历年考研数学一真题及答案1987-2014

历年考研数学一真题19872014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1当X_时,函数2XY取得极小值2由曲线LNYX与两直线E1及0所围成的平面图形的面积是_1X3与两直线YT2Z及11X都平行且过原点的平面方程为_4设L为取正向的圆周29,XY则曲线积分224LXYDXY_5已知三维向量空间的基底为123,01,0,1则向量2,0在此基底下的坐标是_二、本题满分8分求正的常数A与,B使等式2001LIM1SINXXTDBA成立三、本题满分7分1设F、G为连续可微函数,UFXYVGXY求,UVX2设矩阵A和B满足关系式2,AB其中301,4求矩阵四、本题满分8分求微分方程2691YAY的通解,其中常数0A五、选择题本题共4小题,每小题3分,满分12分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设2LIM1,XAF则在XA处AF的导数存在,且0FBFX取得极大值CFX取得极小值DFX的导数不存在2设FX为已知连续函数0,STIFXD其中0,TS则I的值A依赖于S和TB依赖于S、T和XC依赖于T、X,不依赖于SD依赖于S,不依赖于3设常数0,K则级数21NKA发散B绝对收敛C条件收敛D散敛性与K的取值有关4设A为N阶方阵，且A的行列式|0,A而A是的伴随矩阵，则|等于AAB1AC1NDN六、（本题满分10分）求幂级数112NNX的收敛域，并求其和函数七、（本题满分10分）求曲面积分2814,IXYDZYDZXY其中是由曲线130ZYFXX绕Y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与Y轴正向的夹角恒大于2八、（本题满分10分）设函数FX在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个,X函数F的值都在开区间0,1内,且FX1,证明在0,1内有且仅有一个,X使得九、（本题满分8分）问,AB为何值时,现线性方程组1234123401XXAB有唯一解,无解,有无穷多解并求出有无穷多解时的通解十、填空题本题共3小题,每小题2分,满分6分把答案填在题中横线上1设在一次实验中,事件A发生的概率为,P现进行N次独立试验,则A至少发生一次的概率为_而事件A至多发生一次的概率为_2有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为_已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_3已知连续随机变量X的概率密度函数为21E,XF则X的数学期望为_,X的方差为_十一、（本题满分6分）设随机变量,XY相互独立,其概率密度函数分别为XFX10X为,YFYE0Y,求2ZXY的概率密度函数1988年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、本题共3小题,每小题5分,满分15分1求幂级数1NNX的收敛域2设2E,XFF且0X,求X及其定义域3设为曲面221XYZ的外侧,计算曲面积分333IXDYZD二、填空题本题共4小题,每小题3分,满分12分把答案填在题中横线上1若21LIM,TXXFTT则FT_2设连续且30,D则7F_3设周期为2的周期函数,它在区间1,上定义为FX21X,则的傅里叶FOURIE级数在X处收敛于_4设4阶矩阵234234,AB其中23,均为4维列向量,且已知行列式1,AB则行列式B_三、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设FX可导且01,2FX则0X时,FX在0处的微分DY是A与X等价的无穷小B与X同阶的无穷小C比X低阶的无穷小D比X高阶的无穷小2设YFX是方程240Y的一个解且00,FX则函数FX在点处A取得极大值B取得极小值C某邻域内单调增加D某邻域内单调减少3设空间区域22221,0,0,XYZRXYZRXYZ则A124DVB12YC124ZDVD12XYXY4设幂级数1NNA在1X处收敛,则此级数在X处A条件收敛B绝对收敛C发散D收敛性不能确定5N维向量组12,3SN线性无关的充要条件是A存在一组不全为零的数12,SK使120SKKB1,S中任意两个向量均线性无关C12,S中存在一个向量不能用其余向量线性表示D12,S中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、本题满分6分设,XYUYFG其中函数F、G具有二阶连续导数,求22X五、本题满分8分设函数YX满足微分方程32E,XY其图形在点0,1处的切线与曲线21X在该点处的切线重合,求函数YX六、（本题满分9分）设位于点0,1的质点A对质点M的引力大小为2KR为常数R为质点与之间的距离,质点沿直线2YX自,B运动到0,O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功七、（本题满分6分）已知,APB其中1010,2,P求5A八、（本题满分8分）已知矩阵201XA与201YB相似1求X与Y2求一个满足1P的可逆阵P九、（本题满分9分）设函数FX在区间,AB上连续,且在,AB内有0,FX证明在,内存在唯一的,使曲线YFX与两直线YFX所围平面图形面积1S是曲线与两直线,B所围平面图形面积2的3倍十、填空题本题共3小题,每小题2分,满分6分把答案填在题中横线上1设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