三角Bezier参数曲线曲面的若干研究

合肥工业大学硕士学位论文三角BZIER参数曲线曲面的若干研究姓名孙雯雯申请学位级别硕士专业计算数学指导教师朱功勤郭清伟20080501三角B6ZIER参数曲线曲面的若干研究摘要本文一共包含五章内容第一章，简单介绍了研究背景及主要研究内容；第二章提出了一种带参数的三次三角曲线，具有类似B6ZIER曲线的性质，插值于起点和末点，A越大越接近控制多边形，利用此曲线能精确表示椭圆与抛物线弧。基于给出的调配函数建立C2连续的三次三角曲线的生成方法，曲线上所有曲线段的控制顶点可由给定多边形的顶点直接计算产生，所得结论具有明确的几何意义，而当每段曲线的参数相同时，可达到C2连续。第三章利用齐次坐标给出了1次有理B6ZIER三角片到VX次有理B6ZIER退化矩形片转化的显式表达，它是1次B6ZIER三角片到R刀次B6ZIER退化矩形片转化的扩展。与传统的B6ZIER三角片到B6ZIER退化矩形片转相比，可以通过改变权因子的取值，来调整曲面接近控制网格的程度，从而增加了曲面的自由度，使对曲面形状的控制具有更好的灵活性。第四章通过引入多个形状参数构造出三角域上的三角曲面，具有三角域上B6ZIER曲面类似的性质如角点插值性、对称性、凸包性、几何不变性和仿射不变性等，改变参数的值即可以做整体调控，也可以做局部调控，比三角域上的有理B6ZIER曲面具有更好的灵活性。第五章对全文进行总结，提出下一步的工作设想。关键词形状参数三角曲线C2连续有理B6ZIER表面升阶转化三角域RESEARCHONANUMBEROFTRIANGULARB6ZIERCURVESANDSURFACESWITHPARAMETERSABSTRACTTHISTHESISISCOMPOSEDOFFIVECHAPTERSINTHEFIRSTCHAPTER,THEAUTHORBRIEFLYINTRODUCESTHEBACKGROUNDANDTHEMAINCONTENTOFTHISTHESISTHESECONDCHAPTERDEALSWITHACLASSOF3DEGREECONTINUOUSTRIGONOMETRICCURVESWITHTHESHAPEPARAMETER,THECURVETHATINTERPOLATESSTARTPOINTANDENDPOINTISANALOGOUSTOBDZIERCURVE，THELARGERIS五，THECURVECOMESMORENEARTHECONTROLPOLYGON，THEELLIPTICANDPARABOLICARCSCANBEREPRESENTEDEXACTLYBYTHECURVEBASEDONTHEBLENDINGFUNCTIONS，AMETHODOFGENERATINGC二3DEGREECONTINUOUSTRIGONOMETRICCURVESWITHTHESHAPEPARAMETERISOBTAINED，THESEGMENTEDCURVESAREALLSHAPEPRESERVINGTOTHEGIVENPOLYGON，THERESULTSHAVEDEFINITEGEOMETRICMEANINGS，BUTWHENEACHCURVEHAVESAMEPARAMETER，THECURVEAREC2CONTINUOUSTHETHIRDCHAPTERPROPOSESANEXPLICITFORMULATHATARATIONALTRIANGULARB6ZIERPATCHOFDEGREENCONVERTSTOADEGENERATERATIONALRECTANGULARB6ZIERPATCHOFDEGREENXNBYHOMOGENEOUSCOORDINATES，WHICHISANEXTENSIONOFATRIANGULARBDZIERPATCHOFDEGREENCONVEYSTOADEGENERATERECTANGULARB6ZIERPATCHOFDEGREENXNCOMPARINGWITHTHETRADITIONALTRIANGULARBDZIERPATCHOFDEGREENCONVENSTODEGENERATERECTANGULARBDZIERPATCHOFDEGREENXN，BYCHANGINGTHEVALUEOFPOWERFACTOR，THEAPPROACHINGDEGREEOFCONTROLNETSCANBEADJUSTED，THUSINCREASEDTHESURFACEDEGREEOFFREEDOMITENABLETOHAVEABETTERFLEXIBILITYTOITSSURFACESHAPECONTR01THEFOURTHCHAPTERBYINTRODUCINGANUMBEROFSHAPEPARAMETERSCONSTRUCTEDONTHEDOMAINOFTHETRIANGULARSURFACE，ITHASSIMILARNATUREOFTRIANGULARB6ZIERSURFACETHEANGLEOFINTERPOLATIONPOINTS，SYMMETRY，CONVEXHULL，ANDAFFINEINVARIANTGEOMETRICINVARIANCE，CHANGESINTHEVALUEOFTHEPARAMETERTHATCANDOTHEOVERALLCONTROLANDCANDOPARTIALCONTROL，HASBETTERFLEXIBILITYTOTHETRIANGULARRATIONALB6ZIERSURFACETHEFIFTHCHAPTERSUMSUPTHEFULLTEXTANDPROPOSETHENEXTASSUMPTIONKEYWORDSSHAPEPARAMETERTRIGONOMETRICCURVESCZCONTINUITYRATIONALB6ZIERSURFACESDEGREEELEVATIONCONVERSIONTRIANGULARDOMAIN插图清单图21BERNSTEIN基函数的图形N2，3。5图22参数三角曲线几何性质8图23参数三角曲线的逼近性8图24参数三角曲线表示椭圆9图25参数三角曲线表示抛物线9图26C2连续曲线的几何关系10图31B色ZTER三角片与BGZIER矩形片17图41P在AABC的重心坐标18图42六节点所对应的基函数18图43不同值的参数曲面23独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金胆王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学I立论文作者签名刁受雪签字日期碲多月7ETL学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解金月曼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金熙王丝太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后适用本授权书学位论文作者签名翻，受殳签字日期力昭年易月7日学位论文作者毕业后去向工作单位通讯地址电话邮编勃吖功瑙以纷名玑獬帆_计，新解致谢读研期间，得到了导师朱功勤教授和郭清伟副教授的精心指导，朱老师和郭老师治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，其严于律己，宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力将使我受益终身。本论文是在他们的悉心指导下完成的，从论文的选题，方案制订，工作实施到论文最后定稿，他们都倾注了大量的心血，值此论文完成之际，谨向导师致以诚挚和深切的谢意。同时谨向指导，关心和帮助过我的老师、同学、亲人和朋友表示诚挚谢意。最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢他们在百忙之中给予的批评和指正。孙雯雯2008年5月第一章绪论11曲线，曲面的研究背景及现状计算机辅助几何设计COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN，简称CAGD，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、逼近、分析和综合，它源于飞机船舶的外形放样LOFTING工艺，由COONS，B6ZIER等大师于20世纪60年代奠定理论基础。CAGD是随着工业的蓬勃发展而逐步发展起来的应用数学的一个重要分支，是当代高技术学科之一，随着计算机图形显于对于真实性，实时性和交互性要求的日益增强，随着计算机几何设计对象向着多样性，特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化、网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，CAGD在近几年来得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。