矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用

本科毕业论文（设计）题目矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用院（系）数学系专业数学与应用数学学生姓名XXXXX学号09020125指导教师XXXXXX职称XXXXXX论文字数完成日期2013年5月日巢湖学院本科毕业论文设计诚信承诺书本人郑重声明所呈交的本科毕业论文设计，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名日期巢湖学院本科毕业论文设计使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文设计的规定，即本科生在校期间进行毕业论文设计工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文设计被查阅和借阅；学校可以将毕业论文设计的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文设计在解密后遵守此规定。本人签名日期导师签名日期巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）I矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用摘要矩阵分解法在求解最优化问题、最小二乘法问题、特征值问题、以及求解矩阵方程等问题上都起着至关重要的作用。在高等数学中我们已经学习了矩阵的几种特殊的分解。例如矩阵的标准分解，矩阵的满秩分解，矩阵的奇异值分解、矩阵的QR分解以及矩阵的JORDAN分解。现如今，虽然对矩阵分解法的研究已经有了比较成熟的研究，但是由于矩阵分解法是矩阵论中重要的内容，至今仍有许多学者对其进行不懈的研究，提出了自己的新思想、新方法。本文将着重讲解矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用。首先介绍矩阵分解法以及矩阵方程的定义。然后再具体介绍在一些特殊矩阵方程中，矩阵分解法对求解方程解所起到的重要作用。最后，提出新的或者是更简洁的改进方法。关键字矩阵分解法；QR分解；矩阵方程矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用IIMATRIXDECOMPOSITIONMETHODINTHEAPPLICATIONOFSOLVINGMATRIXEQUATIONABSTRACTITPLAYSANIMPORTANTROLEFORMATRIXDECOMPOSITIONMETHODTOSOLVEOPTIMIZATIONPROBLEMS,EIGENVALUEPROBLEMS,MATRIXEQUATIONANDSOONWEHAVELEARNEDSEVERALSPECIALDECOMPOSITIONOFMATRIXINHIGHERMATHEMATICSSUCHASTHESTANDARDDECOMPOSITIONOFMATRIX,THEFULLRANKDECOMPOSITIONOFMATRICES,THESVDOFMATRIX,QRDECOMPOSITIONOFMATRIXANDJORDANDECOMPOSITIONOFMATRICESNOW,ALTHOUGHTHESTUDYOFMATRIXDECOMPOSITIONMETHODHASMOREMATURERESEARCH,THEREARESTILLMANYSCHOLARSARESTUDYINGINTHEUNREMITTINGRESEARCHFORITSIMPORTANTSTATUSINMATRIXTHEORYTOCOMEUPWITHITSOWNNEWIDEASANDNEWMETHODSTHISARTICLEWILLINTERPRETTHEAPPLICATIONOFTHEMATRIXDECOMPOSITIONMETHODINSOLVINGMATRIXEQUATIONINTHEFIRSTPLACE,ITINTRODUCESMATRIXDECOMPOSITIONMETHODANDTHEDEFINITIONOFTHEMATRIXEQUATIONTHENTHEIMPORTANCEFUNCTIONOFTHEMATRIXDECOMPOSITIONMETHODINSOLVINGTHEEQUATIONSHASBEENDISCUSSEDESPECIALLYINSOMEUNUSUALMATRIXEQUATIONCONCRETEFINALLY,NEWANDMORECONCISEIMPROVEDMETHODWILLBEENPUTFORWARDKEYWORDSMATRIXDECOMPOSITIONMETHOD；QRDECOMPOSITION；MATRIXEQUATION目录摘要IABSTRACTII引言11矩阵常用分解方法111矩阵的标准分解112矩阵的满秩分解113矩阵的若当分解214对称矩阵的正交分解315QR分解916奇异值分解52矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用921利用QR分解求解AXB1122利用矩阵奇异值分解求解AXB1223求解矩阵方程的实例133结束语17参考文献18巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）1引言对形如AXBC的矩阵等式，其中A,B,C为已知矩阵，X为未知矩阵，我们称为矩阵方程。