第2章 电路的暂态分析

1、第2章 电路的暂态分析2.1 换路定则与初始值的确定2.2 一阶电路暂态过程分析方法（重点）2.3 一阶电路的脉冲响应1“稳态”与“暂态”的概念:+E_KRR+EuC_开关K闭合uCC暂态稳态t电路处于旧稳态电路处于新稳态过渡过程:旧稳态新稳态u CE电路中的 u、i 在过渡过程期间，都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。讲课重点：直流电路、交流电路都存在过渡过程，重点是直流电路的过渡过程。22.1 换路定则与初始值的确定一、换路定则 换路: 电路状态的改变。如：1 . 电路接通、断开电源；2 . 电路中电源的升高或降低；7换路定则:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流

2、不能突变。0 - -换路前瞬间设：t=0时换路u C( 0+)=u C( 0-)i L( 0+ )=iL( 0 - )则：0 + -换路后瞬间注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC、 iL初始值。不能突变的原因？能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。电容C存储的电场能量（ WC=1 Cu 2） 2WC不能突变uC不能突变12电感 L 储存的磁场能量 （ WL=2 Li L） W L不能突变i L不能突变二、 初始值的确定 初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时的大小。求解要点：1、 uC( 0+)、iL (0+) 的求法。(1) 先由t =0-的电路求出 uC (

3、 0 ) 、iL (0)；(2) 根据换路定则求出 uC(0+)、iL (0+) 。2、其它电量初始值的求法。由t =0+的电路求其它电量的初始值：在 t =0+时列电压方程，其中 uC = uC(0+)； t =0+时列电流方程，其中 iL = iL (0+)。例1K.LiLUVR已知:U= 20 V、R = 1k、L = 1H电压表内阻 RV= 500 k设开关 K 在 t = 0 时打开。求:K打开的瞬间，电压表两端的电压。-U解:换路前iL ( 0)=R=20-1000=20mA+换路瞬间i L ( 0)=i L ( 0)=20 mA（大小，方向都不变）KLiL (0+ ) = iL

4、(0- ) = 20 mAiLUVRt=0+时的等效电路VISuV (0+) = iL (0+) RVV= 20 10 -3 500 103= 10000V8注意:实际使用中要加保护措施IS =iL (0+) = 20mA2KRiiC1+2kiR1R2LE2k1k_6VuL例2： uC已知:K 在“1”处停留已久，在t=0时合向“2”，求:i、iL、iC、uC、uL 的初始值，即 t=(0+)时刻的值。102KRiiC1+2kiLR12kR21k_E6VuL换路前的等效电路+_ERR1R2iLuCuCi(0- ) =ELR + R= 1.5 mA1解：u C (0-) = iL (0-) R1

5、= 3 V2KRi+12kiiCR1R2t=0 +时的等效电iiCiLR1R2EL2k1k_6VuLuC解：+E_ 6V1.5mAiL (0+ )2k1k+u3VL-u（C0 +）i(0+ ) =iLL(0- ) = 1.5 mAi(0 + ) =E - uCCR(0+ )= 3 mAi(0+ ) = iL(0+ ) + i(0+2)= 4.5 mACu(0+) = E - i(0+ ) R= 3 VLL1iL (0- ) = 1.5 mA11uC (0- ) = 3 V计算结果电量iiLiCuCuLt =0 -1 .5 mA1 .5 mA03 V0t =0 +4 .5 mA1 .5 mA3

6、mA3 V3 V换路瞬间， uC、iL 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。161. 换路瞬间，uC、iL小结不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；2. 换路瞬间， uC (0-) =U0 0，电容相当于恒压源，其值等于 U0 ；uC (0-) = 0，电容相当于短路；3. 换路瞬间， i (0-)=I0,电感相当于恒流源，其值等于LI0 ；iL0(0-)=0，电感相当于断路。2.2 一阶电路暂态过程分析方法一阶电路的概念：KRi仅含一个储能元件或可等效为一个+u储能元件的线性电路,且由一阶微分_ UCC方程描述，称为一阶线性电路。电压方程:U=Ri + uC=RCdu Cdt+

7、uC一阶电路过渡过程的求解方法:（一）经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。初 始 值*（二）三要素法: 求.稳 态 值时间常数* 本章重点一、经典法KRiu+CC_ URCdu Cdt+ uC= U一阶常系数线性微分方程+假设uC (0)已知由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：uC方程的特解u C( t )=u C+ u CuC即：对应齐次方程的通解1、求特解 -uCuC 和外加激励信号具有相同的形式。在该电路中， 令uC= K（常数）。代入方程得：RCdKdt+ K= U K= U在电路中，通常取换路后的新稳态值 记做：uC() 17

8、作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。所以该电路的特解为：u C (t ) = uC () =U2、求齐次方程的通解uCdt通解即： RCdu C+ u C= 0的解。其形式为指数。设：uC = Aept其中:A为积分常数p为特征方程式的根u C 随时间变化，故通常称为暂态分量或自由分量。18求p值:u= Ae pt代入齐次方程: RC duC + u= 0将CdtC得特征方程： RCp+ 1 = 0p = -120得：故：求A:RCCu= Ae- t RC求A:已求得： uC (t ) = uC () = U则：u C( t )=u C+u C=u c ( ) +Ae- t RC当 t

9、= 0+ 得:uC (0+ ) = uC () + Ae0u(t) =CAept= u(0) - u(+)e-tRC所以A = u(0+ ) - u()3、微分方程的全部解稳态分量暂态分量uC (t) = uC () = UCu(t) = Aept = u(0+ ) - u()e-t RCCCCu(t) = u+ u= u() +u(0+) - u()e-t RC定义：t=RCt 称为时间常数R:欧姆单位C：法拉t：秒21则：uC (t) = u() +u(0+) - u()e-t t关于时间常数的讨论u(t ) = u () +u(0i)的物理意义？KR+_ UCC+- u ()e - t