它与应用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维医学图像、人体解剖学等学科的交叉和渗透，曲线和曲面是计算机辅助几何设计研究的重要内容，它们在实际工作中有广泛的应用。例如，实验，统计数据如何用曲线，表示设计、分析优化的结果如何用曲线，曲面表出汽车飞机等具有风趣外形的产品怎样进行设计，才能使之完美且物理性能最佳1963年美国播音飞机公司的FERGUSON拂胳森首先提出曲线，曲面表示为失函数的方法，并引入参数三次曲线，从此，曲线，曲面的参数化描述成为形状数学表达的标准形式。由以多项式为基函数16】的B6ZIER曲线【7】和FERGUSON曲线【SJ，发展到B样条曲线和有理样条曲线【5J，非均匀有理B样条NURBS曲线，但NURBS在形状设计和分析中存在着一些局限性【293L】，如求导次数的增加、权因子的选取、不能表示超越曲线，如摆线、螺旋线等，使用时有一定不便【们。利用三角函数来构造曲线具有独到的优点，SCHOENBERG321COONS331都曾研究过，用二次三角多项式可构造插值三角样条函数【LOJ和逼近的三角样条曲线ILI】，以1,T，COST和SINT为基函数构造的C曲线【1314】，包括CFERGUSON曲线、CB6ZIER曲线、CBSPLINE曲线。可精确表示圆弧、椭圆等二次曲线，并通过参量因子控制曲线的类型，文献【3】在三角多项式空间CMSPAN1,COST，COS2T，COSMT找到了与BERNSTEIN基类似的三角多项式基，计算机辅助几何设计中，往往要满足一定连续性的前提下，调整曲线的形状或改变曲线的位置，BETA样条曲线、GAMMA样条曲线均是具有局部形状参数的C2三次样条曲线，仅具有良好的几何连续性，对均匀节点，只有当夙I，反0时，曲线是C2连续的，即此时不能改变曲线的形状。利用三角多项式可构造C3连续的三角曲线，但所构造曲线往往需要进行烦琐的计算，本文第二章提出了一种新的参数三角曲线，所构造的曲线具有良好的几何性质，减少了计算量。随着图形工业对实时交互要求的日益增强，曲面求值已成为整个系统高速运行的一个“瓶颈“，研究表明曲线曲面形式的互化在CAGD中起着重要的作用，它指的是同一条张参数曲线曲面用不同的多项式基来表示不同特征网格之间的相互转化，或者指拓扑结构不同的矩形曲面片与三角曲面片的相互转化，或者指参数曲线曲面隐式化和隐式曲线曲面参数化。1984年几何设计专家BARNHILL25L在SURFACEINCAGD的国际会议上指出矩形片和三角片的混合使用是CAGD的八个主要课题之一，因此矩形片和三角片的互化和拼接是CAGD的一个热点，BRUEEKNER26】叶林【271、王俊【28】都给出了一些互化公式，把B6ZIER三角片表为矩形片的TRIMMDE裁剪曲面；胡事民【401则用升阶法得出曲面B6ZIER从三角域到矩形域上控制点的转化公式，LINO和WILDET29J把一张B6ZIER三角片分解为三张同次的非退化矩形片；GOLDMAN和FILIP35】把一张朋刀次的矩形片精确的分割为两张MN次三角片，此外，SHENG，PIEG弘J都对TRIMMDE曲面的三角化有所研究由于B6ZIER曲面不能表示圆锥曲曲面或其他超越曲面，所以本文第三章讨论了有理三角片BAZIER到有理B6ZIER退化矩形片转化，使其对曲面的形状控制具有更好的灵活性。曲面造型也越来越被其它工业领域的产品设计商注意，制造技术的发展也促进了对曲面造型的需求，要求曲面造型构造出复杂的新颖产品，矩形域形式的参数曲面在应用中受到了极大的限制，而三角B6ZIER曲面则表现出了良好的优越性，能够有效地解决复杂区域上散乱点的曲面拟合问题，具有构造灵活，适应性强的特点，因而在反求工程中受到极大关注。三角域上的B6ZIER曲面最初是由DECASTELJAU于20世纪50年代末提出的，但其成果直至1975年才被BOEHM5I】发现20世纪7080年代，国外对三角域上曲面造型进行了深入的研究，代表性的学者有BARNHILL，GORDON，GREGORY,SABIN及FARIN等人PZ，44J。FARIN等提出了各种构造参数三角B6ZIER曲面的方法，成功的解决了基于散乱点的三角B6ZIER曲面的插值问题，为三角B6ZIER曲面的应用打下了良好的基础。给定控制网格点及相应的二元BERNSTEIN基，即可确定三角曲面片若要修改曲面的形状，必须调整控制顶点，有理B6ZIER三角曲面片通过引入权因子，不改变控制顶点，由权因子可调整曲面的形状；但有理B6ZIER三角曲面片还有一定的缺陷如何选取权因子以及权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚，求导次数增加，求积分不方便等【40,53】。