实验三 积分.ppt

1、实验三 积分,二.学习Matlab命令sum、symsum(求和),1.求和命令sum调用格式： 当x为向量时，sum(x)表示向量x的各个元素的累加和 例1.x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; sum(x) ans=55 当x为矩阵时，则sum(x)是x的每列和。 例2.x=1,2,3;4,5,6;7,8,9 sum(x) ans= 12 15 18,2.求和命令symsum的调用格式 调用格式symsum(s,1,n) 调用格式symsum(s,k,m,n) 调用格式symsum(s(k),1,n) 调用格式symsum(s(k),k,m,n),例5.求 解：syms k; s

2、ymsum(2*k+1,k,1,10) 例6.求 解：syms k n; y=symsum(k2,k,1,n) t=factor(y) %factor函数用于对y因式分解 pretty(t) %将式子t化为习惯的数学书写方式,三.定积分的概念,1.定积分的思想：分割、取近似、求和、取极限 分割：设闭区间a,b上有n+1个点，记做 把a,b分成n个小区间 这些小区间构成对a,b的一个分割，记为 小区间的长度为 ，其中 称为分割的模。 求和：设f是定义在a,b上的一个函数，对于a,b 的一个分割 ，任取点 作和式 ，称此和式为函数f在a,b上的一 个积分和。,取极限：若 存在，把此极限称为f在a,

3、b上的定积分，记做 2.定积分的几何意义：计算曲边梯形的面积 3.判断定积分是否可积的充要条件 达布上和与达布下和,设 为对a,b的任一分割， 由f在a,b上有界，它在每个 上存在上、下确 界，记 作和 分别称为f关于分割 T 的达布上和与达布下和，显然,可积准则：函数f在a,b上可积的充要条件是： 4.可积函数类 若函数f为a,b上的连续函数，则f在a,b上可积。 若函数f是a,b上只有有限个间断点的有界函数，则f在a,b上可积。 若f是a,b上的单调函数，则f在a,b上可积。,下面计算s1和s2，输入命令： x=linspace(0,1,21); %包括0，1，共21个点，20个区间 y=

4、exp(x); y1=y(1:20); %取区间的左端点，计算函数值，形成小矩形 s1=sum(y1)/20 %各个小矩形的面积和 运行结果： s1=1.6725 x=linspace(0,1,21); %包括0，1，共21个点，20个区间 y=exp(x); y2=y(2:21); %取区间的右端点，计算函数值，形成小矩形 s2=sum(y2)/20 %各个小矩形的面积和 运行结果： s2=1.7616,（二）同样的方法将区间0,1等分成50个小区间， 计算达布下和s1和达布上和s2，可以计算s1=1.7012, s2=1.7355.可以看出随着分点逐渐增加时，s2-s1的值 越来越小。 （

5、三）将区间0,1等分成n个小区间，取极限 （取每个子区间的右端点），下面用Matlab求此极限, 输入命令 syms i n; s=symsum(exp(i/n)/n,i,1,n); limit(s,n,inf) 结果：ans=exp(1)-1,通过绘图观察随着分点的逐渐增加，达布上和与达布下和之 间的差越来越小，越来越接近曲边梯形的面积。在同一窗口中绘 制将区间0,1等分成20个小区间和等分成50个小区间时小矩 形的图形。 subplot(2,2,1); %第一个图形 x=linspace(0,1,21); %将区间0,1等分成20个小区间 y=exp(x); plot(x,y,r) hol

6、d on for i=1:20 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b) %取每个区间的左端点,绘制小矩形 end 注:fill函数的作用是将资料点视为多边形的顶点,并将此多边形涂上颜色,subplot(2,2,2); %绘制第二个图形 for i=1:20 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b) hold on end plot(x,y,r) subplot(2,2,3); %绘制第三个图形 x=linspace(0,1,51); %将区间0,1等分成50

7、个小区间 y=exp(x); plot(x,y,r) hold on for i=1:50 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b) %取每个区间的右端点,绘制小矩形 end,subplot(2,2,4); %绘制第三个图形 for i=1:50 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b) hold on end plot(x,y,g),四.用Matlab求积分,1.求定积分 求 调用格式 syms x; int(函数f(x),a,b) 例1.求 解： syms

8、 x; int(exp(x),0,1) 结果：ans=exp(1)-1,例2：求 解：输入命令： syms x; syms t; y=int(cos(x)2,x,2,t) z=simple(y) %搜索符号表达式的最简形式 pretty(z) %转化为习惯的数学书写方式,2.求广义积分,例3：判断广义积分 的敛散性，收敛时计算积分的值。 解：输入命令： syms x; int(1/sqrt(2*pi)*exp(-x2/2),-inf,inf) int(1/(1-x)2,0,2),3.重积分的计算,用Matlab计算二重积分或三重积分时，必须将 二重积分或三重积分化为相应的二次积分或三次积 分，

9、再用Matlab求解。 例4：求二次积分 解：输入命令： syms x; syms y; int(int(x*y,y,2*x,x2+1),x,0,1) 结果：ans=1/2,例5：计算 ，期中 分析： 解：输入命令 syms x; syms y; int(int(x+y)2,y,0,1),x,0,1) 结果：ans=7/6,在直角坐标系下难以计算的重积分可以 化为极坐标计算，例如下题。 例6：求 分析：若采用直角坐标系求解，积分区域： 将二重积分化为二次积分 输入命令： syms x; syms y; int(int(sin(pi*(x2+y2),y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1),其结果中仍带有sum函数，表示用直角坐标 系求不出这一结果，所以采用极坐标来做 二重积分化为二次积分为 解：输入命令： syms r; syms a; int(int(r*sin(pi*r2),r,0,1),a,0,2*pi) 结果：ans=2,4.曲线积分,第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 用Matlab计算第一型曲线积分时，需要 将其化为定积分，分下面两种情况： a.设有光滑曲线 函