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1、数列存在性问题的分析与解答教案1. 问题呈现题目: 已知正项数列的前项和为,且.(1)求的值及数列的通项公式;(2)是否存在非零整数,使不等式对一切都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.2. 分析与解答分析 :第( 1)问根据数列通项ansnsn 1 n 2很容易求出;关键是第( 2)问中根据第( 1)问的结论 an2n ,可得 cosan 1cos(n1)( 1)n 1 ,则可考虑分离参数,2令 bn111)l (11an1则需要分析bn 的单调性以确定 bn 的最值 . 最后,(1)(1)a1a2an需要考虑 n 为奇数和偶数进行分类讨论 .解(1)由 snan (an2)4.当
2、n1时, a1s1a1 (a12)a12 或 a10(舍去)4,解得当 n 2 时,由 ansnsn 1an (an2)an 1(an 12)an2an 122(anan 1) ,44 an0 , anan 10 ,则 anan 12 , an是首项为2,公差为2 的等差数列,故an2n(2)由 an2n ,得 cosan 1cos(n1)(1)n 1 ,2设 bn1(111l(11an1,则不等式等价于(1)n 1bn .)(1)a1a2anbn 1an12n12n2bn11an 1112n3(2n1)(2n3)an 1122n第 1页共 2页4n28n41,4n28n3 bn0 , bn1bn ,数列bn单调递增 .假设存在这样的实数,使得不等式 (1)n1bn 对一切 nn * 都成立,则 当 n 为奇数时,得(bn )minb123 ;3 当 n 为偶数时,得(bn )minb285 ,即85 .1515综上,(8 5,23) ,由是非零整数,知存在1 满足条件1533. 题后反思针对这类数列的存在性问题,往往需要进行分类参数并构造数列,判断数列的单调性可用比商法或作差法,题目中出现三角函数往往要
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