吴晓勤，韩旭里，邬弘毅，提出了带有形状参数的B6ZIER三角曲面片1722,40L，有效的解决了上述问题，显然在多项式空间中，即使增加参数仍无法精确表示圆锥曲曲面或其他超越曲面，所以本文第四章在三角多项式空间研究三角域上的带参数的三角曲面，为三角域上的曲面造型提供了一种新的思路和方法。12本文的主要内容在已有成果的基础之上本文推广了带形状参数的C2三次三角曲线，B6ZIER三角片到退化矩形片的转化及参数B6ZIER曲面，全文内容安排如下第一章介绍了曲线，曲面的研究背景及连续参数曲线，曲线曲面形式互化的发展概况。第二章引入了与B6ZIER特性相同的一种带参数三次三角曲线是带参数C2四次样条曲线的扩展，并且研究了带形状参数的C2三次三角曲线的构造，具有明显的几何意义，每段曲线上的控制顶点有给定的控制多边形的顶点直接得到，曲线的局部修改比较方便。第三章引入齐次坐标讨论有理B6ZIER三角片到退化矩形片的转化，使之能表示除抛物面以外的圆锥曲面，也可以不动控制多边形，通过改变权因子，来调整曲面的形状，从而增加了曲面的自由度，使对其形状的控制具有灵活性。第四章通过引入多个形状参数构造出三角域上的三角曲面，具有三角域上的B6ZIER曲面类似的性质如角点插值性、对称性、凸包性、几何不变性和仿射不变性等，改变参数的值即可以做整体调控，也可以做局部调控，比三角域上的有理B6ZIER曲面具有更好的灵活性。第五章对全文的工作，创新点，实际意义做总结，对今后的工作提出一些浅显的想法。第二章带形状参数的C2三次三角曲线21引言在计算机辅助几何设计中，往往需要满足一定的连续性的前提下，调整曲线的形状或改变曲线的位置。文献15】研究了C2四次样条曲线的生成方法，基函数为带参数的三次B6ZIER曲线，但是它不能精确表示常见的圆锥曲线。本文研究了与B6ZIER特性相同的一种三次三角曲线，基函数为4个三次三角曲线组成，由四个控制点控制曲线，完全具有三次B6ZIER曲线的特征，能够精确表示圆锥曲线。因此，引入C2连续的三次三角曲线，与文献【15】相比具有更好的灵活性，可使曲线逼近或远离VIVI1，当每段名值相同时，可达到C3连续。C3连续的空间曲线能保持曲率和挠率的连续性，因此该曲线可应用于连续性较高的造型系统。22B6ZIER曲线的定义和性质22186ZIER曲线的定义定义211设娩琵是N1个空间的点，以R1次BERNSTEIN多项式啪，P秽一蕊以为调配基函数的曲线段心色60，岛，一包；力包0O两条曲线首末点的一阶导数和二阶导数应满足关系式I垒垒竺兰墨垒竺型兰兰二兰至三O13耕23823923102311将2311式代入2310式得两曲线拼接时，达到曲率连续的必要条件为矿特别的取口1，将238，239代入得，AVL,V4AV2时，C2连续。定理234若曲线满足V2坞V4共线且顺序排列同I屹L一心剧川一五M屹HV2V4则曲线在U处C2连续。此外，由239式可知，若还满足M屹32TL1ZV22五一1V3，那么曲线231在U处C2连续。将C1连续的条件代入得AVLK墨塑铲V4一吃T口弋F。_一。图26C2连续曲线的几何关系如图5所示的几何关系，曲线231在吃处C2连续，必存在一个公共的辅助顶点，满足踹蹦V4V5鼎A钮LV1V2ILL34五五一也Q2综上定理235若曲线满足V2，V3屹共线且顺序排列幽IV,I鲁VLV5HV2V4MIVLF酬巩234C2曲线的生成及C3连续条件给定由控制顶点盔江0，L1，2构成的一控制多边形，一组形状参数五，五，五O以1，可按如下过程生成一条C2三角曲线。五，件。JI孑IF1，2，一1，凡，乃T。辫2I1I十1件辫1呜F“以1J2驴赞I1，2，L1VODOV3，或2，I1，2，一14第缎脚萎3M五，D吲。，尹11矧2，由此当R气五，考15五一12屹，R弋五，O15乃一12V3结合以上条件知当A丑时，可达到连C3续，因此当每段五值相等时，按上述方法可构造C3连续的曲线。24结论构造了一种带参数的三次三角曲线，具有类似B6ZIER曲线的性质，能精确表示椭圆与抛物线弧。建立C2连续的三次三角曲线的生成方法，具有明确的几何意义，而当每段曲线的参数相同时，可达到C3连续。第三章有理B6ZIER三角片到退化矩形片的转化31引言B6ZIER曲面广泛应用CAGDDP23,24】，是外形设计的常用工具，在许多CAD系统B6ZIER曲面是基础的模型工具，其中两种主要的B6ZIER曲面是B6ZIER矩形片和B6ZIER三角片。