在最佳广义逆雪这个问题就是在赋范线性空间中的线性算子的更广的广义逆集合中求得最佳广义逆，至2005年仍是来解决的问题12分歧理论发展概况随着非线性科学与非线性数学的发展，从20世纪中叶起，许多物理、工程、化学、仿生学、生物学中的豹模型等都提出了研究形如钍十XF乱01。25的半线性椭阙方程许多早期的原始发现是由理论物理、机械导出的1798年，MALTHUS建立了无极限人翻模型PTDAP4AP,80。1937年，FISHER建立了扩散逻辑人口模型PTDAPAP1一尸，A01953年，SKELLAM用逻辑模型研究了外生物种群进入新领地的生物入侵问题逻辑模墅注意到了人口增长是有极限的，因而比无极限的入口模型更符合实际美国生物学家ALLEE指出过分稀疏或过分拥挤都会对生物种群的生长起限制作用，每种生物都有自己最适合的密度，后来人们把这种不利的情况称为ALLEE影响，建立了具有强ALLEE影响的生物模型PTCFPKP1一丙P丽P一1，其中01时，1988年，JIZE66】利用LYAPUNOVSCHMIDT约化过程，对于RAO，UO指标为零的FREDHOLM算子，面F得一般的分歧定理6712003年，文献I鹄L讨论了二维矩形上LAPLACE方程的DIRICLLLET问题，得到了从第二特征值0为RA2，牡的二重特征值出发的分歧解的表达式2005年，刘萍、王玉文691用线性化算子R知，UO的算子广义逆，在R凡，UO的零空间为K6东北师范大学博士学位论文维K1，R知，“O的值域余维数仍是维的条件下，证明了一个推广的CRANDALL和RABINOWITZ鞍续点分歧定理，对此闷题CRANDALL翱RABINOWITZ经典分歧定理是无能为力的对于一般的从高重特征值出发的分歧解集的结构，尤其流形结构远未深入研究本文第三章给出了利孀算予广义逆证明的广义鞍绐点分歧定理，并应掰子扰动方程的分歧问题，本文为算子广义逆与分歧理论结合作了初步探索。双参数非线性方程F仁，A，”0引起的非完全分歧问题是原分歧问题在小误差或嗓音破坏下产生的，经常发生在概械、物理或其它应焉闭题。KEENER和KELLERYTO研究了线性化问题在单特征值附近的扰动影响进而JAMESPKEENERYL研究了当特征值为有限维时解支的局部存在性与扰动问题利用不同的横截条件给出器完全分歧的分类闻题是本文第四章的主要内容13预备知识本文的研究属子非线性分析方向。主要研究了算予广义逆，分歧理论，偏微方程的相关理论为了后面引用的方便，本节集中叙述了以后各章用到的BANACH几何，算予广义逆，编微分方程，分歧理论，非线性分析的有关概念与结论。我们称BANAZH空间X为严格N的是指XILL的单位球面不包含任何非平凡线段从几何主讲，X为光滑的楚指X中酶单位球丽的每一点处都存在曜一的支撵超平蔼。设X为实或复的线性空间，XL、恐为X的线性子空间，XLX2一XLX2，XLXT，X2X2称为线性子卒间XL与尥的代数和如果XXL恐且XLNX2一8，则称为子空闻XL与恐的代数糍翻，记为XX1毒魁此时，对每一个ZX，有唯一分解ZZLX2，XLX1，X2X2。定理13。1矧设掰是BANACH空间X的线蛙子空闻。I若DIMM0，称A，扎是稳定的，若肛L乱。0，满足FLRFLCILXLL，ZX；I在0点连续。定义227【29，77】设Y为线性子空间映射SV_Y称为V上的拟线性投影，如果S满足下述条件IS为齐次的，即S爻久S扛，茗V，爻聚；IIS为幂等的，即S2S；汤S在LNS上为拟可加的，即对彳壬意ZGV且YL，有SXYSXSVSXY，其中RS一VV移一S珏，UY为S的值域。