于1927则事件在一次试验中出现的概率是_2若在区间0,1内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为_3设随机变量X服从均值为10,均方差为002的正态分布,已知21E,50938,UXD则X落在区间95,0内的概率为_十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21,XFX求随机变量31Y的概率密度函数YY1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1已知32,F则03LIM2HFF_2设X是连续函数,且10,FXFTD则F_3设平面曲线L为下半圆周21,YX则曲线积分2LXYDS_4向量场IVU在点1,0P处的散度DIVU_5设矩阵3140,10,AI则矩阵12I_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1当0X时,曲线1SINYXA有且仅有水平渐近线B有且仅有铅直渐近线C既有水平渐近线,又有铅直渐近线D既无水平渐近线,又无铅直渐近线2已知曲面24ZXY上点P处的切平面平行于平面210,XY则点的坐标是A,B1,2CD3设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是A123CYB12C12123CYCYD1234设函数2,01,FX而1SIN,SXB其中02,2,3NFXDN则2S等于AB14C14D5设A是N阶矩阵,且A的行列式0,则A中A必有一列元素全为0B必有两列元素对应成比例C必有一列向量是其余列向量的线性组合D任一列向量是其余列向量的线性组合三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1设2,ZFXYGX其中函数FT二阶可导,GUV具有连续二阶偏导数,求2ZY2设曲线积分2CXYD与路径无关,其中X具有连续的导数,且0,计算1,20XYDY的值3计算三重积分,XZDV其中是由曲面2ZXY与21ZY所围成的区域四、本题满分6分将函数1ARCTNXFX展为的幂级数五、本题满分7分设0SIN,XFXTFD其中F为连续函数,求FX六、（本题满分7分）证明方程0LN1COS2EXXD在区间0,内有且仅有两个不同实根七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组13X24136X有解,并求出解的一般形式八、（本题满分8分）假设为N阶可逆矩阵A的一个特征值,证明11为的特征值2A为的伴随矩阵的特征值九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面220XYZA上,问当R为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大十、填空题本题共3小题,每小题2分,满分6分把答案填在题中横线上1已知随机事件A的概率05,P随机事件B的概率06PB及条件概率|08,PBA则和事件AB的概率A_2甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为06和05,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_3若随机变量在1,6上服从均匀分布,则方程210X有实根的概率是_十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差均方差为2的正态分布,而服从标准正态分布试求随机变量3Z的概率密度函数1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上2XT1过点1,2M且与直线34Y垂直的平面方程是_1ZT2设A为非零常数,则LIMXXA_3设函数FX10,则FX_4积分220EYXD的值等于_5已知向量组1234,34,5,6,57,则该向量组的秩是_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设FX是连续函数,且E,XFFTD则FX等于AEFXBXFFCEXFXDXFF2已知函数FX具有任意阶导数,且2,FXF则当N为大于2的正整数时,F的N阶导数N是A1NFXB1NFXC2D2NFX3设A为常数,则级数21SINAA绝对收敛B条件收敛C发散D收敛性与A的取值有关4已知FX在0的某个邻域内连续,且0,LIM21COSXF则在点X处FA不可导B可导,且FC取得极大值D取得极小值5已知1、2是非齐次线性方程组AXB的两个不同的解,、是对应其次线性方程组0的基础解析1,K、2K为任意常数,则方程组B的通解一般解必是A12121KB212KC12121KD212K三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1求120LNXD2设2,SIN,ZFXY其中,FUV具有连续的二阶偏导数,求3求微分方程24EXY的通解一般解四、本题满分6分求幂级数021NNX的收敛域,并求其和函数五、本题满分8分求曲面积分2SIYZDXY其中S是球面224XY外侧在0的部分六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数FX在闭区间,AB上连续,在开区间,AB内可导,且AB证明在内至少存在一点使得0F七、（本题满分6分）设四阶矩阵1021340,BC且矩阵A满足关系式