它们有很多共同的性质，例如，角点插值性，保凸性，变差减少性，但它们有不同的基函数和不同的几何拓扑结构，在同一个系统中很难同时用两种曲面片，因此研究它们之间的转化是一个非常有意义的工作27,28,33】。胡事民讨论了B6ZIER矩形片和B6ZIER三角片之间的互化321，但B6ZIER曲面不能精确表示除抛物面以外的圆锥曲面，而有理B6ZIER曲面既能表示多项式曲面如飞机身上的纵向曲面，又能表示圆锥曲面如飞机身上的横截面，也可以不动控制多边形，通过改变权因子，来调整曲面的形状，从而增加了曲面的自由度，使对其形状的控制具有灵活性，所以引入有理参数曲面。本文主要来讨论有理B6ZIER三角片到退化矩形片的转化，并得出其逆过程有理B6ZIER矩形片向有理B6ZIER三角片转化的条件。胡事刚32J利用算子AK通过其中AI么NANLA一FLP讯710LK一1KKO三KOOOO互。I0，1，2咒OOO00O丝OOKO盟三KKOOL将B6ZIER三角片的控制顶点TIJ，K升阶得到B6ZIER矩形片的控制顶点PIJ下面将其扩展到有理B6ZIER曲面片32矩形域与三角域上的有理B6ZIER曲面有理B6ZIER矩形片与有理B6ZIER三角片分别以单变量的BERSTEIN多项式群SJ一S川双变量的BERSTE；N多项式既J“，V，WL三七“V矿BVWL为基底。定义321在给定R3空间中，在齐次坐标下的N1XM1个点向量弓【勃。均，WCZ扩，JIO，1”NJ20，LM嘞O则参数曲面PS，FXS，F，J，S，Z圳，WS，F群S烤F皿321IOJO0兰S，T耋1称为矩形域【O，L】O【O，1】上的NXM次有理B6ZIER曲面，式中彤S，彤，为N，M次BERSTEIN基。乞为控制顶点，为权因子。定义322在给定R，空间中，在齐次坐标下的鱼掣个点向量Z互鼍I形咖，WQYU七，WZQK，形驰J则参数曲面丁州，WX州，W，Y州，W，Z“，VW，矿州，W，荟I。N吲州，W乙J322件LJ二二U，V,W，0，UVWL称为三角域，1，IO”，1，材1，L上的N次有理B6ZIER三角片，式中J甜，1，W为N次BERSTEIN基，为控制顶点，矿砂为权因子。下面的定理说明有理B6ZIER三角片可以转化为退化的有理B6ZIER矩形片，它的控制顶点可以由有理曲线升B6ZIER阶来得至LJL4,301。33有理B6ZIER三角片到退化矩形片的转化定理331N次有理B6ZIER三角片TU，VW，即2式，可以表示成一张退化的NN次有理BDZIER矩形片。PS，霹S骘F弓。主S，T耋1323IOJO其控制顶点可用下面的升阶算子4与盈确定暖4ANANLAN一1I1，211，4FIL，2N为下面形式的升阶算子，1O1KIKKO昙OOOOOOOOOOK200_KO竿去OO1JJJ一IA，LA力一1彳NI1乃L互，刀FK1XKIL，2NATIL，2N为下面形式的升阶算子么I2001矿。_IO七一1矿。4I1K呢4L，OK呢MLJ02WNKL,LK吃小12；00000K2WKIA00K睨_M00000014JK1W月一I1T一2K呒ML扣IJ1。KL,KIK睨小IJ01324325326K1XK327MN肛矿矿；舐一一晶；瓦注当I0时，4，AO皆为单位矩阵FS甜证明参数变换4,30,31V1，LT2一【1一U1，IW将三角域“，VLO“，V，UV0的整数，规定若F，J，K中有一个小于0，则坛，U川0显然，由式412构成了N1N22个基函数，具有如下性质1非负性U，VW0时，有鹾1，1，W0，其中F，J，K是0的整数，且FJK刀1，2权性“，1，W兰1IJKNL3对称性6芝，V，叻B，N1V,U,WBNL，V,W,U喵1“，WV蝠1“，1，1W，”4角点性质当“1，1，O，W0时，有。B枷NL1,0，01，其他鬈苁1，0，00当“O，1，1，W0时，有BNL0,1，01，其他W基O，1，00当“O，VO，W1时，有。BOONLL0,0，1L，其他醚苁O，0，105边界特性在三角域上，三条边界分别为UO，O，和WO当WO时，B。N。