注拟线性投影的概念包括线性空间线性投影，赋范线性空间连续线性投影，度量投影及广义直交投影的概念雩|理228I设Y为线性空闽，SV_V为拟线性投影JLLS的值域一NS为Y的线性子空间II设X为赋范线性空间，SX_义为有界拟线性投影，则S的值域己RS1为X的闭子空问IEPRI假设SV_Y为拟线性投影。对任意茹琶LRS及A鼗，存在Z7X使得ZSX，由S的齐次性，有妇SAZ7NS一L对任意Z，YLRS，存在Z，Y7使得ZSZ，YSV，由于S的幂等性及拟可加性，霹得SGY一SSZ7SV715东北师范大学博士学位论文一S2Z7S2掣7一SZ7十SY一ZY因此茹Y毫RS一L，IE。L为矿的线性子空间。II假设S为有界拟线性投影对于任意30云存在序列1【ZNCL使得XOXN_拶当铭_。因黄S为有界齐次的，剐S在0点连续。因此S黝一。拜_S。O，魏_譬南S的拟可加性，有SXO一茹搏SXO一篁社，死1，2，3我们得到SXOXNSXO一ZN_SXO一XO当札一。因此0SXO一XO，IE。XOSL。进而L为闭的。口定义2。291设Y为线，熏空间，L为V的子空闲。如果存在V上的拟线挂投影S使得L月S，则L称为在X上拟线性可补的，且S1口称L为在X中的拟线性补2设X为赋范线性空间且己为X的闭子空间。如果存在X上的有界拟线性投影S使得LRS，则称L在X上有界拟线性可补且S一1P为L在X内的有界拟线眭补。注如果L在赋范线性空间X中是有界拟线性可补的，S为拟线性投影，则XL牛S一1口NS4S，其中S一1护为X的齐次子集，表示代数直和引理2210设X为赋范线性空间，S为有界拟线性投影，LNS为X中的切比雪夫子空阀。则S为从X到L上的度量投影当且仅鉴S1挣露1上，其中取X_X为X中的对偶映射证明必要性因为L为X中的切比雪夫子空间，所以度量投影7RL唯一存在如果S为跌X到豹度量投影，则S7TL。16东北9币范大学博士学位论文对任意ZS一1日7RZL口，我们有7RLZ0因此，由引理224，我们有取Z一咿NL上彩，IEX巧1L上凶此S1PC眩1L上相反地，对任意Z畋1L上，由巧1L上的定义，有FXXNL上A因此，由引理224，P吼Z但L为切比雪夫予空间，因此伊7RLZ，即Z7R云1扫S1口因此嵫1L上CS1P，故有S一1护巧1三上充分性因为L为义的切比雪夫子空间，由引理224，任意ZX有唯一分解Z7RLXX2，其中Z2嚷1L上注意到S1口咴1L上因此SZ2口由S的拟可加性及幂等性有ILZSXLIIIXS丌LZX2LI|IZ一7RLX一SZ20IIZ一丌LZ0因为SZ，7RL扛L，而L为X的切比雪夫子空间，及Z在上，中最佳逼近元的唯一性，我们有SX7RLZ，XX因此，S7RL为从X到L上的度量投影口推论2211设X为自反严格凸的BANACH空间如果S为从X到子空间L的有界拟线性投影，则S为X到L的度量投影当且仅当S19巧1L上证明因为S为有界拟线性投影，LRS为X的闭子空间因为X为自反严格凸的BANACH空问，L为X的切比雪夫子空问，则由引理2210可得口引理2212设X为赋范线性空间SXX为X中的有界拟线性投影S为X中的连续线性投影当且仅当S一1口为可加的且闭的证明必要性显然成立充分性假设S1P为可加的且闭的由S的齐次性，S1口为X的闭线性子空间17东北师范大学博士学位论文卜向，我们证明鬈一SXZ。XS一1参。22。2事实L二，对任意ZX，由S的拟可加性及幂等性，我们有SXSZSX一SX口，IEZSXS_P，因此XSZZXCS叫P相反地，对任意ZS。P，我翻有毋S扛，所以GXSZ。一SX毫X予是S_毋CXSX。X，因此2。22成立因为S州P为闭线性子空问，所以2一SXZX也为闭线性子空间因此，对任意鬈，YGX，我翻有ZSZYS彩茹Y一SX彩两边减去X十Y，可得SZYSXS秽注意到有爨拟线性投影S是有界齐次的，翟此S为连续线性投影。口定义22。