1EB其中E为四阶单位矩阵,C表示的逆矩阵,C表示的转置矩阵将上述关系式化简并求矩阵A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型221313244FXXX成标准型九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点1,2运动到点3,4的过程中受变力F作用见图F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段且与Y轴正向的夹角小于2求变力F对质点P所作的功十、填空题本题共3小题,每小题2分,满分6分把答案填在题中横线上1已知随机变量X的概率密度函数1E,2XF则X的概率分布函数F_2设随机事件A、B及其和事件的概率分别是04、03和06,若表示的对立事件,那么积事件AB的概率P_3已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松POISN分布,即2E,01,KP则随机变量32ZX的数学期望EZ_十一、（本题满分6分）设二维随机变量,XY在区域01,DXY内服从均匀分布,求关于的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差DZ1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1设21COSXTY,则2DYX_2由方程22XYZZ所确定的函数,ZX在点1,0处的全微分D_3已知两条直线的方程是123101XYZXYZLL则过1L且平行于2L的平面方程是_4已知当X时123,AX与COS1X是等价无穷小,则常数A_5设4阶方阵5201,A则A的逆阵1A_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1曲线21EXYA没有渐近线B仅有水平渐近线C仅有铅直渐近线D既有水平渐近线又有铅直渐近线2若连续函数FX满足关系式20LN2,TFXFD则FX等于AELN2XB2ELNXCD3已知级数121,5,NNA则级数1NA等于A3B7C8D94设D是平面XOY上以1,、,和1,为顶点的三角形区域1,是在第一象限的部分,则COSINDXYD等于A12IXYB12DXYDC14COSINDDXD05设阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中是N阶单位阵,则必有ACEBCBADBCAE三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1求20LIMCOSX2设N是曲面26XYZ在点1,P处的指向外侧的法向量,求函数268XYUZ在点P处沿方向N的方向导数32,XYZDV其中是由曲线20YZX绕轴旋转一周而成的曲面与平面4所围城的立体四、本题满分6分过点0,O和,A的曲线族SIN0YAX中,求一条曲线,L使沿该曲线从到的积分312YDXY的值最小五、本题满分8分将函数21FXX展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数21N的和六、（本题满分7分）设函数FX在0,1上连续,01内可导,且1230,FXDF证明在,1内存在一点,C使0F七、（本题满分8分）已知1234,03,1,51,2,1,8AA及B1A、为何值时,不能表示成1234,的线性组合2、为何值时有1234,的唯一的线性表示式写出该表示式八、（本题满分6分）设A是N阶正定阵,E是N阶单位阵,证明AE的行列式大于1九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点,PXY处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数Q是法线与X轴的交点,且曲线在点1,处的切线与X轴平行十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1若随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且2403,PX则0P_2随机地向半圆2YAX为正常数内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与X轴的夹角小于4的概率为_十一、（本题满分6分）设二维随机变量,XY的密度函数为,FXY2E0,0XY为求随机变量2ZY的分布函数1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1设函数YX由方程ECOS0XY确定,则DYX_2函数22LNUXYZ在点1,2M处的梯度GRADM_3设FX210X,则其以2为周期的傅里叶级数在点处收敛于_4微分方程TANCOSYX的通解为Y_5设1212122,NNNBBAAA其中0,IIAB则矩阵A的秩R_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1当1X时,函数12EX的极限A等于2B等于0C为D不存在但不为2级数1COSNA常数0A发散B条件收敛C绝对收敛D收敛性与A有关3在曲线23,XTYZT的所有切线中,与平面24XYZ平行的切线A只有1条B只有2条C至少有3条D不存在4设2,FXX则使0NF存在的最高阶数N为A0B1C2D35要使120,1都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为A21B201C102