1材，1，W只剩N1项，即为嗡1“，O注意IJ栉，类似地，对U0和，0这2条边界也有相同的性质6退化性即当名0时，W苁“，Y，们掣M“，1，W，此性质说明式4I2，所给的基函数是N次三角域上BERNSTEIN基函数的拓展式412中，当N3时，基函数的表达式为醵O“，W12勉“36丢O“，V，川3一名W勉“2，碓O甜，Y，叻3一砒加“Y2碓O“，V，W1一力加，3硷L“，1，W3一勉名VWV2碓2“，1，W3一九名WVW2碥3甜，1，W1一力力叻W3配2，W3一加刎甜W2碥L“，1，W3一加ZUWU2配L“，1，W622UVW413注意四次基函数的参数五的取值范围为一3名1，一般地，N1次基函数的参数名的取值范围为一刀五1由此生成的曲面具有类似基函数的性质。413三角域上带多个形状参数的BERNSTEIN基心41设N为自然数，令，W志山。辄V，W10的整数，且IJK22权性3对称性ZZ,F。，T“，Y，W三IIJK2B200“，1，WB0201，U，WB002“，V，W，BOLL，1，WBOLO1，U，WBLLOW，1，U4角点性质当甜L，O，W0时，有红001，0，01，其他么|1，0，00当UO，1，W0时，有B020O，1，01，其他BI_TO，1，00当甜0，O，WL时，有B0020,0，11，其他BI0，14边界特性在三角域上，三条边界分别为O，1，O，和W,JO,K当0O时0UW，色，T甜，1，W只剩下6200甜，1，W，B110“，1，W和B020“，1，W3项，注意V1一“，类似的，对UO和V0这2条边界也有相同的性质。422，曲面的结构及性质定义2设E_七FJK2，F，J，KO为R3中的控制网格点，定义曲面RU，W_七6F_七“，1，W424IJK2称式4所定义的曲面为带有形状参数的三角域上的三角曲面片。式4具有如下性质1角点插值性质由基函数的角点性质，有R1，OO昱。，RO，1，OP020，RO,O,12边界性质，由基函数的边界性质知，边界曲线是一带有形状参数的三角曲线。，叻己6F，七，VM弓M勺鼬似“，川E，岛，幻NW功3对触最“巍嵋谚龇IJK2删，嚣B砂4凸包性，曲面落在由控制网格张成的凸包内。5几何不变性和仿射不变性，曲面仅依赖于控制网格而与坐标系的位置和方向无关，即曲面的形状在坐标平移和旋转后不变，同时，对控制网格进行缩放或剪切等仿射变换后，所对应的新曲面就是相同仿射变换后的曲面423参数丸的几何意义49捌】固定U，V和W，求BI,J,K“，1，川关于参数乃的导数，记为DBI_L“，1，W以，则D包00“，W，DBZOO“，V，M以SINUSINVSINUSINWSINVSINWSINU1SINUD岛LO甜，H嵋五SINUSINVSINUSINYSINWSIN2甜一SIN2VSILL2W2SINUSIN2WT2SINVSIN2WD6020“，1，嵋D似，W，屯SINUSINL，SINUSINWSMVSMWSIN，一1SINL，DBOLL“，五SINWSINVSINUSINVSINWSIN2USIN21，一SIN2W2SINWSIN2U2SINVSIN2UD，1，W，五DB020，W，五SINUSINVSINUSINWSINVSINWSINW一1SINWD2JLOL，W，五SINWSINUSINUSINVSINWSIN2USIN21，一SIIL2W2SMWSM2V2SMUSM2订可知关于参数力1，OO“，1，W是递减函数，6110“，V，W是递增函数，B02。“，叻是递减函数关于参数名，K。“，W是递减函数，BO。“，V，W是递增函数，材，Y，们是递减函数关于参数名，似，W是递减函数，BL。，1，W是递增函数，6。“，V，W是递减函数基函数的这种单调性质反映在图形上是参数无在允许范围内，名。越大，曲面向。方向膨胀，反之，就收缩，离墨。就越远，名越大，曲面向异。方向膨胀，反之，就收缩，离岛，。就越远旯，越大，曲面向舅。方向膨胀，反之，就收缩，离只们就越远，如五0五15，五0A如五14图43不同值的参数曲面44结论及展望通过引入多个参数构造出三角域上的三角曲面，具有三角域上的B6ZIER曲面类似的性质如角点插值性、对称性、凸包性、几何不变性和仿射不变性等改变参数的值即可以做整体调控，也可以做局部调控，比三角域上的有理B6ZIER曲面具有更好的灵活性第五章总结及今后的工作51全文总结在本论文中，首先对曲线，曲面的形状控制，参数曲线，曲面的连续与互化起源与发展作了简要介绍，并对曲线，曲面的形状控制，参数曲线，曲面的连续与互化的理论及方法进行了研究，对于本文的具体研究工作，现总结如下针对现有连续的三角曲线构造需要进行烦琐的计算，提出了一种新的带参数的三次三角曲线，具有类似B6ZIER曲线的性质，插值于起点和末点，五，越大越接近控制多边形，利用此曲线能精确表示椭圆与抛物线弧，且所构造的连续曲线计算简单。