2007年-2017年考研数学三真题pdf完美打印版2009年考研数学三真题

1、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x - x3（1） 函数 f (x) = 的可去间断点的个数为：（ ） sinp x( A) .1( B) . 2(C ) .3( D) .无穷多个 【答案】C【解析】 f ( x) = x - x3s i npx则当 x 取任何整数时， f ( x) 均无意义 故 f ( x) 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x - x3 = 0 的解 x1, 2 ,

2、3 = 0, 1lim x - x3 = lim 1- 3x2 = 1x0 sin p xx0 p cosp xpx - x31- 3x22lim = lim = 更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 /x1 sin p xx - x3x1 p cosp xp1- 3x22lim = lim = x-1 sin p xx-1 p cosp xp故可去间断点为 3 个，即0, 1（2） 当 x 0 时， f (x) = x -sin ax 与 g(x) = x2 ln(1- bx) 是等价无穷小，则（） ( A) . a = 1， b =- 16(C

3、) . a = -1， b =- 16(B) . a = 1， b = 16( D) . a = -1， b = 16【答案】 A【解析】 f (x) = x -sin ax, g(x) = x2ln(1- bx) 为等价无穷小，则 lim f (x) = lim x -sin ax= limx -sin ax 洛lim 1- a cos ax 洛lim a2 sinaxx0 g(x)x0 x2 ln(1- bx)x0 x2 (-bx)x0-3bx2 x0-6bx= lim a2 sin ax = - a3 = 1x0 - 6b ax6baa3 = -6b故排除 B,C 。 另外lim 1-

4、a cos ax 存在，蕴含了1- a cos ax 0 ( x 0) 故 a = 1.排除 D 。 x0-3bx2所以本题选A。 x sin t（3） 使不等式 1dt ln x 成立的 x 的范围是（） t( A) .(0,1)( B) . (1,p ) 2(C ) . (p ,p )2( D) . (p , +)【答案】 A-【解析】原问题可转化为求 x sin tx sin tx 1x sint 111 sin tf (x) = 1t dt - ln x = 11- sin ttdt - 1t dt = 1tdt = xdt 0 成立时 x 的 t取值范围，由 0 ， t (0,1)

5、时，知当 x (0,1) 时， f (x) 0 。故应选 A .t（4） 设函数 y = f ( x) 在区间-1,3 上的图形为： f (x)O-20-1123xx则函数 F ( x) = 0 f (t ) dt 的图形为（ ） f (x)f (x)1-20123x( A) .-1(B) .10-21-123xf (x)1-20123xf (x)1-10123x(C ) .( D) .-1【答案】 D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征： x

6、0,1 时， F(x) 0 ，且单调递减。 x 1, 2时， F (x) 单调递增。 x 2,3 时， F (x) 为常函数。 x -1, 0 时， F(x) 0 为线性函数，单调递增。 由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D 。 （5） 设 A, B 均为 2 阶矩阵， A*, B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若| A |= 2,| B |= 3 则分块矩阵 0AB0 的伴随矩阵为（） 03B* 02B* ( A) . ( B) . 2 A*0 3A*0 03A*(C ) 02 A* . ( D) . 2B*0 3B*0 【解析】根据CC* = C E ，若C* =

7、C C-1,C-1 = 1 C*C 0A0A =（-1）22 A分块矩阵 B0 的行列式 B0B = 2 3 = 6 ，即分块矩阵可逆 0A*0A 0-1 0B-1 0 1 B* 更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 / =A= 6 -1 = 6B B0 B0 B0 A0 1*AA06 01 B* = 02B*=1A* 233A*00 故答案为（B） 100 T（ 6 ） 设 A, P 均为 3 阶矩阵， PT为 P 的转置矩阵， 且 PAP = 010 ， 若 002 P = (a ,a a,)Q, = a( +a

8、 a, a , ，则QT AQ 为（ ） 123122 210 110 ( A) . 1 10 002 (B) . 120 002 200 (C ) . 0 10 002 100 ( D) . 0 20 002 【答案】 A【解析】Q = (a + a ,a,a ) = (a ,a ,a100) 110 = (a ,a ,a )E (1)，即： 1223123Q = PE12 (1)00112312QT AQ = PE (1)T APE (1) = ET (1)PT APE (1)12121212= E (1)100010E (1)21 12002110 100 100210 = 010 01

