上海市徐汇区2018年高三数学二模试卷

1、上海市徐汇区 201 8 年高三数学二模试卷-作者 : _-日期 : _2017-2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果已知全集u r，集合a x x22x 3 0 ，则 cu a.161的二项展开式中，常数项是.2在 xx3函数 f ( x)lg(3x2x ) 的定义域为 _4已知抛物线 x2ay 的准线方程是 y1 ，则 a.5若一个球的体积为 324，则该球的表面积为 _3x0，6已知实数 x，y 满足y0，则目标函数 zxy

2、 的最小值为 _xy1sin x cos x21的最小正周期是 _7函数 f (x)118若一圆锥的底面半径为 3 ，体积是 12，则该圆锥的侧面积等于.9将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是 n ，向量rrrr.am2,2n，向量b1,1，则向量 ab 的概率是10已知直线 l1 : mx y0, l2 : xmy m20 . 当 m 在实数范围内变化时， l1 与 l2 的交点 p 恒在一个定圆上，则定圆方程是.2( x1)2sin xm11若函数 f ( x)x21的最大值和最小值分别为m 、，则函数g ( x) m m x sinmm x

3、1 图像的一个对称中心是r rrr12已知向量 a, b 的夹角为锐角，且满足 | a | 8、 | b | 4，若对任意的1515rr0 ，都有 | xrr.( x, y) (x, y) | xa yb | 1,xyy | 1 成立，则 ab 的最小值为二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在四边形 abcduuuruuuruuuruuur中， abdc，且 acbd 0，则四边形 abcd 是- （ ）13（a ）菱形（b）矩形（ c）直角梯形（d）等腰梯形14. 若无穷等比数列an的前 n 项和

4、为 sn ，首项为 ，公比为1，且lim sna，12n( n n * )，则复数 za1 （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于- （ ）i（a ）第一象限（ b）第二象限（c）第三象限（d）第四象限15在abc中，“sin a cosbsin b”是“900”的- （ ）cos ac（ a ） 充分非必要条件（ b）必要非充分条件（ c） 充要条件（d）既不充分也不必要条件16y轴正半轴相切于点如图，圆 c 分别与 x 轴正半轴，a, b ，过劣弧 ab 上一点 t 作圆 c 的切线，分别交x 轴正半轴， y 轴正半轴于点 m , n ，若点 q(2,1) 是切线上一点，则mon 周长

5、的最小值为 -( )（ a） 10（ b）8（c） 4 5（d）12三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)如图在长方体 abcda1b1c1 d1 中， ab 2 ， ad 4 ，d 1121，点 m 为 ab 的中点，点 n 为 bc 的中点aca 1d（ 1）求长方体 abcda1 b1c1d1 的体积；（ 2）求异面直线 a1m 与 b1 n 所成角的大小（用反三角am函数表示）18(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2小题满分 8

6、分)如图：某快递小哥从 a 地出发，沿小路 abbc 以平均时速 20 公里件到 c 处，已知 bd10 （公里），dcb450, cdb300， abd 是等腰三角形，cabd1200 bc 1b 1cnb/ 小时，送快d（ 1） 试问，快递小哥能否在50 分钟内将快件送到 c处？a（ 2）快递小哥出发15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路addc 追赶，若汽车平均时速60 公里 / 小时，问，汽车能否先到达c 处？19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数 f (x)x23tx1 ，其定义域为 0, 3 u 1

7、2, 15 ，(1) 当 t2时，求函数 yf ( x) 的反函数；(2) 如果函数 y f (x) 在其定义域内有反函数，求实数 t 的取值范围20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 )2如图， a, b 是椭圆 c : xy21长轴的两个端点，2m , n 是椭圆上与 a, b 均不重合的相异两点，设直线am , bn , an 的斜率分别是 k1 , k2 , k3 .(1)求 k2 k3 的值；(2)若直线 mn 过点2 ,0 ，求证： k1 k31 ；26(3)设直线 mn 与 x 轴的交点为 (t,0) ( t 为常数

8、且 t0 )，试探究直线 am 与直线 bn 的交点 q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 )已知数列 an 的前 n 项和 an 满足 an 1an1(n n * ) ，且 a11 ，数列 bn 满足n 1n2bn 22bn 1 bn0(nn * ) ， b3 2 ，其前 9 项和为 36(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)当 n 为奇数时，将 an 放在 bn 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将 bn 放在 an 前面一项的位置上，可以得到一个

9、新的数列：a1, b1, b2 , a2 ,a3 , b3 ,b4 , a4 , a5 , b5 ,，求该数列的前 n 项和 sn ；(3)设 cn1an，对于任意给定的正整数 k k 2 ，是否存在正整数 l , m(k l m) ，bn使得 ck , cl ,cm 成等差数列？若存在，求出l , m (用 k 表示 )；若不存在，请说明理由2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2018.4一填空题：（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分 1,32 203 (0, )4 15 166 1789 110 x2y

10、22x y 011 1 ，12 816415二选择题：（本大题共有4 题，满分 20 分，每题分）13a14d15b16a三解答题：（本大题共5 题，满分 74 分）17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】（ 1） 连 ac 、 ac1 abc 是直角三角形，ac22422 5 abcda1 b1 c1d1 是长方体，c1c bc ， c1ccd ，又 dcbcc ，c1c平面 abcd ，c1 cac z又在 rt acc1中， ac121 ， ac 2 5 ，d1c1cc11 ， vabcd a1b1c1 d18-6 分a1db1yc（ 2）解法

