中考中的费马点详解加练习

1、最新资料推荐皮耶德费马（ Pierre de Fermat）是一个 17 世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶德费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell ）在 20 世纪初所撰写的著作中，称皮耶德费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶德费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶德费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到 17 世纪是杰出数学家活跃的

2、世纪， 因而贝尔认为费马是 17 世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔德费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔 托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而 19 世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题， 并系统地进行了推广，1最新资料推荐因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马 - 托里拆利 - 斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。“费马点” 是指位于三角形内且 到三角形三个顶点距离之和最短 的点。若给定一个 三角形 ABC的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点

3、A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。1. 若三角形 3 个内角均小于 120，那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2. 若三角形有一内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。2最新资料推荐在 1 的条件下画图找费马点如图以任意两边为边向两边做等边三角形 ABD和等年三角形 ACE，则 CD,BE交点 P 即为所求2 若在 120的钝角三角形中，其顶点即是。另外，当刚好 120 ,且三角形 BCD为等边三角形时，有个结论： AD=A

4、B+AC我们拓展一道几何题，第二问对很多学生或者老师还是很酥爽的。3最新资料推荐2011 房山一摸 2009 石景山25（本小题满分7 分）A已知：等边三角形ABCB如图 1， P 为等边 ABC外一点，且 BPC=120P试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系 ,并证明你的猜想；图 1（2）如图 2，P 为等边 ABC内一点，且 APD=120A求证： PA+PD+PCBDPBC图 2CD我们回到正题：费马点4最新资料推荐25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为 (0,2) ，点 D 在 x 轴的正半轴上，ODB30 ， OE 为BOD 的中线，过 B 、 E 两点的抛物

5、线 yax23 x c 与 x 轴相交于 A 、 F 两点（ A 在 F 的左侧） .6（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）等边 OMN 的顶点 M 、 N 在线段 AE 上，求 AE 及 AM 的长；（ 3）点 P 为 ABO 内的一个动点，设 m PA PB PO ，请直接写出 m 的最小值 ,以及 m 取得最小值时，线段 AP 的长.2013 房山一摸24（ 1）如图 1，ABC 和 CDE 都是等边三角形，且 B、C、D三点共线，联结 AD 、BE 相交于点 P，求证： BE=AD （ 2）如图 2，在 BCD 中， BCD120，分别以 BC、CD 和 BD为边在 BCD 外部作等边三

6、角形ABC 、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF，联结 AD 、BE 和 CF 交于点 P，下列结论中正确的是（只填序号即可） AD=BE=CF ； BEC=ADC ； DPE=EPC=CPA=60；（3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证： PB+PC+PD=BE5最新资料推荐29. 阅读下面材料 :小伟遇到这样一个问题：如图1，在 ABC（其中 BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC为边在 BC的下方作等边 PBC，求 AP的最大A值。AABCBCPP图 2图 1小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将 ABP逆时针旋转

7、 60得到 ABC,2）连接 AA,当点 A 落在 A C上时 ,此题可解（如图(1)请你回答： AP的最大值是(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为 ABC内部一点，请写出求 AP+BP+CP的最小值长的解题思路 .提示 :要解决 AP+BP+CP 的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把 ABP绕 B 点逆时针旋转 60，得到A BP . 请画出旋转后的图形 请写出求 AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.APB图 3C2016 一月昌平6最新资料推荐28. 已知，点 O 是等边 ABC内的任一点，连接 OA，OB，OC

8、.（ 1） 如图 1，已知 AOB=150， BOC=120，将 BOC绕点 C按顺时针方向旋转60得 ADC. DAO的度数是；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（ 2） 设 AOB=， BOC=.当 ，满足什么关系时， OA+OB+OC有最小值？请在图2 中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边 ABC的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC的最小值 .AADOBCBC图 1图 22017 年一月昌平29如图 1，在 ABC中， ACB=90，点 P 为 ABC内一点（ 1）连接 PB，PC，将 BCP沿射线 CA 方向平移，得到DAE，点 B，C， P 的对应点分别为

9、点D， A， E，连接 CE 依题意，请在图2 中补全图形； 如果 BP CE， BP=3， AB=6，求 CE的长 BBBNMPPPCACA图 2CA图 1图37最新资料推荐（ 2）如图 3， 连接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将 ABP顺时针旋转 60得到 AMN，那么就将 PA+PB+PC的值转化为 CP+PM+MN 的值，连接 CN，当点 P 落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3 中证明 PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当 AC=BC=4 时， PA+PB+PC的最小值延伸一下2017 年一月海淀 28在 AB

10、C 中， AB=AC， BAC=，点 P 是 ABC 内一点，且PACPCA2连接 PB，试探究 PA，PB，PC 满足的等量关系APAPPBCBC图 1图 2（ 1）当 =60时，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转 60得到 ACP ，连接PP ，如图 1 所示由 ABP ACP 可以证得 APP 是等边三角形，再由PACPCA30 可得 APC 的大小为度，进而得到 CPP 是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC 满足的等量关系为；（2）如图 2，当 =120时，请参考（ 1）中的方法，探究PA，PB，PC 满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC 满足的等量关系为8最新资料推

11、荐2016 年顺义一摸28已知：在 ABC中， BAC=60（ 1）如图 1，若 AB=AC，点 P 在 ABC内，且 APC=150，PA=3，PC=4，把 APC绕着点 A 顺时针旋转，使点 C旋转到点 B 处，得到 ADB，连接 DP依题意补全图1；直接写出 PB的长；（ 2）如图 2，若 AB=AC，点 P 在 ABC外，且 PA=3，PB=5，PC=4，求 APC的度数；（ 3）如图 3，若 AB=2AC，点 P 在 ABC 内，且 PA= 3 ，PB=5，APC=120，请直接写出 PC的长PAAPBCBCAPBC9最新资料推荐26、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM绕点 B