10、tuCuC(t) =U=-t-UeRC- ttuC (0+ ) = 0U -Ue00t=RCuC () = U当 t =t 时 :u (t ) = U 63 .2t02t3t4t5t6tuC00.632U0.865U0.950U0.982U0.993U0.998U结论1：当 t = 5t 时,暂态基本结束,uC 达到稳态值。 22uCtt2tt13t1 t2t3U0.632UO结论2：t越大，曲线变化越慢， uC达到稳态时间越长。的物理意义:决定电路过渡过程变化的快慢。25二、三要素法根据经典法推导的结果：KRiu+CC_ UuC (t ) = u C+ u C= uC()+ uC(0+ )

11、- uC ()e - t t在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的f (t ) =f( ) + f (0 +) -f ( ) e- t t通用表达式：在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：f (t ) =f () + f (0 + ) -f ()e- t t式中,f ( t ) ：代表一阶电路中任一电压、电流函数f (0+) - 初始值f () -稳态值（三要素）t-时间常数利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得f (0+ ) 、f () 和t 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。三要素法求解过渡过程要点：

12、.分别求初始值、稳态值、时间常数；.将以上结果代入过渡过程通用表达式；.画出过渡过程曲线（由初始值稳态值）。（电压、电流随时间变化的关系）终点f ()起点f(0+)t26“三要素”的计算（之一）初始值f (0+)的计算:步骤:(1) 求换路前的uC (0- )、iL (0- )u(0+ ) =u(0- )(2) 根据换路定则得出：C+=C-iL (0)iL (0)(3) 根据换路后的等效电路，求未知的u(0+ ) 或 i(0+ ) 。31“三要素”的计算（之二）稳态值 f ( )的计算:步骤: （1）画出换路后的等效电路 （注意：在直流激励的情况下，令C开路，L短路）；（2）根据电路的解题规律

13、， 求换路后所求未知数的稳态值。求稳态值举例t=0+4 k-10V3kCt =02iL334mAL4kucu() = 310C3+ 4/ 4= 6Vi() = 43L3 + 3= 2 mA“三要素”的计算（之三）时间常数的计算:原则:要由换路后的电路结构和参数计算。（同一电路中各物理量的是一样的）步骤:对于只含一个R和C的简单电路， t = RC；对于较复杂的一阶RC电路，将C 以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其等效内阻 R。则:t = RCRC 电路t 的计算举例t=0R1+E-R2CR = R1 / R2+Ed-Ct = RC应用举例例 电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于

14、稳态。试求电容电压uc和电流 i2 、iC 。R6k+-t=0SiCi2Ru+C9mAu ( 0 - )9mA6kC -2mF3kC解：用三要素法求解t=0-等效电路 - t u C= u C () +u(0) -+Cu( )etC(1) 确定初始值uC (0 + )由t=0-电路可求得uC (0- ) = 910-3 6103 = 54 V由换路定则u C ( 0 + ) =u C ( 0 - ) = 54V32(2) 确定稳态值 uc ()由换路后电路求稳态值uc ()u() = 9 10-3 6 3C6 +3103= 18 V9mA(3) 由换路后电路求时间常数 tR6k+uC ()-3

15、kt=R0C= 6 36 +3103 210-6t 电路 = 410-3 s33u= u( ) + u(0) - u( )e- t +tCCCCuC (0 + ) = 54 V三要素u() = 18 VuC 的变化曲线：uCCt= 4 10-3 st54VuC= 18 + (54 -18)e= 18 + 36e-250tdu- -3 41018VVOuC变化曲线tiC= CCdt= 210-6 36 (-250)e-250t34= -0.018e-250 t A = -18e-250 t mAi(t) =uC (t)23103= 6 +12 e-250 tmA三、一阶电路暂态过程的三种响应根据

16、换路前储能元件的存没贮存能量：电路状态零状态、非零状态称为零状态 ；反之为非零状态。换路前电路中的储能元件均未贮存能量，根据换路后电路中有没有电源：零输入、非零输入换路后电路中无电源激励（即输入信号为零）时， 为零输入；反之为非零输入。41电路响应 零输入响应：在零输入的条件下，由非零初始态引起的响应，为零+输入响应； 此时，uc (0) 或iL (0 )被视为一种输入信号。 零状态响应：响应。在零状态的条件下，由电源激励产生的响应为零状态 全响应：电容上的储能和电源激励均不为零时的响应， 为全响应。零输入响应：换路后的电路中无电源激励, 输入信号为零, 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响

17、应。1、RC电路的零输入响应（放电）Ut=0 1K+2R-Cu设换路前电路已处于稳态，则Cu(0+ )= U , u()= 0,t = RCCC代入三要素表达式uC (t )= uC()+ uC(0 + ) - uC()e - t tu C( t )=Ue- t t则2、RC电路的零状态响应（充电）零状态响应: 换路前电路中储能元件的初始能量为零，换路后仅由电源激励所产生的电路的响应。KRi+uCC设换路前电路已处于稳态，则_ UCCu(0+ )= 0,u()= U ,t = RC代入三要素表达式uC (t )= uC()+ uC(0 + ) - uC()e - t t- t u C( t )=U(1 -et)则3、RC电路的全响应所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态均不为零时电路的响应。uUKRi+uou =0 Utt 0_ uuc (0+ )CC= U0设换路前电路已处于稳态，则0CCu(0+ )= U,u()= U ,t = RC代入三要素表达式uCUuC (t ) = uC()+ uC(0+ ) - uC()e - t tU 0t则零输入响应O-1t=- t+ U (1 -