针对曲面不能表示圆锥曲面，利用齐次坐标将B6ZIER三角片到B6ZIER退化矩形片转化扩展为有理B6ZIER三角片到有理B6ZIER退化矩形片转化的显式表达，与传统的三B6ZIER角片到B6ZIER退化矩形片转化相比，可以通过改变权因子的取值，来调整曲面接近控制网格的程度，从而增加了曲面的自由度，使对曲面形状的控制具有更好的灵活性。针对有理B6ZIER三角片权因子对曲线的形状影响不明确，求导次数的增加，求积分不方便，及带有形状参数的B6ZIER三角片又不能表示圆锥曲面的的特点，在三角多项式空间研究三角域上的带参数三角曲面片，使其能弥补上述曲面的缺点。52今后的工作针对本论文展开的研究内容及所取得的结果可以看出，于进一步深入讨论对于连续的三角曲线，我们可以构造更高连续的曲线，低的运算量，较好的曲线逼近性、灵活性和几何关系。还有一些问题有待较少的控制点，较对于有理BEZIER三角片到有理退B6ZIER化矩形片的转化，我们下一步可研究有理B6ZIER矩形片到有理B6ZIER三角片的顶点转化公式，有理B6ZIER三角片分解为非退化矩形片的顶点转化公式，以及有理B6ZIER矩形片分割为三角片等问题。对于三角域上的带参数三角曲面片，我们需研究它是否也具有B6ZIER三角片的一些性质，如细分、升阶等，两张曲面的拼接条件、曲面的保凸性要求等参考文献1】关履泰，罗笑南，黎罗罗等，计算机辅助几何图形设计版社，施普格林出版社，1998，136162【2】莫蓉，吴英，常智勇，计算机辅助几何造型技术社2005，6568【M北京高等教育出M北京科学出版3】苏步青，刘鼎元计算几何【M】上海上海科学技术出版社，19814】王国瑾，汪国昭，郑建民计算机辅助几何设计【M北京，高等教育出版社，20012702725】施法中，计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条M北京高等教育出版社，20016BOEHMW，FRAING，KAHMANNJASURVEYOFCURVEANDSURFACEMETHODSINCAGDJ】COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN1984，11，1607】B6ZIERPEXAMPLEOFANEXISTINGSYSTEMINTHEMOTORINDUSTRY；THEUNISURFSYSTEMJ】PROCROYSOCOFLONDON，197L，321；2072188FERGUSONJCMULTIVARIATECURVEINTERPOLATIONJJOURNALACM，1964，11，2，2212289】PIEGLLONNURBSASURVEY【JIEEECOMPUTEGRAPHICSANDAPPLICATIONS，1991111557110】张永曙，刘克轩，蒋大为计算机辅助几何设计的数学方法【J】计算机辅助几何设计与图形学学报，1996，8210814411】朱仁芝，程漠蒿，拟合任意空间曲面的三角函数方法J】计算机辅助设计与图形学学报，1996，82108114【12】PENAJMSHAPEPRESERVINGREPRESENTATIONSFORTRIGONOMETRICPOLYNOMIALCURVESJ】COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN，1996，1331997，141511【13ZHANGJWCCURVESANEXTENSIONOFCUBICCURVESJCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN1996ZHANGJWCBEZIERCURVESANDSURFACE【JGRAPHICMODELSANDIMAGEPROCESSING1999，61215【L5】刘植带形状参数的C2四次样条曲线J合肥工业大学学报自然科学版，2004，27101311131316】吴晓勤与给定多边形相切G3的连续的三角曲线，计算机应用与软件【J，20035434517】苏本跃，黄有度一类B6ZIER型三角多项式曲线高等学校计算机学报J】，2005，27320220818吴晓勤，唐运梅，韩旭里类B6ZIER的二次三角曲线J】湘潭矿业学院学一26报，2003，1827679【19】吴晓勤，韩旭里带参数的二次三角多项式样条曲线J工程图学学报，2006，19297【20】HANXULILIUSHENGJUNEXTENSIONOFAQUADRATICB6ZIERCURVEJJOURNALOFCENTRALSOUTHUNIVERSITYOFTECHNOLOGY,2003，342214217【21】WUXIAOQINB6ZIERCURVEWITHSHAPEPARAMETERJ】JOURNALOFIMAGEANDGRAPHICS，200611226927422】HANXULICUBICTRIGONOMETRICPOLYNOMIALCURVESWITHASHAPEPARAMETERJ】COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN2004，216535548【23】甘屹，齐从谦，邬洪毅可调控的连续四C2次参数曲线曲面的研究【J同济大学学报2001，29，215415924】邬弘毅，夏成林，带多个形状参数的B6ZIER曲线曲面的扩展J】计算机辅助设计与图形学学报2005，17122607261225】BARHILL，RSURFACESINCOMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGNASURVEYWITHNEWRESULTS，COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN，1985，21311726】BRUECKNER，ICONSTRUCTIONOFB6ZIERPOINTSOFQUADRILATERALSFROMTHOSEOFTRIANGLES，COMPUTERAIDEDDESIGN，1980，121212427叶林，两类B6ZIER曲线间的互换，计算数学，1993，15151528】王俊，B6ZIER曲面在三角域和矩形域上的互换，计算数学，1993，15151529LINO，LWILDE，JSUBDIVISIONOFTRIANGULARB6ZIERPATCHESINTORECTANGULARB6ZIERPATCHES，ADVANCESINDESIGNAUTOMATION，L991，32216【30SHENG，X，HIRSCH，BETRIANGULATIONOFTRIMMEDSURFACEINPARAMETRICSPACE，COMPUTERAIDEDDESIGN，1992，24，84374443L】PIEGL，LA，RICHARD，AMTESSELLATINGTRIMMEDNURBSSURFACECOMPUTERAIDEDDESIGN，1995，2711626【32HUSMCONVERSIONBETWEENTRIANGULARANDRECTANGULARB6ZIERPATCHESJ】COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN20011866767133】殷明，矩形域及三角域上B6ZIER曲面的转换J】合肥工业大学学报，自然科学版19964122532【34】FARIN，GTRENDSINCURVEANDSURFACEDESIGNJCOMPUTERAIDEDDESIGN19892129329635】GOLDMAN，RFILIP，DCONVERSIONFROMB6ZIERRECTANGLESTOBEZIERTRIANGLESJ】COMPUTERAIDEDDESIGN1987，192527【36】ZHUXINXIONG，ETA1MODELINGTECHNOLOGYOFFREEFORMCURVES【M】SURFACESBEIJINGSCIENCEPRESS，20019821437】胡事民，汪国昭，金通洗矩形域上有理B6ZIER曲面的广义离散算法及其应27用【J】1996，19428529238】王长元，李选平，程婕矩形域上有理范学院学报1996，6111339】PIEGLL，TILLERMTHENURBSBOOK88B6ZIER曲面的CR拼接条件J】汉中师2NDEDM】BERLINSPRINGER，1997141一【40POTTMANNH，WANGERMGHELIXSPLINESASEXAMPLEOFAFFINETCHEBYCHEFFIANSPLINESJADVCOMPUTMATH。1994，2123142【41】MARNARE，ETA1SHAPEPRESERVINGALTERNATIVESTOTHERATIONALB6ZIERMODELJ】COMPUTERAIDEDGEOMETRICDESIGN，2001，1813760【42】SCHOENBERGI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