中考压轴题归类总结代数几何综合板块

1、x 的二次函数，其中最新资料推荐代几综合知识点精一、二次函数的定义黑体小四一般地，形如yax2bxc （ a ，b，c 为常数， a0 ）的函数称为x 为自变量， y 为因变量， a 、 b 、 c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数注意：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b 、 c 可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数黑体小四二、二次函数的图象黑体小四1二次函数图象与系数的关系（ 1） a 决定抛物线的开口方向当 a0 时，抛物线开口向上；当a0 时，抛物线开口向下反之亦然a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大温馨提示：几条抛

2、物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若 a 互为相反数，则形状相同、开口相反（ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：xb）当 b 0 时，抛物线的对称轴为y 轴；2a当 a 、 b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当 a 、 b 异号时，对称轴在y 轴的右侧（ 3） c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为0 ，c ）当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为原点；当 c 0 时，交点在 y 轴的正半轴；当 c 0 时，交点在 y 轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc

3、 化为顶点式ya(xh )2k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及0 ，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点x1 ，0，x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点1最新资料推荐3.点的坐标设法 一次函数 yaxb （ a0 ）图像上的任意点可设为11b .其中x10时，该x，ax点为直线与 y 轴交点 . 二次函数 yax2bx c（ a0 ）图像上的任意一点可设为x1 ，ax12

4、bx1c . x1 0时，该点为抛物线与y 轴交点，当 x1b时，该点为抛物线顶点2a 点 x1，y1 关于 x2 ，x2 的对称点为2 x2 x1 ，2 y2 y1 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性 根据抛物线的对称轴判断b的大小2 a 根据抛物线与 y 轴的交点，判断 c 的大小 根据抛物线与 x 轴有无交点，判断 b24ac 的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c 的等式 根据抛物线的顶点，判断4acb2 的大小4a三、二次函数的图象及性质1 二次函数 yax2（a 0）的性质： 抛物线 yax2的顶点是坐标原点（0， 0），对称轴是

5、x0 （ y轴） 函数 yax2 的图像与 a 的符号关系 当 a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，0y 轴x0 时， y 随 x 的增大而增大；x 0 时， y随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0y 轴x0 时， y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 2二次函数yax2c(a0) 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a 0向上0 ，cy 轴a0向下0 ，cy 轴性质x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0

6、 时， y随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c 2最新资料推荐3 二次函数y ax2bx c0）或y a( x h)2k（ a0 ）的性质（aa0向上 开口方向：0a向下 对称轴： xb（或 xh ）2a4ac b2 顶点坐标： (b) （或 (h,k ) ）,4a2 a 最值：yOx图1图 2a 0 时有最小值4acb 2（或 k ）（如图 1）；a 0 时有最大值 4ac b 2（或 k ）（如图 2）；4a4a 单调性：二次函数yax2bx c （ a0 ）的

7、变化情况（增减性） 如图 1 所示，当 a0时，对称轴左侧xb， y 随着 x 的增大而减小，在对称轴b2 a，的右侧 x2ay 随 x 的增大而增大；如图 2 所示，当 a0时，对称轴左侧xb， y 随着 x 的增大而增大，在对称b ，2a轴的右侧 x2ay 随 x 的增大而减小； 与坐标轴的交点： 与 y 轴的交点：（ 0，C）；与 x 轴的交点： 使方程 ax2bx c 0（或 a(x h) 2k0）成立的 x 值点睛提分一、动点与特殊图形的存在性问题这部分压轴题的主要特别是先求函数的解析式， 然后在函数的图象上探求符合几何条件的点。3最新资料推荐1、动点与等腰三角形问题兵法： 1. 画

8、出图形，需要分类讨论，已知边为底，则利用中垂线找出另一个点已知边为腰时，有两种情况，分两个端点去画圆，交点即为要求的点2. 设出要求点的坐标， 然后利用两点间距离公式求出点的坐标 或者作出高线利用相似三角形来求解【例 1】 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的等边 OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上 另一等腰 OCA 的顶点 C 在第四象限， OCAC， C 120 现有两动点 P，Q 分别从 A，O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A O B 运动，当其中一个点到达终点

9、时，另一个点也随即停止.（ 1）求在运动过程中形成的OPQ 的面积 S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围；（ 2）在等边 OAB 的边上（点A 除外）存在点D，使得 OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（ 3）如图，现有 MCN 60，其两边分别与 OB，AB 交于点 M，N，连接 MN 将 MCN 绕着 C 点旋转（0旋转角 60），使得 M，N 始终在边 OB 和边 AB 上试判断在这一过程中， BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由yByBMPNOA x OA xQCC图图【解析】 （ 1）如图，过点C

