整式的乘除与因式分解知识要点及典型例题

1、,整式的乘除与因式分解 知识要点及典型例题,八年级数学（上册）,1、单项式除以单项式,(三)整式的除法,1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方,(二)整式的乘法,一、整式的概念,1、代数式 2、单项式 3、单项式的系数及次数,知识结构：,二、整式的运算,(一)整式的加减,4、多项式 5、多项式的项、次数 6、整式,3、积的乘方 4、同底数的幂相除,5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式,7、多项式乘以多项式 8、平方差公式,9、完全平方公式,2、多项式除以单项式,基本步骤：去括号，合并同类项。,分 解 因 式,定义,把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分

2、解因式。,与整式乘法的关系：,互为逆过程，互逆关系,方法,提公因式法 公式法,步骤,一提：提公因式,二用：运用公式,三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）,1、单项式：,数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。,2、单项式的系数：,单项式中的数字因数。,3、单项式的次数：,单项式中所有的字母的指数和。,4、多项式：几个单项式的和叫多项式。,5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！,一、整式的有关概念,6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字

3、母的代数式不是整式）,二、整式的运算,（一）整式的加减法,基本步骤：去括号，合并同类项。,1、同底数幂的乘法,法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。,数学符号表示：,（其中m、n为正整数）,（二）整式的乘法,练习：判断下列各式是否正确。,2、幂的乘方,法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。,数学符号表示：,（其中m、n为正整数）,练习：判断下列各式是否正确。,（其中m、n、P为正整数）,3、积的乘方,法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。,符号表示：,练习：计算下列各式。,4.单项式与单项式相乘的法则：,单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个

4、单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。,法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.,( a+b)(m+n) =,a(m+n)+b(m+n,a(m+n)+b(m+n),5 .多项式与多项式相乘：,=am+an+bm+bn,（1）、平方差公式,即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式,说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。,6.乘法公式：,一般的，我们有：,（2）、完全平方公式,法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它

5、们的积的2倍。,一般的，我们有：,注意：,（1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b-a)3,7.添括号的法则：,添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。,（1）、同底数幂的除法,即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。,8.整式的除法：,即任何不等于0的数的0次幂都等于1,（2）、单项式除以单项式,法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。,（3）

6、、多项式除以单项式,法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。,练习：计算下列各题。,（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式,（2）找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。 （3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法提公因式法。,1、利用因式分解计算：,（1） （2）(1 )(1 )(1 )(1 ) （3）20042-40082005+20052 （4）9.929.90.20.01,2、若a、b、c为ABC的三边，且满足 a2b2c2abacbc，试判断ABC的形状。,（2）,3.分解因式：,（1）.,（3）,1求证:(n2+3n+1)2-1是连续四 个整数的积(其中n为整数) 2.已知:a+b=1,求证:a3+b3+3ab=1. 3已知:a+b=-3,ab=-4, 求多项式a2+a2b+ab2+b2的值. 4已知:(