东南大学-高数-03至10年-期末试卷

1、东南大学 - 高数 - 03 至 1 0 年 - 期末试卷-作者 : _-日期 : _0310 级高等数学（ a ）（上册）期末试卷2003 级高等数学（ a ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4 分，共 16 分）1设函数 yy( x) 由方程x yt 2x 确定，则dy（ ）edtx 01dx( a)e 1;(b)1 - e;(c)e - 1;(d) 2e.2曲线 yln x2x4 的渐近线的条数为（ ）x1( a) 1;(b) 2 ;(c)3 ;(d) 0 .3设函数 f ( x) 在定义域内可导， yf (x) 的图形如右图所示，则导函数 yf ( x) 的图形为（ ）4微分方程

2、y4 y 3 cos2x的特解形式为（ ）(a) y *acos2x;( b)y *axcos2x;(c) y *ax cos2xbx sin 2x;(d)y *a sin 2x.二、填空题（每小题3 分，共 18 分）11 lim (exx) x2_ _x 02若 yarctan 1e f 2 (cos x) ，其中 f 可导，则 dy_xdx 0 3设 f (x)x sin1,x0, 若导函数 f ( x) 在 x0处连续，则x的取值范围0,x0是 _。4若 f (x)x2t4 dt ，则 f ( x) 的单增区间为 _, 单减区间为0t 32_.5曲线 yxe x 的拐点是 _6微分方程

3、 y4 y 4y0 的通解为 y _三、计算下列各题（每小题6 分，共 36 分）1计算积分arctan x3 dx2计算积分xsin5xdx(1 x2 ) 2cosx3. 计算积分x3exdx4.计算积分dx2200 2cos x 1 x0f (u)du)dt(t5. 设 f ( x) 连续，在 x0 处可导，且 f (0) 0, f (0)4 ，求 lim 0t3x 0xsin x6. 求微分方程 2xydy( x22 y2 )dx0 的通解四 .（8 分）求微分方程y3y2 y2xex 满足条件 y x 00, y x 00 的特解五 . （ 8 分）设平面图形d由 x2y 22x 与

4、yx 所确定，试求 d绕直线 x2 旋转一周所生成的旋转体的体积。 2 六 . （ 7 分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 c:x5t 2t 与 x 轴所围成，试yt 22t求其质量 m七 . （ 7 分）设函数 f ( x) 在 a, a 上有连续的二阶导数，且 f (0)0 ，证明：至a3 a, a ，使得a f ( )少存在一点f ( x)dxa3 3 2004 级高等数学（ a ）（上）期末试卷一 . 填空题（每小题4 分，共 20 分）1函数 f x1的间断点是第类间断点 .1x2.已知 f x是 f x的一个原函数 , 且 fxxfx2 , 则 f x.1x3.12005exe x

5、dx.x 1 x14.设 f xxsin t1u 4 ut,则f0.01dd5.设函数 fx2xdtx0, 则当 x时 , 取得最大值 .x1t 3二 .单项选择题 ( 每小题 4 分 , 共 16 分)1.设当 xx0 时,x ,x 都是无穷小x 0 , 则当 xx0 时, 下列表达式中不一定为无穷小的是(a)2 x(b)2 x2x sin 1(c) ln 1xx(d)xxxx1arctan x2x1 的渐近线共有2.曲线 yex21xx2(a) 1条(b) 2条(c) 3条(d) 4条 4 3.微分方程 yy2 yxe2 x 的一个特解形式为y(a)axb x 2e2 x(b)axe2 x

6、(c)axb e2 x(d)axb xe2 x4. 下列结论正确的是(a) 若 c, ddba,b , 则必有f x dxf x dx .ca(b) 若 f x 在区间 a,b 上可积 , 则 fx 在区间 a, b 上可积 .(c) 若 f xatt是周期为 t 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有f x dxf x dx .a0(d) 若 f x 在区间 a,b 上可积 , 则 f x 在 a, b 内必有原函数 .三 . ( 每小题 7 分, 共 35 分)x2 dtln cost t1. lim0x3x 02. 设函数 y y x 是由方程 x 2y 2yexy2 所确定的隐函数 ,