10、 作 CD OA 于点 D OC AC， ACO 120， AOC OAC 30yB OC AC，CD OA， OD DA 1在 Rt ODC 中， OCOD123cos AOC3cos 30ED P（）当 0 t 23t3时， OQ t， AP 3t， OP 2OA xQ过点 Q 作 QEOA 于点 E，则 EQ 1Ct2图 SOPQ 1 OP EQ 1 ( 2 3t) 1 t 3 t 2 1 t22242即 S 321yB4t t2（）当22 3时，如图，3 t OQ t， OP 3t 2P3OA x4Q C图最新资料推荐 BOA 60， AOC 30， POQ 90 SOPQ 1 OQ

11、OP 1 t( 3t 2) 3 t2 t222即 S 3 t 2 t 2故当 0 t 2 时， S 3 t 1t，当 2 t 23 时， S3 t t22342332（ 2）D （3， 1）或（ 2 3， 0）或（2 ， 0）或（ 4， 23 ）33333（ 3）BMN 的周长不发生变化y如图，延长BA 至点 F ，使 AF OM ，连结 CFB MOC FAC 90，OC AC， MOC FACM MC CF， MCO FCA FCN FCA NCA MCO NCAO OCA MCN 60C FCN MCN图又 MC CF ， CN CN， MCN FCN MN NF BM MN BN BM

12、 NF BN BOOM BA AF BA BO4 BMN 的周长不变，其周长为 4【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中， AB m（ m 是大于 0 的常数），BC 8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、 C 重合）连结 DE，作 EF DE ， EF 与射线 BA 交于点 F ，设 CE x， BF y（ 1）求 y 关于 x 的函数关系式；（ 2）若 m 8，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？（ 3）若 y 12 ，要使 DEF 为等腰三角形， m 的值应为多少？ mADFBEC【解析】 （ 1） EFDE ， DEF 90， BEF CED 90 BEF BFE 90

13、， BFE CED又 B C 90， Rt BFE Rt CEDNA xF5最新资料推荐AFBE BF CE ，即 y xBECD8xm y 1 x2 8 xmm（ 2）若 m 8，则 y 1 x2x 1 ( x 4) 2 288当 x4 时， y 的值最大， y 最大 2（ 3）若 y 12 ，则 1 x2 8 x 12mmmm x2 8x 12 0，解得 x1 2， x2 6 DEF 中 FED 是直角，要使DEF 为等腰三角形，只能DE EF此时 Rt BFE RtCED当 EC 2 时， m CD BE 6当 EC 6 时， m CD BE 2即 m 的值应为6 或 2 时， DEF

14、是等腰三角形【例 3】 已知抛物线 y ax 2 bx c（ a 0）的图象经过点 B（12， 0）和 C（ 0， 6），对称轴为 x2（ 1）求该抛物线的解析式：（ 2）点 D 在线段 AB 上且 AD AC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（ 3）在（ 2）的结论下，直线 x 1 上是否存在点 M，使 MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的

15、坐标；若不存在，请说明理由DC6最新资料推荐yPODABxQC【解析】 （ 1）方法一：抛物线过C（ 0， 6）， c 6，即 y ax2 bx6 b 2解得 a 1 ，b 1由2a164144a12b60yx 1M2M4P ODHAFBxEQM1CM3M5该抛物线的解析式为 y1 x2 1 x 6164方法二： A、 B 关于 x 2对称， A（ 8， 0）设 y a( x 8)( x12) ， C（ 0， 6）在抛物线上1 6 a( 08)( 012) ， a该抛物线的解析式为y 1 ( x 8)( x 12)16即 y 1 x2 1 x6164（ 2）存在，设直线CD 垂直平分 PQ在

16、RtAOC 中， AC82 62 10AD点 D 在对称轴上，连结DQ，显然 PDC QDC由已知 PDC ACD7最新资料推荐 QDC ACD ， DQ ACDB AB AD 2010 10 DQ 为 ABC 的中位线， DQ 1 AC 5 2AP AD PD AD DQ 10 5 5， t 5 1 5（秒）存在 t 5 秒时，线段PQ 被直线 CD 垂直平分在 RtBOC 中， BC122 6 2 6 5 ， CQ 3 5点 Q 的运动速度为每秒3 5 单位长度5（ 3）存在过点 Q 作 QH x 轴于 H，则 QH3， PH 9在 RtPQH 中， PQ92 32 3 10当 MP MQ