D0142三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1求20ESIN1LIMX2设I,XZFY其中F具有二阶连续偏导数,求2XY3设F21EX0,求312FXD四、本题满分6分求微分方程32EXY的通解五、本题满分8分计算曲面积分323232,XAZDYAXDZAYDX其中为上半球面22ZAXY的上侧六、（本题满分7分）设0,FXF证明对任何120,X有1212七、（本题满分8分）在变力FYZIXJYK的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面221ABC上第一卦限的点,M问当、取何值时,力F所做的功W最大并求出的最大值八、（本题满分7分）设向量组123,线性相关,向量组234,线性无关,问11能否由23,线性表出证明你的结论24能否由1线性表出证明你的结论九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为123,对应的特征向量依次为1231,49又向量1231将用123,线性表出2求NA为自然数十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1已知11,0,46PABCPABCPB则事件A、全不发生的概率为_2设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望2EXE_十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,服从正态分布2,NY服从,上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度计算结果用标准正态分布函数表示,其中21ETXD1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1函数120XFDTX的单调减少区间为_2由曲线230XYZ绕轴旋转一周得到的旋转面在点0,处的指向外侧的单位法向量为_3设函数2FXX的傅里叶级数展开式为01COSIN,2NAB则其中系数3B的值为_4设数量场22L,UXYZ则DIVGRA_5设N阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,则线性方程组X0的通解为_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设SIN2340,XFTDGX则当0X时,FX是GX的A等价无穷小B同价但非等价的无穷小C高阶无穷小D低价无穷小2双纽线22XY所围成的区域面积可用定积分表示为A402COSDB40COS2DCD2401CS3设有直线15821XYZL与2L63XYZ则1L与2L的夹角为A6B4C3D24设曲线积分ESINCOSXLFTYDFXYD与路径无关,其中FX具有一阶连续导数,且0,则F等于AE2BE2XC1XD1X5已知324,69TQP为三阶非零矩阵,且满足0,P则A6T时P的秩必为1B6T时的秩必为2CT时的秩必为1DT时P的秩必为2三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1求21LIMSNCOXX2求E1XD3求微分方程22,YX满足初始条件1XY的特解四、本题满分6分计算22,XZDYZXDY其中是由曲面Z与所围立体的表面外侧五、本题满分7分求级数201N的和六、本题共2小题,每小题5分,满分10分1设在0,上函数FX有连续导数,且FXKF证明在0,内有且仅有一个零点2设,BAE证明BA七、（本题满分8分）已知二次型22123133,0FXXAX通过正交变换化成标准形25,YY求参数及所用的正交变换矩阵八、（本题满分6分）设A是NM矩阵,B是N矩阵,其中,NMI是阶单位矩阵,若I证明的列向量组线性无关九、（本题满分6分）设物体A从点0,1出发,以速度大小为常数V沿Y轴正向运动物体B从点与A同时出发,其速度大小为2,V方向始终指向,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_2设随机变量X服从0,2上的均匀分布,则随机变量2YX在0,4内的概率分布密度YFY_十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1E,2XF1求的数学期望E和方差DX2求X与的协方差,并问与是否不相关3问与是否相互独立为什么1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上101LIMCOTSINXX_2曲面E23XZY在点1,20处的切平面方程为_3设ESIN,XUY则2U在点,处的值为_4设区域D为22,XYR则2DXYDAB_5已知1,23,设,A其中是的转置,则NA_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设43423422SINCO,SINCO,SINCO,1XMDNXDPXXD则有APBNCMDP2二元函数,FXY在点0,Y处两个偏导数0,XFY、0,YFX存在是在该点连续的A充分条件而非必要条件B必要条件而非充分条件C充分必要条件D既非充分条件又非必要条件3设常数0,且级数21NA收敛,则级数21NNAA发散B条件收敛C绝对收敛D收敛性与有关420TAN1COSLIM,2XXBCDE其中20,AC则必有A4BB4BDCACDAC5已知向量组1234,线