高三数学教案：三角函数的化简与求值

1、数学 (第 二 轮 )专题 训 练第九讲 :三角函数的化简与求值学校学号班级姓名知能目标1. 掌握同角的三角函数的基本关系式:掌握正弦 ,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角差的正弦 ,余弦 ,正切公式 ;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式 .2. 能正确运用三角公式 ,进行简单三角函数式的化简 ,求值和恒等式证明 .综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换 , 也是历年高考命题的热点 . 提高三角变换能力 , 要学会设置条件 , 灵活运用三角公式 , 掌握运算、化简的方法和技能 . 常用的数学思想方法技巧如下 :1. 角的变换 : 在三角化简、求值、证明中 , 表达式往往出现较多的相异角

2、, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系 , 运用角的变换 , 沟通条件与结论中的差异 , 使问题获解 .对角的变形如下 :154530604530,()() () ,2222() ()()() ,2()4444特别地 ,与为互余角 ,它们之间可以互相转化,在三角变形中使用频率高 .4 42. 函数名称变换 : 三角变形中 , 常常需要变函数名称为同名函数 . 如在三角函数中正余弦是基础 , 通常化切、割为弦 , 变异名为同名 .3. 常数代换 : 在三角函数运算、求值、证明中 , 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“ 1”的代换变形有: 1sin 2cos2sec2tan2

3、csc2cot 2.4. 幂的变换 : 降幂是三角变换时常用方法 , 对次数较高的三角函数式 , 一般采用降幂处理的方法 . 常用降幂公式有 : sin 21 cos 2, cos21 cos 2 ,sin 2cos21 等 ,22三角变换时 , 有时需要升幂 ,如对无理式 1cos常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的 .5. 公式变形式 : 三角公式是变换的依据 , 应熟练掌握三角公式的直接应用 , 逆用以及变形式的应用 . 如 : cossin 2 , tantantan()(1 tantan ) 等 .( 一 )典型例题讲解 :2 sin例 1.(1) 当 0 x1cos

4、2x8sin 2x()时，函数 f (x)sin 2x的最小值为2a. 2b. 2 3c. 4d. 43(2) 已知 tan3, 则 cos.2第1页共7页例 2. 已知 tan2 , 求: (1) tan() 的值 ;6sincos的值 .(2)2 cos243sin例 3. 已知 a 、 b、 c 的坐标分别为 a (3, 0), b (0,3) , c (cos , sin) ,( ,3 ) .22(1) 若 | ac | | bc |, 求角 的值 ; (2)若 acbc12 sin2sin 2的值 ., 求tan1例 4. 已知x0, sin xcosx1(1) 求 sin xcos

5、x 的值 ;.253sin 2 x2 sin xcos xcos2x(2) 求2222 的值 .tan xcot x第2页共7页( 二 )专题测试与练习:一. 选择题1.tan15cot15()a. 2b.23c. 4d.232.若 f (tan x )sin 2x , 则 f (1)的值为()a.sin 2b.11d. 1c.23.已知 tan()2 , tan()3 , 那么 tan()()54224a.1b.13c.1d.135184224.若， 均是锐角，且 sin 2cos() ,与的关系是()a.b.c.d.25.化简 :12sin 10ocos10o=.cos( 10o)1cos

6、2170oa. 0b.1c.1d. 16.已知 sin()7 2 , 且23, 求 tan(2) 的值1741031443117a.b.c.321717d.31二.填空题7.若 sin()1 , 则 cos( 22).6338.设为第四象限的角 ,sin 313则 tan 2_.若sin,59.已知、均为锐角 ,且 cos() sin(),则 tan.10.若 cos1,(0,) , 则 cos()_.723三.解答题11.已知为第二象限的角 ,sin3为第一象限的角 ,cos5) 的值 ., 求 tan(2513第3页共7页12. 化简 :2cos21.sin 2 (2 tan().4413

7、. 已知向量 m(cos , sin ) , 和 n ( 2 sin , cos ),( , 2 ),且 | m n |8 2 . 求 cos(2) 的值 .58第4页共7页三角函数的化简与求值解答( 一 )典型例题例 1. 解： 1.(1)d ;(2) 4 .52 tan224例 2. 解： (1) tan2, tan2;21tan21432tantan4tan1411所以 tan()3.41tantan1tan47213446sincos6 tan16()(2) 由 (1) tan3, 所以2 cos3 tan2433 sin)3(3例 3. 解： (1) | ac | bc |,点 c

8、在 yx 上 , 则 sincos.(2, 3),5 .24(2)ac(cos3,sin), bc(cos, sin3),cos(cos3) sin(sin3)1,则 sincos235.原式 2sincos91124例 4. 解： (1)sin x2 sin x cos x1cos x25，525(sin xcos x) 212449，又2x0sin xcos x2525sin xcosx7 52 sin 2x1 sin x9(2) 原式22 (cos x1sin x ) sin x cos x5sin x cos x( 二 )专题测试与练习一.选择题17620 ，( 12 )108 251

9、25题号123456答案dbbadc第5页共7页二. 填空题7.7;8.3;9.1 ;10.1194.14三.解答题11.解：是第二象限角，sin3cos43tan 22455tan，47是第一象限角， cos5tan12tan(2204135)25312.解：原式cos2cos 2cos 21) sin 2 cos 22 tan() 2 sin() cos()4244413. 解法一 :mn(cossin2,cossin)mn(cossin2) 2(cossin) 2422(cossin)44 cos()21cos()44由已知 | mn |82 ，得 cos()75425又 cos(4)2 cos2 ()128所以 cos2 (2)168252,59cos()0cos()4828825288解法二 :m n (m n) 2m 22m n n 22n22