17、 ，即 M 为顶点时设直线 CD 的解析式为 y kxm（ k 0）则：6 m解得k 30 2k mm6y3x 6当 x1 时， y 3， M1（ 1，3）当 PQ 为等腰 MPQ 的腰且 P 为顶点时设直线 x 1 上存在点M（ 1，y），由勾股定理得：42 y2 ( 3 10 ) 2， y 74 M2（ 1， 74 ）， M3（ 1， 74 ）当 PQ 为等腰 MPQ 的腰且 Q 为顶点时过点 Q 作 QE y 轴于 E，交直线 x1 于 F ，则 F（1， 3）设直线 x 1 上存在点M（ 1，y），由勾股定理得：52 ( y 3) 2 ( 3 10 ) 2， y 365 M4（ 1，3

18、 65 ）， M5（ 1， 3 65 ）综上所述，存在点M，使 MPQ 为等腰三角形，点M 的坐标为：M1（ 1， 3），M2（ 1， 74 ），M3（1，74 ），M4（ 1， 365 ），M5（ 1， 365 ）【例 4】 如图，在 Rt ABC 中， A 90o， AB 6， AC 8，D ，E 分别是边 AB， AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点P 停止运动设BQ x，QR y（ 1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（ 2）求 y 关于 x 的函数关系

19、式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 3）是否存在点P，使 PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由8最新资料推荐ARDPEBHQC【解析】 （ 1） A 90o， AB 6， AC 8， BC 101点 D 为 AB 中点， BD AB 3 DHB A 90， B B BHD BAC， DH BDACBC DH BD AC 3 8 12BC105（ 2） QR AB， QRC A 90A又 C C， RQC ABCPE RQ QC ，即 y 10xDRABBC610 y 关于 x 的函数关系式为y 3x 68 分 BHQC5图 2（ 3）存在，分三种情况

20、：当 PQPR 时，过点 P 作 PM QR 于 M（如图 1），则 QM RM PQM RQC 90， C RQC 90， PQM C cos PQM cosC 8 4 ， QM 410 5QP51 (3 x6)， x 18 25 4B12555当 PQRQ 时（如图2）， 12 3 x 6， x 655当 PRQR 时（如图3），则 R 为 PQ 中垂线上的点，于是点R 为ADE PRHQC图 3EC 的中点9最新资料推荐 CR 1 CE 1 AC 22436QRBAx615 tanC，5， xCRCA282综上所述，当x 18 或 6 或 15 时， PQR 为等腰三角形52【例 5】

21、如图，已知抛物线 y122x bx c 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（ 2， 0），点 C 的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC ，当 DCE的面积最大时，求点 D 的坐标；（ 3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由yyDxxB OAB OAECC备用图12【解析】 （ 1）抛物线yx bx c 经过点 A（ 2， 0）， C（ 0， 1） 2 2b c 0 c110最新资料推荐解得： b 1，

22、c 12抛物线的解析式为 y1x21x 12 2（ 2）设点 D 的坐标为（ m， 0）（ 0m2），则 OD m， AD 2mADDE由 ADE AOC 得， 2 m DE2 1 DE 2 m 2 DCE 的面积 1 2 m m 121121224m 2m ( m1)44当 m 1 时， DCE 的面积最大点 D 的坐标为（ 1，0）（ 3）存在y在 y 1 x 2 1 x1 中，令 y 0，得 1 x 2 1 x 1 02222解得 x1 1， x2 2，点 B 的坐标为（ 1，0）设直线 BC 的解析式为 ykx bP2k b 01B OA则解得 k 1， bb 1C直线 BC 的解析式

23、为 y x1H在 Rt AOC 中，由勾股定理得：ACOA2 OC 2P1 5点 B（ 1， 0），点 C（ 0， 1）， OB OC BCO 45图 1当以 C 为顶点且 PC AC5 时，如图 1y设 P（ n， n 1），过点 P 作 PH y 轴于 H则 HCP BCO 45， CH PH | n |在 Rt PCH 中， n 2 n2(5 ) 2，解得 n110 ， n2 10BOG22A P1（10 ， 10 1）， P2（10 ，10 1）C2222P3当以 A 为顶点且 AC AP 5 时，如图2设 P（ t ， t 1），过点 P 作 PG x 轴于 Gt| ， GP | 1

24、|图 2则 AG | 2t在 Rt APG 中， AG 2 PG 2 AP 22 ( 1)2y ( 2t)t 5，解得： t 1 1，t2 0（舍去）11xxAN最新资料推荐 P3（ 1， 2）当以 P 为顶点时， PC PA，如图 3设 P（ x， x 1），过点 P 作 PM y 轴于 M， PN x 轴于 N则 N（ x， 0） C 为等腰直角三角形，PM CM x，PA PC2 x AN | x 2| ， PN | x1|在 Rt PAN 中， AN 2PN 2 PA 22 ( x 1)22，解得： x5 ( x 2)(2 x)2 P4（ 5 ， 7 ）22综上所述，在直线BC 上存在