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上101LIMCOTSINXX_2曲面E23XZY在点1,20处的切平面方程为_3设ESIN,XUY则2U在点,处的值为_4设区域D为22,XYR则2DXYDAB_5已知1,23,设,A其中是的转置,则NA_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设43423422SINCO,SINCO,SINCO,1XMDNXDPXXD则有ANPMBCDPN2二元函数,FXY在点0,Y处两个偏导数0,XFY、0,YFX存在是在该点连续的A充分条件而非必要条件B必要条件而非充分条件C充分必要条件D既非充分条件又非必要条件3设常数0,且级数21NA收敛,则级数21NNAA发散B条件收敛C绝对收敛D收敛性与有关420TAN1COSLIM,2XXBCDE其中20,AC则必有A4BDB4BDCACDAC5已知向量组1234,线性无关,则向量组A1231,线性无关B12341,线性无关C12341,线性无关D12341,线性无关三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1设21COSCOSTXTYUD,求YX、2D在2T的值2将函数1LNARCTN42XFXX展开成X的幂级数3求SIN2SIDX四、本题满分6分计算曲面积分2,SXDYZ其中S是由曲面22XYR及,0ZR两平面所围成立体表面的外侧五、本题满分9分设FX具有二阶连续函数,0,1,FF且2YYDFXYD为一全微分方程,求FX及此全微分方程的通解六、本题满分8分设FX在点0的某一邻域内具有二阶连续导数,且0LIM,X证明级数1NF绝对收敛七、（本题满分6分）已知点A与B的直角坐标分别为1,0与,1线段AB绕X轴旋转一周所成的旋转曲面为S求由及两平面0,1Z所围成的立体体积八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组为1240X,又已知某线性齐次方程组的通解为120,1,KK1求线性方程组的基础解析2问线性方程组和是否有非零公共解若有,则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由九、（本题满分6分）设A为N阶非零方阵,A是的伴随矩阵,A是的转置矩阵,当时,证明0十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1已知A、B两个事件满足条件,PAB且,PP则_2设相互独立的两个随机变量,XY具有同一分布率,且X的分布率为01P22则随机变量MAX,ZXY的分布率为_十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y分别服从正态分布21,3N和20,4N且与的相关系数,2XY设XYZ1求Z的数学期望EZ和D方差2求X与的相关系数XZ3问与Y是否相互独立为什么1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上12SIN0LIM13XX_220COSXDT_3设,AB则C_4幂级数2113NNX的收敛半径R_5设三阶方阵,AB满足关系式16,AB且103,47A则_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设有直线L3210XYZ,及平面420,XYZ则直线A平行于B在上C垂直于D与斜交2设在0,1上0,FX则,10FF或F的大小顺序是AFFB10FC10FFDF3设FX可导,SIN,FXFX则0F是FX在0X处可导的A充分必要条件B充分条件但非必要条件C必要条件但非充分条件D既非充分条件又非必要条件4设1LN,NU则级数A1N与21N都收敛B1NU与21N都发散C1NU收敛,而21NU发散D1N收敛,而2N发散5设12131213233010,AAABPP则必有A12PB21APBCABD三、本题共2小题,每小题5分,满分10分1设2,E0SIN,YUFXYZZX其中,F都具有一阶连续偏导数,且0Z求DUX2设函数FX在区间,1上连续,并设10,FXDA求10XDFYD四、本题共2小题,每小题6分,满分12分1计算曲面积分,ZDS其中为锥面2ZXY在柱体2XY内的部分2将函数102FXX展开成周期为4的余弦函数五、本题满分7分设曲线L位于平面XOY的第一象限内,L上任一点M处的切线与Y轴总相交,交点记为A已知,OA且过点3,2求的方程六、本题满分8分设函数,QXY在平面XOY上具有一阶连续偏导数,曲线积分2,LXYDQY与路径无关,并且对任意T恒有,11,002,TTXDQY求,XY七、（本题满分8分）假设函数FX和G在,AB上存在二阶导数,并且0,0GXAB试证1在开区间,内X2在开区间内至少存在一点,使FFG八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为123,1,对应于1的特征向量为10,求九、（本题满分6分）设A为N阶矩阵,满足AI是N阶单位矩阵,A是的转置矩阵0求十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为04,则2的数学期望2E_2设X和Y为两个随机变量,且340,0,77PPXY则MAX,_十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为FXE0X,求随机变量EXY的概率密度YFY1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