高一数学教案：苏教版中国古代数学中的算法案例

1、中国古代数学中的算法案例教学目标：知识与技能目标：（）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；（）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。过程与方法目标：（）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力；（）学会借助实例分析，探究数学问题。情感与价值目标：（）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；（）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。教学重点与难点：重点：了解“更相减损之术”及“割

2、圆术”的算法。难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。教学方法：通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。教学过程：教学教学内容环节创设引导学生回顾情境人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其引入计算， 以及无限逼近任一实数的方法，在代新课数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。 我们在小学， 中学学到的算术， 代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明

3、的特色，也就是“寓理于算”，即师生互动设计意图教师引导， 学通过对以往所学数学知生回顾。 识的回顾，使学生理清教 师 启 发 学 知识脉络，并且向学生生 回 忆 小 学 指明，我国古代数学的初 中 时 所 学 发展“寓理于算” ，不同算 术 代 数 知 于西方数学，在今天看识，共同创设 仍然有很大的优越性，情景，引入新 体会中国古代数学对世课。界数学发展的贡献，增第 1页共 6页阅读课本探究新知把解决的问题“算法化” 。本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。求两个正整数最大公约数的算法学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：例：

4、求和的最大公约数（）利用辗转相除法步骤：计算出 的余数， 再将前面的除数作为新的被除数， ， 余数为，则此时的除数即为和的最大公约数。理论依据：anbrranb ，得a, b 与 b, r 有相同的公约数（）更相减损之术指导阅读课本p 33 -p 34 ，总结步骤步骤：以两数中较大的数减去较小的数，即；以差数和较小的数3构成新的一对数， 对这一对数再用大数减去小数，即,再以差数和较小的数构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即,继续这一过程 ,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数即，(78,36)(42,36)(6,36)(30,6)强爱国主义情怀。学 生 阅 读 课数学教学要有学

5、生根据本内容， 分析自己的经验，用自己的研究，独立的思维方式把要学的知识解决问题。重新创造出来。这种再教师巡视， 加创造积累和发展到一定强 对 学 生 的程度，就有可能发生质个别指导。的飞跃。在教学中应创由 学 生 回 答造自主探索与合作交流求 最 大 公 约的学习环境，让学生有数 的 两 种 方充分的时间和空间去观法，简要说明察，分析，动手实践，其步骤， 并能从而主动发现和创造所说 出 其 理 论学的数学知识。依据。求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑

6、结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理第 2页共 6页(24,6)(18,6)(12,6)( 6,6)理论依据：由 ab ra b r ，得 a,b 与 b, r 有相同的公约数算法：s1输入两个正数 a,b( ab) ；s2如果 ab ，则执行s3 ，否则转到s5 ；由 学 生 写 出成程序框图。为了能在更 相 减 损 法计算机上实现，还适当和 辗 转 相 除展示了将自然语言或程法的算法， 并序框图翻译成计算机语编 出 简 单 程言的内容。总的来说，序。不追求形式上的严谨，教 师 将 两 种通过案例引导学生理解算 法 同 时 显相应内容所反映的数学s3将 ab 的值赋

7、予 r ；s4若 br ，则把 b 赋予 a ，把 r 赋予b ，否则把 r 赋予 a ，重新执行 s2 ；s5输出最大公约数 b程序 :a=input( “a=”)b=input( “b=”)while abif a=ba=a-b;elseb=b-aendendprint(%io(2),a,b)应用例 1 ：用等值算法（更相减损术）求下列举例两数的最大公约数。（ 1） 225， 135（ 2）98， 280例 2：用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。示在屏幕上，以 方 便 学 生对比。教 师 将 程 序显 示 于 屏 幕上，使学生加以了解。学生练习， 教师巡视检查。学生回答。思想

8、与数学方法。巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。体 会 我 国 古 代 数学 中“寓理于算”的思想。深化2割圆术算法魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥学 生 阅 读 课本，教师巡视第 3页共 6页 用少，割之又割，以至于不可割， 与 合体注 意 个 别 指 例而无所失矣” ，帮助学生割 是从 内接六 即从 内接正六 形开始， 数逐次加 ，分析。形开始， 数逐次加倍，逐个算出 些内接正多 形的面 ，从倍，逐个算出 些内接而得到一系列逐次 增的数 。正多 形的面 ，从而 本 p 35-p 36 ，得到一系列逐次 增的步 ：数 。

9、在但是要付出 第一，从半径 的 内接正六 形开始，教 师 概 括 割辛的 ， 在有 算s6 ； 的步 ，机，我 只需利用刘徽 算它的面 学 生 观 察 图的思想， 找割 中第二， 逐步加倍 内接正多 形的 数，分形，引 学生的算法，即运算 律， 算 内接正十二 形，正二十四 形，提 出 问 题 并 算机会迅速得到所求正四十八 形的面 ，到一定的 数 （ 解答。答案。为 m） 为 止 ， 得 到 一 列 递 增 的 数步 复 ，s6 , s12 , s24s2 m ，教 师 注 意 结第三，在第二步中各正 形每 上作一高 合 图 形 帮 助余径的矩形，把其面 2(s2nsn ) 与相 学生分析，

10、 理分析刘徽割 中的算的面 sn 相加，得 sn2(s2 nsn ) ， 解。法是 点所在，学生先 本，有初步印象 又得到一列 增数：s12( s12 s6 ) ，之后教 再与学生一起s24( s24s12 ) ， s48( s48s24 ) ， 割 的步 ，在s2 m(s2msm ) 。此基 上，又学生将所分析的步 写 算法，第 四 ， 圆 面 积 s 满 足 不 等 式引 学生体会算法的核s2 ms s2m ( s2 msm )心是一般意 上的解决估 s 的近似 ，即 周率的近似 。 策略的具体化。面算法： 一个 ， 在分析、 的半径 ，弦心距 hn ，正 n 形通 过 教 师 分思考后

11、得了解决它的的 xn ，面 sn ，由勾股定理得析 的 割 圆 术基本思路（解 策略） ，的步 ， 又学将 种思路具体化、条第 4页共 6页xn2hn1，2xn22x2 n21 hn (n 6)则 x6 1图可知，正2n 边形的面积等于正n 边形的面积加上 n 个等腰三角形的面积和，即s2nsn1 n xn (1 hn )2（ n6）利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为 s6 63，4由于圆的半径为，所以随着n 的增大，s2 n 的值不断趋近于圆周率。程序：n=6;x=1;s=6*sqrt(3)/4;for i=1:1:16h=sqrt(1-(x/2)?2);s=s+n*x*(1-h)/2;n=2*n;x=sqrt(x/2)?2+(1-h)?2);endprint(%io(2),n,s)归纳1求最大公约数的辗转相除法和更相减损小结法；2割圆术的算法课后p39 习题 13 1 ， 2作业p39 习题 1 3 b选作生 讨 论 制 定理化，用适当的方式表割 圆 术 的 算达出来（画出程序框图，法，教师注意转化为程序语句） ，这个指导，适当提过 程 就 是 算 法 设计 过