25、点 P，使 ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为：P1（10 ， 10 1）， P2（ 10 ，10 1）， P3（ 1， 2），P4（ 5 ， 7 ）2222222、动点与直角三角形问题兵法： 1分直角顶点进行讨论，分别画出图形2利用相似或勾股定理逆定理3.利用直线垂直，斜率k 相乘为 -1【例 1】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA 4，OC 2点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动， 设点 P 运动的时间是t 秒将线段 CP 的中点绕点 P 按顺时针方

26、向旋转90得点 D，点 D 随点 P 的运动而运动， 连接 DP、DA（ 1）请用含 t 的代数式表示出点D 的坐标；（ 2）求 t 为何值时， DPA 的面积最大，最大为多少？（ 3）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中， DPA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（ 4）请直接 写出随着点 P 的运动，点 D 运动路线的长yCBDOPAx【解析】 （ 1）过 D 作 DE x 轴于 E，则 PED COP 12最新资料推荐CBDOA PE DE PD 1 ， PE 1 CO 1， DE 1 PO 1 t故 D（ t 1， t ）COPOCP22222（ 2） S1

27、1( 4 t) t121( t 2)2PADE224t t412当 t 2 时， S 最大，最大值为1（ 3） CPD 90， DPA CPO 90， DPA 90，故有以下两种情况：当 PDA 90时，由勾股定理得PD 2 DA 2 PA 2又 PD 2 PE 2 DE 2 1 1 t2， DA 2 DE 2 EA 2 1 t 2 ( 3 t) 2，PA 2( 4 t) 244 1 1 t2 1 t2 ( 3t) 2 ( 4 t) 2，442即 t 4t 120，解得 t1 2， t2 6（不合题意，舍去） 当 PAD 90时，点 D 在 BA 上，故 AE 3 t 0，得 t3综上所述，当

28、t 2 秒或 3 秒时， DPA 为直角三角形（ 4） 25 【例 2】 如图，直线 y x1 与抛物线 y ax 2 bx4 都经过点 A（ 1，0）、C（ 3，4）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）动点 P 在线段 AC 上，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 E，求线段 PE 长度的最大值；（ 3）当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使 PCQ 是以PC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 Q 点的坐标； 若不存在， 请说明理由yAOBxPCE（ 1）抛物线y ax2 bx4 经过点 A（ 1， 0）、 C（ 3， 4）13最新资料推荐yQ1AODFBxPQ

29、2HCEG( Q3 )a b4 0a 1解得b 39a 3b4 4抛物线的解析式为y x23x 42（ 2）设 P（ m， m 1），则 E（ m， m 3m4）2 PE m 1 ( m 3m4) m2 2m 3 ( m 1) 24当 m1 时，线段PE 的长度有最大值4（ 3）假设存在符合条件的Q 点，有两种情况：设直线 PE 交 x 轴于点 D，由（ 2）知点 P 的坐标为（ 1， 2）， DP 2，过点 P 作 AC 的垂线，交抛物线于点Q1、 Q2，交 x 轴于点 F在 RtADP 中， AD DP 2， DAP 45 AFP 45， DF DP 2点 F 的坐标为（ 3，0）直线 P

30、F 的解析式为y x 3x1 2 552 x2 23 x4，解得令 x3xy1 5 1y2 5 1 Q1（ 25 ，51），Q2（ 25，51）过点 C 作 AC 的垂线，交抛物线于点Q3、交 y 轴于点 G，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为H则 HG HC 3， OG 4 3 7点 G 的坐标为（ 0， 7）直线CG 的解析式为 y x 7令 x7 x2x1 1x2 3y2 4y1 6 Q3（ 1， 6）综上所述，满足条件的点Q 有三个：Q1（2 5 ， 5 1）， Q2（ 25 ， 5 1）， Q3（ 1， 6）14最新资料推荐【例 3】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y m1 x

31、5m x m 3m 2 与 x 轴的交2244点分别为原点O 和点 A，点 B（ 2， n）在这条抛物线上（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD （当 P 点运动时 ， C 点、 D 点也随之运动 ）当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若 P 点从 O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一个点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动， P 点也同时停止运动） 过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F ，延长 QF 到点 M，使得 FM QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN （当 Q 点运动时 ，M 点、 N 点也随之运动 ）若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求