1设2LIM8,XXA则_2设一平面经过原点及点6,32且与平面428XYZ垂直,则此平面方程为_3微分方程2EXY的通解为_4函数LNUXZ在点1,0A处沿点A指向点3,2B方向的方向导数为_5设A是43矩阵,且的秩2,R而102,3B则RB_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1已知2XAYD为某函数的全微分,A则等于A1B0C1D22设FX具有二阶连续导数,且0,LIM1,XF则AF是F的极大值B0是X的极小值C,F是曲线YFX的拐点D不是F的极值,0F也不是曲线YFX的拐点3设01,2NA且1NA收敛,常数0,2则级数1TNA绝对收敛B条件收敛C发散D散敛性与有关4设有FX连续的导数20,0,XFFTFDT且当0X时,FX与KX是同阶无穷小,则K等于A1B2C3D45四阶行列式1123440AB的值等于A1234123ABB1234C1234AD2341ABB三、本题共2小题,每小题5分,满分10分1求心形线1COSRA的全长,其中0A是常数2设110,61,2NNXX试证数列NX极限存在,并求此极限四、本题共2小题,每小题6分,满分12分1计算曲面积分,SXZDYX其中S为有向曲面201,ZXY其法向量与轴正向的夹角为锐角2设变换2UXYVA可把方程2260ZZXY简化为20,ZUV求常数五、本题满分7分求级数21NN的和六、本题满分7分设对任意0,X曲线YFX上点,FX处的切线在Y轴上的截距等于1,FTD求的一般表达式七、（本题满分8分）设FX在0,1上具有二阶导数,且满足条件,AB其中,A都是非负常数,C是0,1内任意一点证明2FC八、（本题满分6分）设,TAI其中I是N阶单位矩阵,是N维非零列向量,T是的转置证明12的充分条件是1T2当1T时,A是不可逆矩阵九、（本题满分8分）已知二次型2212313132,56FXXCXX的秩为2,1求参数及此二次型对应矩阵的特征值2指出方程123,FX表示何种二次曲面十、填空题本题共2小题,每小题3分,满分6分把答案填在题中横线上1设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1和2,现从由和的产品分别占60和40的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_2设,是两个相互独立且均服从正态分布210,N的随机变量,则随机变量的数学期望E_十一、（本题满分6分）设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为1,2,3PI又设MAX,N,XY1写出二维随机变量的分布率Y1231232求随机变量X的数学期望EX1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上12013SINCOSLM1LXX_2设幂级数1NAX的收敛半径为3,则幂级数11NNAX的收敛区间为_3对数螺线E在点2,E,处切线的直角坐标方程为_4设1243,TAB为三阶非零矩阵,且,ABO则T_5袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1二元函数,FXY2,0,0XY,在点,0处A连续,偏导数存在B连续,偏导数不存在C不连续,偏导数存在D连续,偏导数不存在2设在区间,AB上0,0FXFFX令1231,2BSFXDSASBA则A123SB23C12D23S3设2SINE,XTFD则FXA为正常数B为负常数C恒为零D不为常数4设11122323,ABC则三条直线1122330,XYCAB其中20,1,IIAB交于一点的充要条件是A123,线性相关B123,线性无关C秩123,R秩12,RD123,线性相关,线性无关5设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量32XY的方差是A8B16C28D44三、本题共3小题,每小题5分,满分15分1计算2,IXYDV其中为平面曲线20YZX绕Z轴旋转一周所成的曲面与平面8Z所围成的区域2计算曲线积分,CZYDXYXDZ其中C是曲线21XYZ从轴正向往Z轴负向看C的方向是顺时针的3在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N在0T时刻已掌握新技术的人数为0,X在任意时刻T已掌握新技术的人数为XT将T视为连续可微变量,其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,K求XT四、本题共2小题,第1小题6分,第2小题7分,满分13分1设直线L03XYBAZ在平面上,而平面与曲面2ZXY相切于点1,25求,之值2设函数FU具有二阶连续导数,而ESINXZFY满足方程22E,XZZXY求F五、本题满分6分设FX连续10,XFTD且0LIMXFA为常数,求并讨论在处的连续性六、本题满分8分设110,1,22NNAA证明1LIMX存在2级数1NA收敛七、本题共2小题,第1小题5分,第2小题6分,满分11分1设B是秩为2的54矩阵13,3,1,189TTT是齐次线性方程组X0的解向量,求X0的解空间的一个标准正交基2已知1是矩阵2531ABA的一个特征向量1试确定,AB参数及特征向量所对应的特征值2问A能否相似于对角阵说明理由八、（本题满分5分）设A是N阶可逆方阵,将A的第I行和第J行对换后得到的矩阵记为B1证明可逆2求1A九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