13设TCX，Y为有界线性算子称TH娌KX为少的有界拟线性投影广义逆，如果分别存在两个从X、Y到、RT的有界拟线性投影SNT务蹰，满足1TT赶TF；2T财P；3TT奴一；4TTSRT。注这个定义首先在【77L中按齐性广义逆的名字给出如果SNT及SRT都是度量投影，则拟线性广义逆R恰恰是MOOREPENROSE度量广义逆22，23，24TT的有界拟线牲广义逆的全体记为GNT。易霓GCG嚣T注设X，Y为BANACH空间，TLX，Y为线性算子，ZODT称为方程TXY的极值解，如果XZO为函数Z卜啼LTTX一酬的最小值点最小范数极值解称为最佳逼近解定义2214【241设X，Y为BANACH空间，TLX，Y为线性算予设丙丽和焉丽分别为X、Y的切比雪夫子空间如果齐次算子掰DTM一移F满足1。TT彪TT，在DT土；LR东北师范大学博士学位论文2TMTTMTM，在DTM上；3TMTIDT一丌一面，在DT上；4丁丁M丌而其中DTMRT4FFLRT上则称TM为T的MOOREPENROSE度量广义逆设L。为赋范线性空间X的闭子空间，QL定义为QS日XS为有界拟线性投影且LRS引理2215设X为赋范线性空间，LCX为X的闭线性子空间，则1DISTI，QL1；2SOQL满足IIIXSOIIHX1当且仅当忙一SOXLLZDISTX，L，ZX证明1VSQL，ZXL，因为L为闭线性子空间，IIXSZLX0由S的拟可加性及幂等性，我们有一SZSZZSZ因此IIXSZLLXIIISLLXLLZSLLX于是DIST1，QL12必要性设SOQL满足LLLX一品IIF，X1，则对任意WNSORZ一岛，ZRSO，由岛的幂等性及拟可加性，我们有SO叫一Z一Z，因此11WLTXIIZ一民叫一名IIXIIISOLLXLLWZLLX11WZLLX于是II伽恢DISTW，R22319东北师范大学博士学位论文对任意XX，我们有岛留L对每一个YL咒，我们可得XY一I一岛髫一岛留一Z224设WI一岛。，ZSOY一霉，则有WNSO，名RSO由22。3，224可得|IX一爹LXLLJ一岛如一岛爹一2|X芝DISTI一岛Z，RSOFJZ一岛Z怯凶此，我】有LL茁一，SLOZL|XDISTX，己，VXX22，5充分性设225成立，则对每一个ZX，我们有直交分解ZSOZ，一岛ZYZ，其中Y岛Z挖岛，ZISOXNSO则因此。LX一|名一ULLX|Z一岛ZLLXLIZSOI一岛ZLLXLL，一S3。LLX23主要定理LXSOIIHX1口定理23。1设X为蠡反BALLACH空间，互为闲线娃子空闷且CODIML22。娥存在从X到L的有界拟线性投影算子S，使得一般情况下S在BANACH空间X中即不是度量投影叉不是连续线性投影证硬F1设X为宣反严格凸BANACH空闻，选取X0隹L，由HAHN，BANACH定理，存在连续线性范函X满足。Z，ZO娑L且Z，Z0对任意名L由X的自反、严格凸性，则有闭线性子空间L为切比雪夫的设几为X到L上的度量投影。因为CODIML2，故三不是最大翔予空闻，因此，逶常霄戈2N东北师范大学博士学位论文拟线性的不是线性的取ZOL7RL且定义8Z7RLX一Z，Z【7RLZO一ZO，ZX则I由7RL的齐次性可知S在X上为齐次的；IIS在X上为有界的事实上，由引理223，可得LILXLLII7RLZ一Z0IIZI|211XLL，XX因此对任意ZX，我们有0SZLI117RLZIIIZ，ZIIL【丌LZO一细】II【2IIZL|IIL0IL112011川Z0C恻I由引理226S为有界的IIIS在X上为幂等的事实上，对任意ZX，S2Z7RLSZ一X，SZ【丌LZO一ZO】7RLSZSZ，IES2S在义上IVS在L上为拟可加的事实上，对任意ZX及任意YLRS，我们有SZY7RLZY一X，Z可【丌LZO一Z0】7TLXY一X，XWLXO一ZO】SXY，即S在LRS上为拟可加的因此，S为从X到L上的有界拟线性投影由S的定义可知S为线性的当且仅当7RL为线性的因此，通常S不需要是线性的VS不是从义到L上的度量投影事实一卜，如果S为度量投影，因为三为X的切比雪夫子空间，S7RL在X上但SXO7FLXO缸，XOTRLXO一ZO】ZO7RLZO此为矛盾因此S通常即不是从X到L的线性投影也不是度量投影21东北师范大学博士学位论文II设X为白反、非严格凸的BANACH空间因为X为白反的，则X有等价严格凸范数11义因为L也是闭子空间，X，I。为自反严格凸空间，因此L为X，。中切比雪夫子空间设礼X，11一L为度量投影选取YO隹L，由X的自反性，有PLYOD，对任意X,0吼珈，我们有IIXO0DISTYO，LILYOLL取RMAXDISTYO，LFIVOLL；LI扎VO吣，且Z0LJE7O；R，其中JE7O；RXXIIXLIR，则Z0RLYO且II徇一UOLIIN,FLLZ一珈叭2362、“定义SX_LSYRLY一Y，可【丸珈一如，VYX，其中YL上，且Y，YO1由I，S为从X，1到L的有界拟线性投影且SY01ZO如果X不是与ITILBERT空间等距的，且L不是X中的超平面，则S通常是非线性的由236，我们有IISYO一珈JIHILL名一珈0，因此S不是度量投影口定理232设X，Y为自反严格凸BANACH空间，TCX，Y有为界线性算子且具有闭值域兄T如果RTY且GHT仍，则于GHT满足|I于LT怕X1；岍一HII删_L_T。器一酬州，当且仅当扣为T的MOOREPENROSE度量广义逆证明必要性若尹G日T满足LITTIIX1II睁一酬州_1T。繇TFI刀一酬州，22东北师范大学博士学位论文由GH丁的定义，则分别存在从X、Y到T、RT的拟线性投影靠T和岛T满足1TTHTT；2于HT于于H；3于T奴一氨T；4丁于SRT因此，RAFJ有IIIXSNTIIHX1；237IGRT一IY21。SR瓤T慨T一凡帅，238其中QNTSNTTTSRT，THGHT由引理2215及237，对任意的ZX、YY，我们有GNTZ丁，靠TYRT0Z一知即XLLXDISTX，丁，且恬一靠T可LIYDISTY，RT从而有STZPNTZ，VZX且JRRP矗T剪，VYY因为X，Y为白反严格凸的，则丁、RT为切比雪夫子空间因此靠丁Z丌TZ，VZX，且靠T，7RR丁秒，VYY由定义2214，寸恰为T的MOOREPENROSE度量广义逆充分性假设一TMGHT为T的MOOREPENROSE度量广义逆由定义2214及引理2215，可得7RNTQNT且丌R丁QRT使得II于TIIXIITMTHHXLIIX一7RNRIIHXL；239ILK一丁于LIHY0一TTMIINR0K一丌RTIIHY1另一方面，对仃意THGHT，存在SRTQRT且踟TQNT使得1TTHTT；2TTTHTH；3TTIX一踟T；4TTHSRT对任意YYRT，我们有恬一SRTYIIY0由SRR的拟可加性及幂等性，可得一一丁Y一R可Y一丁可，3东北师范大学博士学位论文因此因而有因此，我们有Y一T，|IYJIIV一TIIHYII，一S,CTUIIY，蛔MI帅N慨T一酬HY21T。积T一圳州1岍一酬删口定理233设X，Y为自反BANACH空间，TCX，Y为有界线性算子且有闭值域RTY，则GHT0如果CODIMX2，CODIMY2，则存在有界拟线性投影广义逆TGHT，其既不是T的线性广义逆又不是度量广义逆证明设X，Y为白反BANACH空间，由定理231及T、RT的闭性，则存在有界拟线性投影TQNT、SRTQRT如果CODIMX2，CODIMY2，则它们通常既不是线性的也不是集值度量投影的选择首先，我们证明于TIT，O为从筇TO到兄丁的一一到上的映射事实上，对任意YRT，存在ZX使得Y丁Z，因此YTSNTXX1丁Z1，其中XL奴一SJVCRZTO因此于为从式TO到兄T到上的假设存在ZJ，Z；式TO，满足ZZ；且TX17Z；我们有ZI。一Z2IIT且由SNT的拟可加性，可得ZJZJZ；Z；0丁ZZ一Z；STZ；ZIZ因此于为一一的其次，定义T于SRT，则THKXTTT开一1丁丁开一1TT；T一于一1S,CRT于SRT于一1碥T于一1SRTT24东北师范大学博士学位论文对任意ZX，我们有TTZ于一1力TZ于一1TZ于一1TTZIX一踟丁Z】于一1T如一鼬TZ奴一STZ，且因此可得THTIXSNN；丁T丁于SRTSRTIETGH丁，且T通常即不是T的线性广义逆也不是度量广义逆24小结口本章以BANACH几何为工具，引进了有界拟线性广义逆的概念及有关性质，证明了自反BANACH空间中存在即不是度量投影又不是拟线性投影的有界拟线性投影算子，及有界拟线性投影的有界拟线性广义逆存在性得到了自反严格凸BANACH空间RLL最佳有界拟线性广义逆为MOOREPENROSE度量广义逆东北师范大学博士学位论文第3章广义解析分歧理论本章总结了近几年文献及本人应用算子广义逆证明的几个抽象分歧定理，这些结果都是MGCRANDALL与PHRABINNOWICZ局部分歧定理的实质推广本章应用广义鞍结点分歧定理证明了一个扰动问题的分歧定理而此定理的证明MGCRANDALL与PHRABINNOWICZ的经典分歧定理是无能为力的我们的研究表明算子广义逆是解决分歧问题尤其是从非单特征值出发的分歧问题的一个有效途径31前言定义311178设X，Y为BANACH空间，ACX，Y为有界线性算子，若A具有有界线性广义逆A，则称A为广义FF贝,4算子定义312F78】设X，Y为BANAEH空间，AX_L，是有界线性算子，称A为核裂的，如果存在X的闭子空间Z使得XZOA称A为值裂的，如果存在Y的闭子空间M，使得YRAOM当A既是核裂又是值裂时，称A是双裂的记ZA一，MRA一引理313【78】令X，Y为BANACH空间，AX_Y为有界线性算子，则A为广义正则算子当且仅当A是双裂，且IAA，AA分别为到A，RA上的有界线性投影算子定理314广义LYPUNOVSCHMIDT约化过程【78】设X，Y为BANACH空间，V为X的开子集，FCPRUY，P1FAO，UO0，且AFUXO，UO为广义正则算子，ACY，X为A的广义逆，则存在正数口L，0“2及7具有下述性质1若IAAOI0令X2W0X3WOZZX3则拖为X的余维数为1的闭超平面因为X3为X的闭予空间，且X3在予空间的拓扑下也为闭子空间因此我们可以将M1M配看成是具有乘积拓扑的BANACH空间进一步，庇的切空间拓扑同胚于M托【63】我们继续沿用【63】L的记号F2以O，AO，UO仁RREO，AO，咖F3F4足UEO，AO，咖【“JO】GRRO，AO，咖RUEO，AO，UOO，W0】GR凡O，AO，札O东北师范大学博士学位论文F5EEO，入O，“Z0G兄凡EO，AO，UO令FI7表示与FII2，3，4，5相反的假设应用定理321我们有定理331设FC2M，Y，TOEO，AO，UO，WOM1满足HRO0，O假设满足F1，F2，IF3，F4，IF5且凡。O，入O，UO【口1，TOOJR札EO，AO，UOWO】TT凡EO，AO，UO，3314其中秒1磁为方程RO，入O，UO咒EO，知，UOV】03315的唯一解则存在60使得日E，A，札，W0，0在TO附近形成两条C2曲线五SES，AS，乱，S，WLS，SJ一6，6，R2SE2S，入ZS，U2S，讹S，SJ一6，6，其中EISEO兀S，SJ；死C2J，R；7,OLO0且A1SKZLLS，A2SAOSZ218，SJ，钍LS礼O8T0Z12S，U2SIZ08“01Z22S，SI，WLSWOSOOZ13S，W2STOOS妒1Z23S，S，其中锄C2，Z，锄O为O0I1，2，J1，2，3，咖X3，砂1X3分别为方程兄。EO，AO，UOWO，WO】REO，AO，札O【叫O；凡札EO，入O，UOVL，30】最UO，入O，UOWO】RO，AO，UO【纠0的唯一解33163317证明我们对算子H应用定理321，区1JTT,我们需要验证所有的条件定义微分算子KRXXX弱_YY，KIT，“，矽】HX，。，叫EO，AO，LTO，WOR，“，矽】7凡知，UO凡0知，札OM、33187足让印，知，UOWO】R。EO，AO，UOV，WO】咒印，知，扎OM1DIMK2假设7，“，砂K且7，秒，妒0若70，有FUEO，知，“TO【“】0东北师范大学博士学位论文及F1，我们有UKWO，且七RUO，入O，UOWO，WO】RO，AO，咖【叫03319由P4飞定义矽O局为方程3316的唯一解则有0，WO，妒OK，且7，V，妒K0，W0，讥下面考虑70不失一般性，设F1由条件F2，有足EO，AO，UOR凡O，AO，咖，定义VL尥为方程3315的唯一解将71，“V1代入3318，可得BUO，AO，咖【圳O】4RU印，AO，乱OPL，W0】RO，AO，伽【纠0，3320由3314，则存在唯一妒1X3满足3320因此1，VL，妒1K显然0，WO，讥与1，UI，妒1线性无关故NKSPAN0，W0，讥，1，VL，妒13321即DIMNK122CODIMRK1只须证明NK冗REO，知，咖Y3322设危，GRK，存在7，V，妒RXX3满足7足EO，AO，UO4RCO，AO，UOV】H，I33237L足EO，UOWO】只MEO，AO，UOV，W0】F。EO，XO，咖【妒】G3324由3323及F27可得H，GRR印，AO，IT0Y因此RKCNFUEO，AO，U0XY相反地，对任意H，GRREO，入O，UOY，由F3，定义N丽慕，3325其RFL2RREO，入O，札O上CY由F2，我们有HN只EO，AO，U0R凡EO，AO，咖3326取I2【RL弱RLM一丁1RO，AO，U0】X3，可得Q足EO，AO，UORO，AO，UOK】H3327东北师范大学博士学位论文将7T1，“V2代入3324，我们有71只UEO，AO，乱O【W0】RUO，AO，,UOV2，W0】F“EO，AO，札O眇】G3328由F1，F3，则存在V3磁，丁2R满足EO，AO，儿O【“2，W0】见足。EO，UOWO】R印，AO，札OH】3329将3329代入3328，可得丁1见R。EO，AO，UO【训O】咒印，入O，乱O【砂V3】G3330将3330两边作用F，注意到T1的定义，可得死0且G一7“1最。EO，AO，UOWO】RREO，AO，“O，3331凶此定义妒2【FIX。】一1971足札EO，AO，乱O【叫O】一V3X33332故有KT1，V2，矽2H，9，即R兄EO，入O，乱OYCRK综上，RKR兄EO，AO，U0Y即CODIMRK113也EO，AO，乱O，WOGRK由F5有足印，入O，U0GRREO，知，乱O，因此F了E。，入。，乱。，札协2J弓札F,。E，O入,。A，O,UOUOO】隹冗J乙。，A。，札。Y足札印，知，】4由1一3，应用定理321可得结论口34小结CRANDALL和RABINOWITZ的经典分歧定理是局部解析分歧理论的基础，刻画了分歧点附近解支的具体形式，至今仍被广泛的应用本章首先以算子广义逆、泛函分析为基本工具，得到了从非甲特征值出发的广义鞍结点分歧定理，使CRANDALL和