矩阵方程的研究不但在研究数学理论上有着重要的意义，而且对现代工程技术的发展以及计算机技术的不断提高都起到了极大的促进作用，所以如何求解矩阵方程就显得尤为重要。近年来，许多学者都研究了矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用，并且取得了一定的成果。本文将重点论述一些典型的矩阵分解，并研究矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用。1矩阵常用分解方法11矩阵的标准分解矩阵的标准分解法是将原矩阵分解三个矩阵的乘积形式，并使中间的矩阵的秩与原矩阵的秩相同，且左右乘上的矩阵为可逆矩阵。定理1111若MNAC，且矩阵A满足RAR，则存在可逆矩阵,MMNNPCQC，有AP000ERQ112矩阵的满秩分解将任意非零矩阵表示为一列满秩矩阵和一行满秩矩阵的乘积的矩阵分解称为矩阵的满秩分解定理1211若NMAC，且矩阵A满足RAR，则存在矩阵,NRRMGCHC，有AGH，其中G列满秩阵，H为行满秩阵且RGRHR证明RAR存在可逆矩阵P,Q，使AP000ERQAP0ER0ERQ矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用2令GP0ER，H0ERQG列满秩阵，H为行满秩阵且RGRHR13矩阵的若当分解定理1312对任意矩阵A，则存在可逆矩阵P，使1PAPJ，其中J为若当阵J11TTJJ，且111IIIIIJ为若当块注若当分解，最关键的部分就是如何正确的求出J。若J已求出，则可以由APPJ,列出方程组，求出可逆矩阵P。例1312若A1234012300120001，求A的若当标准型解1234012300120001EAEA41又3121232340121,123001012巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）3但1时，2802中不含有112,13211,1DDD，且441DEA矩阵A的不变因子412341,1DDDD即矩阵A的初等因子为41A1000110001100011从而A的若当标准型为100011000110001114对称矩阵的正交分解定理1413若TAANNR，则存在正交矩阵Q，有A11221TNNQQQQ,其中12,N为A的N个特征值。例141A,B均为N阶实对称正定矩阵且ABBA,求证AB也是正定矩阵证明,NNABRABBABAAB所以AB是N阶实对称矩阵可逆N阶正交阵1P有111PAP11TT，其中1有1N个，矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用4T有TN个，且1NTNN111PAP1212TNNTNEEE,1,T互异ABBA11PABPPBAP1PBP1122TTBBB,其中IIB为IN阶方阵B与1122TTBBB相似又01,2,IIABINBB，可得IIBB存在正交矩阵IM，有1IIMBM为对角阵，1,2,IT作12TMMMM，且M可逆，M111121TMMMM巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）5111111222112111TTMBMMBMMPBPMMBTTM11111122221TTTTMBMMBMMBM为对角阵取P1PM，显然P可逆即存在可逆矩阵P，使11,PAPPBP同时为对角阵且11112,NABPAPPBPAB因为A,B正定，所以0,01,2,IIABIN但11111NNABPABPPAPPBPAB因为01,2,IIABIN，所以AB是正定矩阵15QR分解定理1514若ANNR，A为可逆矩阵，则正交矩阵Q，有AQR，其中R为正线上三角形矩阵，且此种分解唯一证明（1）先证存在性设A1,N，矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用6A为可逆矩阵1,N为线性无关的由施密特正交化方法，得11212121111111111,NNNNNNNN1,N21111111111,1,01,011NNNNNN再单位化，,1,2,IIIRIN111,NNNRR111,01NNARRQR，其中Q1,NRR，且TQQE，则Q为正交矩阵，R10N，为正线上三角矩阵正交矩阵Q，正线上三角形矩阵R，有AQR巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）7（2）再证唯一性假设AQR,A11QR均为正交上三角形分解，下证11,QQRRQR11QR1111QQRR111111111TTTQQQQQQQQ而11RR为上三角矩阵11QQ，11RR同时为正交矩阵和上三角矩阵11QQ，11RR为对角阵11QQ为对角线上元素全为正的正交阵11QQE1QQ同理1RR即唯一性得证综上所述ANNR，A为可逆矩阵，则正交矩阵Q，有AQR，其中R为正线上三角形矩阵，且此种分解唯一例151已知110111002A,求矩阵A的QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵解令1231,1,0,1,1,0,0,1,2从而经分析12,已经正交，所以300010000TAUV31112233111,1,1,0,1,1,0,0,0,2,矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用8A12312311021,012001，再单位化,1,2,3IIII所以1231102211,022001123121,212即12311022211,02222001从而111010222211102012222001001A211200222112002222002001QR巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）9其中1102211022001Q为正交阵，22022022002R为上三角阵16奇异值分解定理1615若NNAR且A为实可逆矩阵，则存在N阶正交矩阵P和N阶正交矩阵Q，使1NAPAQA且01,2,IAIN，221,NAA为AA的全部特征值证明由矩阵的分解理论易知，存在正交矩阵C和正定阵B，使ACB，其中B的特征值1,NAA均为正，且221,NAA为AA的全部特征值由B为正定阵，从而存在正交阵T，使1NABTTA从而111NNAAACTTCTATAA所以PAQ1NAA，其中1PCT,QT均为正交阵例1616已知101011000A，求A的奇异值分解矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用10解TAA101011112,从而13TEAA所以TAA的特征值为1233,1,0，那么对应的特征向量为1231,1,2,1,1,0,1,1,1XXX2,RA从而令3001，12,VVV其中11223111,623VXXVX，即11162311162321063V11121122011,022100UAVU,即121102211,022001UUU所以A的奇异值分解为300010000TAUV巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）112矩阵分解法在矩阵方程中的应用21利用QR分解求解AXB若NNAR，且A为可逆矩阵，又有一常数列向量1NBR，求满足AXB等式的所有X7步骤1对可逆矩阵A进行矩阵的QR分解，有AQR，所以矩阵方程就变成了QRXB步骤2因为Q为正交矩阵，有1TQQ，所以利用原矩阵和逆矩阵的运算关系，在此矩阵方程中同时左乘Q的转秩矩阵TQ，得RXTQB步骤3再求解上三角矩阵方程RXC,其中CTQB例题2118若0315042,12122AB，试求解矩阵方程AXB解设123002,341,122TTTXXX由计算可易知，A0，则A可逆从而123,XXX线性无关先由施密特正交化112122111313233121122002,340,860,55TTTYXXYYXYYYXYXYYXYYYYYY再单位化矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用121122331001213405551430255TTTRYRYRY3405521243005155002100AQR即11111100121020511130501051052214000025XRQB22利用矩阵奇异值分解求解AXB对于矩阵ANNR，且0A情况，此时有奇异值分解TAUV,其中U,V为正交矩阵，1,0,1,2,ININ显然1111TTNAVUVU于是求解AXB11TXABVUB例2219求解方程AXB，其中111111022,110110211AB解0A矩阵A为可逆矩阵巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）13此时有奇异值分解TAUV,其中U,V为正交矩阵，112,0,1,2,3II所以1111TTNAVUVU从而111162110622103X23求解矩阵方程的实例例23110设矩阵5141238615A，求解矩阵方程AXXJ0,其中J为矩阵A的若当标准形解由题意得，5141238615EA3010EA从而矩阵A的三个特征值都是1当1时，由0EAX,可得A的线性无关的特征向量为121,6,0,2,0,3显然它的几何重数为2，代数重数为3，所以矩阵A不可对角化矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用14所以J100010011由矩阵的若当分解可知，存在可逆矩阵T，使1ATJT从而将其进行简单的变换得，ATTJ0所以，经比较两式可知，XT所以设142536160XXXXXXX，从而AXXJ可得1414252536365141110012386601061500011XXXXXXXXXXXX1412344562512536123545664565454123865123865XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX1