大一微积分期末试卷及答案[1]

1、;.微积分期末试卷一、选择题（ 6）1.设 f ( x)2cosx , g (x)( 1 )sin x 在区间（ 0， ）内（）。22 f ( x)是增函数， g ( x)是减函数bf ( x)是减函数， g( x)是增函数c二者都是增函数d 二者都是减函数、 x时，2x与相比是（）20ecosxsin x高阶无穷小低阶无穷小等价无穷小同阶但不等价无价小1、 =是函数 =（ -sinx) x的（）连续点可去间断点跳跃间断点无穷型间断点、下列数列有极限并且极限为的选项为（）a x n(1)n1b x nsin nn2c x n1n(a1)d x ncos1an5、若 f ( x)在 x 0处取得

2、最大值，则必有（） f obf o(x 0 )(x 0 )cf 且f( x 0 )bc()15 fffft四、计算题11 用洛必达法则求极限lim x2ex2x 0111解：原式 =lim ex2lim ex2( 2x 3 )lim ex2x 01x02x 3x0x22 若 f ( x)(x310)4 ,求 f (0)f (x)4( x310)3 3x212x2 ( x3 10)3解： f (x)24x(x310)312x2 3 (x310)2 3x224 x ( x310) 3 108x4 ( x3 10) 2f ( x)043 求极限 lim(cos x) x2x 0;.;.4lim4 i

3、 n cosx解：原式 =lim ex2 i ncos xx2ex 0x 01sin x)lim 4lim in cos x(tan xxin cosxlimcosxlimlim2x 0 x2x 0x2x 0xx 0xx 0x4222原式e 25x1的导数4求 y(3 x1)3x2解： in y5 in 3x11 in x11 in x2322y 1531111y33x12x12x25x1511y (3x1)3x23x12(x1)2(x2)5 tan3 xdx解：原式 =tan2 x tan xdx（sec2 x 1) tan xdx=sec2 x tan xdxtan xdx=tan xd

4、tan xsin xdxcos x=tan xd tan x1d cos xcos x= 1 tan2 x in cosx c26求 x arctanxdx;.;.解：原式 = 1arctanxd( x2 )1 (x2 arctanx x2 d arctanx)22= 1 ( x2 arctanxx2121 dx)21 x= 1x2arctanx(1121 x2 )dx=1x2arctanxxc22五、证明题。1、证明方程 x3x10 有且仅有一正实根。证明：设 f (x)x3x1且f ( x)在0,1上连续f (0) 1 0, f (1) 1 0,至少存在（0,1),使得 f ( ） 0即

5、f ( x)在（01)，内至少有一根，即 f ( x)0在（0，）内至少有一实根假设f (x)在（ ，）有两不同实根 x1, x2, x2x100f (x)在 x2 , x2 上连续，在（ x2 , x2）内可导且 f ( x1 )f (x2 )0至少（x2 , x2）， s t f ( )0而 f ( ) 3 2 1 1与假设相矛盾方程 x3 x 1 0有且只有一个正实根2、证明 arcsinx arccosx（ 1 x1）2;.;.证明：设 f (x)arcsin x arccosxf (x)111,11x20, x1 x2f (x)cf (0)arcsin0arccos02f (1)ar

6、csin1arccos12f ( 1)arcsin(1)arccos(1)2综上所述， f ( x)arcsin xarccosx， x1,12六、应用题1、描绘下列函数的图形yx21x解： 1.dy=(-,0)(0,+)1 2x3 12.y=2x- x22x令y 得x3 1022y 2x3令y 0,得x 13.4.补充点 ( 2, 7 ).(1 ,7 ).(1,2).(2, 9 )2222;.;.5 lim f (x),f ( x)有铅直渐近线 x0x06 如图所示：2. 讨论函数f (x)x2inx 2的单调区间并求极值解： df (x)rf (x)2x22( x1)(x 1) ( x 0)xx