11、一：如图建立空间直角坐标系anmbx则 a1 4,0,1 、 m 4,1,0 、 b1 4,2,1 、 n 2,2,0 ，所uuuuruuuur以 a1 m0,1, 1 、 b1n2,0, 1 ，10 分uuuuruuuur则向量 am 与 b n11uuuuruuuura1 mb1 n所成角 满足 cos uuuur uuuur a1m b1 n10 10异面直线 a1m 与 b1 n 所成的角等于 arccos 10 14 分10解法二：取 ad 的中点 e ，连 a1e 、 em d 1c 1en / ab / a1 b1 ，四边形 a1b1 ne 为平行四边形，a1 e / b1 n

12、，ea1m 等于异面直线a1 m 与 b1 n 所a 1b 1dc成的角或其补角 -9分enambam 1 ， ae2 ， aa11，得 am12 ， a1 e5 ， em5 ，coseam125510 ，ea1m arccos10 2251010异面直线 a1m与 b1 n 所成的角等于 arccos 10 -14分1018(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】（ 1） ab10 （公里），bcd 中，由bdbc0 ，得 bc5 2 （公里）-2分sin 450sin30于是，由 10526051.2150 知，20快递小哥不能在50 分钟内将快件送

13、到 c 处 -6分（ 2）在 abd 中，由 ad 210210 22 10 101300 ，2得 ad10 3 （公里）， -8分在bcd中，cbd1050 ，由cd5 2，sin105 0sin 300得 cd5 13（公里）， -10分由1035 1360152015345.9851.21（分钟）60知，汽车能先到达 c 处 -14 分19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】 (1)y3x8,x 8, 1； -6 分3x8,x73,136(2) 10 若 3t0 ，即 t0 ，则 yfx在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8 分若 3t220

14、15 ，即 t10 ，则 yfx在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10 分230当 33t12 ，即 2t8时，由于区间0,3 关于对称轴 3t的对称区间是223t123t3153t 3,3t，于是当3t3或3t12，即 t 2,4 或 t6,8 时，22函数 yfx 在定义域上满足1-1 对应关系，具有反函数综上， t(, 0 u 2,4) u (6,8 u 10,) -14 分20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 )【解】 (1)设 n ( x0 , y0 ) ，由于 a(2,0), b( 2,0) ，yyy2所以 k2

15、k3000，x02 x02x022因为 n ( x0 , y0 ) 在椭圆 c 上，于是 x02y021，即 x0222y02 ，2所以 k2ky021 .-4 分3x0222(2)设直线 mn : x my2 ， m ( x1 , y1), n ( x2 , y2 ) ，由 xmy22222 y22x得 (m22) y22my30 ，2于是 y1y22m , y1y23， -6 分m222 m22k1 k3y1y2y1 y2x12 x223 2 m y19m2 y1 y2y222332 m22132910分3322m9m22m2262m2 m222m m22 223m2(3)由于直线 mn与

16、 x 轴的交点为 (t ,0)，于是 mn : xmy t ，联立直线 mn : xmyt 与椭圆 c : x2y21 的方程，可得2( m22) y22mtyt220 ，于是 y1y22mt, y1y2t 22 .-12分m22m22因为直线 am : yy1(x2) ，直线 bn : yy2( x2) ，x1x222两式相除，可知x2 x12 y2my1t2 y2my1 y2(t2) y2x2 x22 y1my2t2 y1my1 y2(t2) y1mt 22(t2)(2mty1 )m(t2) 2(t2)(m22) y1m22m22t 22m(t 22)(t2)(m22) y1m m22(t

17、2) y1t2m(t2)(m22) y1t2，t2m(t2)(m22) y12t于是 xt2 ，所以 x22上 16 分，即直线 am 与直线 bn 的交点 q 落在定直线 xtt21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 )【解】答案：(1)因为 an1an1 (nn * ) ，于是数列an是首项为，公差为 1的等n1n2n12差数列，所以an1n1，即 an(n1)(n*) ，nn22n2当 n2时， ananan1n ，又因为 a11，所以 ann(nn * ) .-2 分又因为 bn22bn 1bn0(nn * ) ，于是数列

18、 bn是等差数列，设 bn 的前n 项和为 bn ，由于 b99b536 ，则 b5 4 ，由于 b32 ，所以 bnn1(nn *) -4分(2)数列n的前 n 项和 ann( n 1) ，数列 n 的前 n 项和 bn( n 1)n-5 分a2b2当 n2k ( kn *) 时， sns2kakbkk(k1)(k1)kk 2 ； -6 分22当 n4k3(kn*) 时，sns4k3a2k1b2 k2k (2k1)(2k3)(k1)4k 26k3 ；-7 分当 n4k1(kn *) 时，sns4k1a2 k1b2 k(2 k1)k(2k1)k 4k22k ；-8分1n2 ,n2k4所以 snn243 , n4k3，其中 k n * -10分n21 , n4k14(3)由(1)可知， cn1.2n1若对于任意给定的正整数kk2，存在正整数 l , m(k lm) ，使得 ck , cl , cm 成等差数列，则 2clckcm ，即211，-11分2l12k12m1于是1214k2l1，2m12l12k1(2l1)(2k1)所以 m2klk2l(k1)(2l14k)(2 k1)24k2l14k2l11k(2 k1)2，即 (2 k1)2mk