7、 求曲线 y y x在点 0, 2 处的切线方程 . 5 3.x cos2 x cos4 x dx4.1arctan x dx0x3yyxsin x5.求初值问题1的解 .y 01, y 02yyln x四 .(8 分) 在区间 1, e 上求一点, 使得图中所示阴影1部分绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 .o1ex 6 五 . (7 分)设 0a b , 求证ln b2 b a .aa b六 .(7分) 设当 x1时, 可微函数 f x 满足条件f x f x1xt dt0fx1 0且 f 01 , 试证 :当 x0 时, 有e xf x1成立 . 7 七 .(7 分)设f x在区间1,

8、1上连续 , 且1d1tan d0fx xf xx x,11证明在区间1,1内至少存在互异的两点 1 , 2, 使 f 1f2 0 .2005 级高等数学（ a ）（上）期末试卷一填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分 36 分）x2sin t 2dt1 lim0；x6x 02曲线yx3的斜渐近线方程是；2(1x)23设 yy(x) 是由方程 y ln yln x 所确定的隐函数，则 dy；dx4设 f 在区间 0, 上连续，且 f (x)sin xf ( x)dx ，则 f ( x)；05设 f (x)1x2 , x032)dx；x，则f (x,x01e6sin xdx；2cos xx7

9、曲线yln x 相应于 1 x 3 的一段弧长可用积分表示； 8 8已知 y1e x 与 y2e2x 分别是微分方程yayby0 的两个特解，则常数a，常数 b；9 f ( x0 )0 是曲线 yf ( x) 以点 (x0 , f (x0 ) 为拐点的条件。二计算下列各题（本题共4 小题，每小题7 分，满分 28 分）x2t 2 dt ，求 f (x)1设 f (x)t sin x02ex13x sin2xsin4xdx2 xdxe404dx21x2x2x 1三（本题满分 9 分）设有抛物线: yabx2 (a0,b0) ，试确定常数 a 、b 的值，使得 （ 1）与直线 yx1相切；（2）与

10、 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大。 9 四（本题共2 小题，满分 14 分）221（本题满分 6 分）求微分方程 2x yex1 dxex dy0 的通解。2（本题满分 8 分）求微分方程 y 2 yx e2 x 满足初始条件y(0) 2, y (0)9 的特解。4五（本题满分7 分）试证：（ 1）设 ue，方程 x ln xu 在 xe时存在唯一的实根x(u) ；（2）当 u时，1是无穷小量，且是与ln u 等价的无穷小量。x(u)u 10六（本题满分6 分）证明不等式：ln 2n 1 1 11l11 ln 2n 1 ，352n1其中 n 是大于 1的正整数。2006 级高

11、等数学（ a ）（上）期末试卷一 . 填空题（本题共9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）xt2xe dt1 lim0；x 0 x(cos x 1)2 曲线 x1t 2在 t2 对应的点处的切线方程为；yt 33 函数 f ( x)xln(1x) 在区间内严格单调递减；4 设 yy( x) 是由方程 xyln y 1 所确定的隐函数，则 y (0)；55x 1 x21 x2 dx；x111x2x4 116 设 f ( x) 连续，且x1arctanx2，已知 f (1)1 ,则tf (2x t)dt022f (x)dx；17 已知 y y( x) 在任意点 x 处的增量yx，当x 0 时，

12、是 xyx 21的高阶无穷小，已知 y(0)，则 y(1)_ ；8 曲线 y xlne1的斜渐近线方程是；x9 若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解y1 e3x , y2ex ，则该方程为.二 . 计算题（本题共4 小题，每小题7 分，满分 28 分）1计算不定积分arccos x dx2 计算定积分x sin x dx2x x203 计算反常积分1xtdt ，求1x x21dx4 设 g (x)g( x)dx111t30xln cost三（本题满分7 分）求曲线1 sin t自 t0 到 t一段弧的长度。 （第 3y42页） 12四（本题共2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9

13、分，满分 16 分）22求微分方程 yyxsin x 的特解，使得该特解在原点处与直线y3 x 相2切。五（本题满分 7 分）设 a1 ，求积分 i (a)1x a e2 xdx 的最大值。1 13六（本题满分 6 分）设函数 f (x) 在 2,4上存在二阶连续导数，且 f (3)0 ， 2,4 ，使得f4证明：至少存在一点( ) 3 f ( x)d x 。22007 级高等数学（ a ）（上）期末试卷一 . 填空题（本题共 9 小题，每小题4 分，满分 36 分）1 lim ex1x x2；x 02设 ysin 1；x x ，则 dy3已知 f(3)2 ，则 limf (3 h)f (3)

14、；h 0sin 2h4对数螺线e 在对应的点处的切线方程是；2 145设 yy( x)x5是由方程y t 2x2确定的隐函数，22e dtcost dt 000则 y(x) 的单调增加区间是，单调减少区间是；6曲线 yxe 2x 的拐点坐标是，渐进线方程是；7 limnnn22l22；nn3n12n3n81 cos2 xcosx2 sin3 x dx；9二阶常系数线性非齐次微分方程y y2sin x 的特解形式为y*.二 . 计算下列积分（本题共3 小题，每小题7 分，满分 21 分）22210.x2xdxarctan 1x dx0x1112。excos xdx21x2,xex2x02ex0三

15、（ 13）（本题满分,， f ( x)8 分）设 f (x),x01x0xx2,2（ ）问 f ( x) 是否为 f (x) 在 (,) 内的一个原函数？为什么？（2）求f ( x)d x 15四（ 14）（本题满分7 分）设 f (x)x sin(xt)dt ，求 limf ( x)x2tx2 .x 0五（ 15）（本题满分6 分）求微分方程 ( y cosxsin 2x)dxdy0 的通解 .六（ 16）（本题满分8 分）设 f ( x) 、 g(x) 满足x，且，求g( x)f ( x).f (x) g( x) , g ( x) 2ef ( x)f (0) 0, g (0)20 1 x(

16、1 x)2 dx 16七（ 17）（本题满分 8 分）设直线 y ax (0 a 1)与抛物线 y x2 所围成的图形面积为 s1 ，它们与直线 x1所围成的图形面积为s2 （1）试确定 a 的值，使 s1s2 达到最小，并求出最小值（ 2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积八（ 18）（本题满分6 分）设 f (x)x 12dt ，求证：当 x0 时，sin txf (x)1 .x2008 级高等数学（ a ）（上）期末试卷 17一 . 填空题（本题共9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）x1函数 f ( x)1t 212 dt (x0) 的单调增加区间为；tx

17、arctan(ax)dx2已知 lim 0t61 ，则 a；t03曲线 yx36x23x 5 的拐点是；4曲线 yx3的斜渐近线的方程是；3(2x)25二阶常系数线性非齐次微分方程y y6 y5e2 x 的特解形式是y*；6设 是常数，若对x0，有xx lnx ，则；ln tdt0224 xdx；7 sin08设 f ( x) 是连续函数，且 f (x)sin xf (x)dx ，则 f ( x)dx；00xcost 2 dt ，则1.9设 f (x)f ( x)dx10二 . 按要求计算下列各题（本题共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）x sin t310 lim0tdt11.22

18、4 x2(x 1)4 sin( x 1) dxxx 0x(1 cos x)0 1812已知 f ( x) 的一个原函数为 (1sin x)ln x ，求xf ( x)dx13 设 f (x)2x xsin2t dt , p(x)ax2bx c ，求常数 a 、 b 、 c ，使得0 1 tp(0) f (0),p (0)f(0), p (0) f(0) 。14。401 sin 2xdx1 sin 2x三（ 15）（本题满分8 分）求微分方程 yysin x2ex 满足初始条件y x 01 ，y x 00 的特解 . 19四（ 16）（本题满分 7 分）设函数 f 在区间 0, ) 上连续，且恒