望十、（本题满分5分）设总体X的概率密度为FX10X为其中1是未知参数12,NX是来自总体X的一个容量为N的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1201LIMXX_2设,ZFYXFX具有二阶连续导数,则2XY_3设L为椭圆21,43XY其周长记为,A则23LXYDS_4设A为N阶矩阵,0,A为的伴随矩阵,E为N阶单位矩阵若有特征值,则2必有特征值_5设平面区域D由曲线1YX及直线20,1EYX所围成,二维随机变量,XY在区域上服从均匀分布,则,XY关于的边缘概率密度在2处的值为_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设FX连续,则20XDTFDTA2B2FCXFDX2函数23不可导点的个数是A3B2C1D03已知函数YX在任意点X处的增量2,1YX且当0时,是的高阶无穷小,0Y,则等于A2BC4ED44设矩阵112233ABC是满秩的,则直线333121212XAYBZC与直线111232323XAYBZCA相交于一点B重合C平行但不重合D异面5设,AB是两个随机事件,且010,|PPAB则必有A|B|ABCPABD三、本题满分5分求直线1XYZL在平面210XYZ上的投影直线0的方程,并求0L绕轴旋转一周所成曲面的方程四、本题满分6分确定常数,使在右半平面0X上的向量4242,XYYYAIJ为某二元函数,UXY的梯度,并求,UXY五、本题满分6分从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度Y从海平面算起与下沉速度V之间的函数关系设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为,M体积为,B海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为0K试建立Y与V所满足的微分方程,并求出函数关系式YV六、本题满分7分计算221,AXDYZADXY其中为下半平面2Z的上侧,为大于零的常数七、本题满分6分求2SINISINLM1X八、（本题满分5分）设正向数列NA单调减少,且1NA发散,试问级数1NNA是否收敛并说明理由九、（本题满分6分）设YFX是区间0,1上的任一非负连续函数1试证存在使得在区间0,X上以0F为高的矩形面积,等于在区间0,X上以YF为曲边的曲边梯形面积2又设FX在区间,1内可导,且2,FXF证明1中的0是唯一的十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2224XAYZBXYZ可以经过正交变换XYZP化为椭圆柱面方程24,求,AB的值和正交矩阵十一、（本题满分4分）设A是N阶矩阵,若存在正整数,K使线性方程组KX0有解向量,且1K0证明向量组是线性无关的十二、（本题满分5分）已知方程组121,2,12,20NNNAXAX的一个基础解析为121,212,12,TTTNNNNBBB试写出线性方程组121,2,12,20NNNBYBY的通解,并说明理由十三、（本题满分6分）设两个随机变量,XY相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量Y的方差十四、（本题满分4分）从正态总体23,6N中抽取容量为N的样本,如果要求其样本均值位于区间1,5内的概率不小于095,问样本容量N至少应取多大附标准正态分布表21ETZXDZ1281645196233X0900095009750990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为665分,标准差为15分问在显著性水平005下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分并给出检验过程附T分布表PPTN09509753516896203013616883202811999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共5小题,每小题3分,满分15分把答案填在题中横线上1201LIMTANXX_22SDD_34EXY的通解为Y_4设N阶矩阵A的元素全为1,则A的N个特征值是_5设两两相互独立的三事件,B和C满足条件1,2ABCPBC且已知9,6则PA_二、选择题本题共5小题,每小题3分,满分15分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设FX是连续函数,FX是F的原函数,则A当FX是奇函数时,FX必是偶函数B当FX是偶函数时,必是奇函数C当FX是周期函数时,X必是周期函数D当FX是单调增函数时,F必是单调增函数2设21COS0XFG,其中GX是有界函数,则FX在0处A极限不存在B极限存在,但不连续C连续,但不可导D可导3设012XF,01COS,NASXX其中02NFD0,12N,则52S等于AB1C34D344设A是MN矩阵,B是NM矩阵,则A当MN时,必有行列式|0ABB当时,必有行列式|C当时,必有行列式|D当NM时,必有行列式|0AB5设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布0,1N和,则A102PXYBCD12PXY三、本题满分6分设,YXZ是由方程ZXFY和,0FXZ所确定的函数,其中F和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求DZX