第二章数值积分(13-14).ppt

1、,重庆大学数理学院,数 值 分 析,第七讲,主讲教师： 谭 宏,2、4 高斯公式,1、高精度的求积公式,牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。,B,C,A,T,f(x),B,C,A,T,f(x),B,C,A,T,f(x),y,0,x,A,B,x,0,y,A,B,a,b,Y=f(x),Y=f(x),左图用梯形AabB的面积作为积分的

2、近似值；,右图适当地选取x0,x1的位置，用梯形AabB的面积作为积分 的近似值,可以看出，适当地选取x0,x1的位置，可以提高求积的精度。,我们将会看到，适当的选取求积节点 求积公式具有 次代数精度，这种高精度求积公式称为 高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。,不失一般性，设 ，考虑下列求积公式,（30）,定义：,在a,b上的n个节点合理选取，可使求积公式（30）的 代数精度达到2n-1次，此时，求积公式（30）称为高斯求积 （Gauss）公式，节点 称为高斯点， 称为 高斯系数。,一点Gauss公式是我们所熟悉的中矩形 公式 其Gauss点x1=0。 ,下面推导两点高斯公

3、式,这里积分区间选为-1,1 不失一般性，因为对区间a,b，总可用变量替换,将a,b区间上的积分化为-1,1上的积分。,据定义，两点具有2*2-1次代数精度，即：对代数多项式,都准确成立，故有：,这是一个非线性方程组，由第2、4两式可得：,两式相除可得：,再由1式可得：,代入3式可得：,所以,再回代到第1、2两式，便可得到,于是，两点高斯积分公式的具体形式为：,通过变换：,于是，在a,b区间的两点高斯积分公式的形式为：,高斯公式的精度很高，例如，用两点高斯公式（32）计算,得近似值0.9460411，有四位有效数字（0.9460831),2、高斯点的基本特性,从上面两点高斯积分公式的推导可以看

4、到，节点数目不变的情况下，求积公式的代数精度是可以提高的.下面就对一般问题进行讨论，即当节点数目为n时，求积公式的代数精度最高能达多少，怎样才能达到这一最高的代数精度.,设节点为x1,x1,xn，求积公式为：,共2n未知参数，按其代数精度最多为2n-1，可列2n个方程,高斯点xk与求积系数Ak原则上可以转化为代数问题，但所归结的方程组是非线性的，其求解的难度是非常大的。所以我们要 从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。,设 xk (k=1,2,n)是求积公式(30)中的高斯点，令,对于任意次数 n-1的多项式p(x),是次数2n-1的,多项式，因而高斯公式（30）对于它是准确成立的

5、：,故有：,（33）,可见，以高斯点为零点的n次多项式,与任意次数 n-1的,多项式p(x)。,反之，如果,与任意次数 n-1的多项式正交，则其零点必,为高斯点。,实际上，对于任意次数 2n-1的多项式f(x),用(x)去除f(x)，则可表示成:,其中，p(x)为商，q(x)为余，p(x),q(x)均为不超过n-1次的多项式，于是有,由正交性条件,得：,以,的零点xk (k=1,2,n)作插值型求积公式：,则它必有n-1次代数精度，因而对q(x)准确成立，即：,而,所以,由f(x)的任意性知上述求积公式必是高斯公式，故 xk (k=1,2,n)必为高斯点。,定理2 节点xk（k=1,2,n）是

6、Gauss点的充分必要条件是，(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)与所有次数小于等于n-1的多项式正交。即下列公式成立,（35）,我们也可以按正交性条件来得出高斯点xk（k=1,2,n）,如对两点高斯公式,按正交性条件得,由此得,故所求高斯点为：,3、勒让德多项式斯,以高斯点 xk（k=1,2,n） 为零点的 n 次多项式,称为勒让德(Legendre)多项式,一般的，勒让德多项式可以依据,来求得。,定义,据此，可逐步构造出勒让德多项式：,据勒让德多项式的定义，取它的零点作为求积节点便可 构造出相应的高斯公式。,例,取,其零点为：x=0,求积公式为：,由于它有2-1次代数精度，故令它对

7、f(x)=1准确成立，有：,故一点高斯积分公式为：,其高斯点x1=0,例,取,其零点为：,2,2,1,11,()(31),2,3,33,()1,Pxx,fxx,=-眪,=,求积公式为：,由于它具有2n-1=3次代数精度， 故令它对f(x)=1,f(x)=x准确成立，有,得：,故二点高斯积分公式为：,其高斯点,例,取,其零点为：,求积公式为：,由于它具有2n-1=5次代数精度,解此线性方程组得：,故三点高斯积分公式为：,其高斯点,例 利用两点高斯求积公式计算,解:因为,为偶函数,0.9460411,2、5 数值微分,回顾导数定义，得,向前差商,向后差商,中心差商,用弦AB的斜率近似代替f（x）在

8、a点的导数,用弦AC的斜率近似代替f（x）在a点的导数,用弦BC的斜率近似代替f（x）在a点的导数,显然，BC的斜率更接近a点切线 AT的斜率，因此，中点方法更为可取。,1、差商公式,差商型求导公式的余项,由泰勒公式,得：,从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；,从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。,因为当 h很小时，f(a)与f(a+h)和f(a-h)很接近，直接相减会 造成有效数字的严重损失。,通常在变步长的过程中实现步长的自动选择。,例,用变步长的中点方法求,在x=1处的导数，设h=0.8起算,解：,采用中点方法,式中步长,二分九次得结果G=2.71828，（精确值为e=2.71

9、82818),可用：,作精度控制,2、中点方法的加速,由于中点法的余项展开式具有下列形式：,其中系数 a1，a2， an与步长h无关，由此，我们可以在步长分半的过程中将中点法加速，即有如下方法：,例,用加速公式计算,在x=1处的导数，设h=0.8起算,计算结果如表,3、插值型的求导公式,设已知 f(x)在节点xk（k=0,1,2,n） 的函数值，利用所给定数据作 n 次插值多项式pn(x)，并取pn(x) 的值作为 f(x) 的近似值，这样建立的数值公式,(48),统称为插值型求导公式。,应当指出，即使pn(x) 与f(x) 处处相差不多， pn(x) 与f(x) 在某些点仍然可能出入很大。一

10、般地，我们只用它求取某个节点 xk 上的导数值，这时我们才有某种意义下比较准确的余项公式来保证导数值的精度。,由拉格朗日余项定理,可得：,其中：,由于,是关于x的未知函数，故对任意点x，很难估计余项,但对于节点xk上的导数值，由于,有：,两 点 公 式,三 点 公 式,本章介绍的几种求积方法各具特点：,(1)梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公式简单，因而使用非常广泛.特别在计算机上，复化的梯形公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单.,(2)龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大大减少了计算量. 此方法的一个最大缺点是节点