19、取正值，若对 x (0, ) ， f 在 0, x 上的积分（平）均值等于 f (0) 与 f ( x) 的几何平均值，试求 f ( x) 的表达式 .五（ 17）（本题满分7 分） 在 xoy 平面上将连接原点o (0,0) 和点 a(1,0) 的线段 oa （即区间 0,1 ）作 n 等分，分点记作 pkk ,0， k1,2,l , n 1， 过 pk 作n抛物线 y x2 的切线，切点为 qk ，（1）设三角形pk qk a 的面积为 sk ，求 sk ；（ 2）求极限 lim 1 n 1sknn k 1 20六（ 18）（本题满分6 分）试比较21 与 ln 12 的大小，并给出证明

20、.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）七（ 19）（本题满分6 分）设 f ( x) 在区间 0, 2上连续可导，f (0)f (2)0 ，求证：2max f (x) .f (x)dx00 x 2 212009 级高等数学（ a ）（上）期末试卷1函数 f ( x)1的定义域是，值域是；x x2设 f (x)ln x , x0, x1时， f (x) 在 x1 处连续；1x，当 aa ,x13曲线 yx2的斜渐进线的方程是；2( x1)11x224xdx；15函数 yx2t 2；(t1)e dt 的极大值点是 x06dx；x(1x)7设 yy( x) 是由 xx yt 20

21、 所确定的函数，则dy；edtdxx 018曲线族 xyc1exc2e x （ c1 , c2 为任意常数）所满足的微分方程是；9 lim 1nsin k.nn k 1n二 . 按要求计算下列各题（本题共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）10 ln sin x dx11.( xdxsin 2 x27) x 2 2212 limcos(sin x) cos x13dx20x 0x(1 cos x)2 cos2 x。设2，计算1.， f (0)0f (x)dx14f (x) arcsin( x 1)0三（ 15）（本题满分8 分）求微分方程 y2y x e2x 满足初始条件y(0)1 ，y

22、 (0)5 的特解 .4 23四（ 16）（本题满分8 分）设函数 yf ( x) 在区间 0,1 上可导，在 (0,1) 内恒取正值，且满足xf ( x)f ( x)3x2 ，又由曲线 yf ( x) 与直线 x1, y0 所围成的图形 s 的面积为2 ，求函数 f ( x) 的表达式，并计算图形s 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五（ 17）（本题满分 6 分） 已知方程 x2ln(1 x2 )a 在区间 ( 1,1)内存在两2个互异的实根，试确定常数a 的取值范围 . 24六（ 18）（本题满分6 分）设 f ( x) 在区间 0,1 上非负、连续，且满足f 2 ( x) 12xf

23、(t)dt0证明：对x0,1 ，有 f (x) 1 x七（ 19）（本题满分6 分）设 fc l ,l ， f ( x) 在 x0 处可导，且f (0) 0 ， 25（ 1）求证： x (0, l ),(0,1) ，使得xxx)f (t)dtf (t)d t x f ( x) f (00（ 2）求极限 lim.x02010 级高等数学（ a ）（上）期末试卷一填空题（本题共9 小题，每小题4 分，满分 3 6 分）x2x；1 limx ( x a)( x b)2曲线 sin( xy)ln( yx)x 在点 (0,1) 处的切线方程是；3曲线 y2x32 的渐近线方程是；x14若曲线 yx3ax2bx1有拐点 (1,0)，则 b；5函数 y ln(12 x) 在 x0 处的 n 阶导数 y( n) (0)；6设可导函数 yy( x) 由方程x y e t 2dtxxsin t 2dt 确定，则00dy；dxx 0 26270x cos xdx；81xdx；1 xx2 19微分方程 xyy0 满足条件 y(1)1 的特解是.二 .( 本题共 4 小题，每小题 7 分 , 满分 28 分)10求极限lim(sin xsin(sin x)sin x .11求反常积分12 dx.21x 01 cos xx(1x )e13求不定积分112求定积分 sin(ln x)dx .dx .1sin