9、0 110 = 110001 002 001002（7） 设 A 与 B 互不相容，则（） ( A) . P( AB) = 0(B) . P(AB) = P(A)P(B)(C ) . P(A) =1- P(B)( D) . P( A B) = 1【答案】( D)【解析】因为 A, B 互不相容，所以 P(AB) = 0(A) ) P(AB) = P(A U B) =1- P(A U B) ，因为 P(A U B) 不一定等于 1，所以( A) 不正确 (B) 当 P(A), P(B) 不为 0 时， (B) 不成立，故排除 (C) 只有当 A, B 互为对立的时

10、候才成立，故排除 (D) P(A U B) = P(AB) = 1- P( AB) =1，故(D) 正确。 （8） 设随量 X 与Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为 PY = 0 = PY = 1 = 1F (Z ) 为随量 Z = XY 的分布函数，则函数 F (Z )2 ，记 zz的间断点个数为（） ( A) .0( B) .1(C ) .2( D) .3【答案】 B【解析】 FZ(z) = P( XY z) = P( XY z Y = 0)P(Y = 0) + P(XY z Y = 1)P(Y = 1)= 1 P(XY z Y = 0) + P(

11、 XY z Y = 1) 2= 1 P( X 0 z Y = 0) + P( X z Y = 1) 2Q X ,Y 独立 F (z) = 1 P(x 0 z) + P(x z)Z21（1）若 z 01 n+1 aan+1nen+1 - (-1)n+1n2n2en+1 1- - e =(n +1)2 en - (-1)n = (n +1)2 11 n en 1- - e e(n )所以，该幂级数的收敛半径为 （12） 设某产品的需求函数为 Q = Q(P),其对应价格 P 的弹性xp = 0.2 ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加

12、 元 【答案】12000【解析】所求即为(QP) = QP + Q因为x p = QP = 0.2 ，所以QP = 0.2Q Q所以(QP) = 0.2Q + Q = 1.2Q将Q = 10000 代入有(QP) = 12000 。 300 （13）设a = (1,1,1)T , b = (1,0, k)T ，若矩阵ab T 相似于 000 ，则k = 000 更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 /【答案】2300【解析】ab T 相似于000 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到ab T 的特征值为 00023，0，0。而a T b 为矩阵ab T

13、 的对角元素之和，1+ k = 3+ 0 + 0 ，k = 2 。 (14) 设 X1 ， X 2 , Xn 是来自二项分布总体 B(n, p) 的简单随机样本， X 和 S分别为样本均值和样本方差，记统计量T = X - S 2 ，则 ET = 【答案】np2【解析】由 ET = E(X - S 2 ) = EX - ES 2 = np - np(1- p) = np2三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 9 分）求二元函数 f (x, y) = x2 (2 + y2 ) + y ln y 的极值

14、。 【解析】 fx(x, y) = 2x(2 + y2) = 0fy(x, y) = 2x2 y + ln y +1 = 01故 x = 0, y = ef = 2(2 + y2 ), f = 2x2 + 1 , f = 4xyxxyyyxy则 f 1 = 2(2 + 1 )exx (0, )2e更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 /fxy f yy1 = 0(0, )e1 = e(0, )eQ f 0 而( f )2 - f f 0)令 1+ xx= t 得 x =1, dx = -2tdtt2 -1(t2 -1)

15、2原式=ln(1+ t) -2tdt =ln(1+ t) -1d (t 2 -1)= ln(1+ t)d ( 1 )(t 2-1) 2(t 2-1) 2t 2 -1= ln(1+ t) - 1 1 dtt 2 -1t 2 -1t +1-1= ln(1+ t) - (1+-1+）dtt2 -1 4(t -1)4(t +1） 2（t +1）2 = ln(1+ t) + 1 lnt 2 -14 = x ln(1+ 1+ x ) +x-1+ C1+ x x1+ xxt +1t -12(t +1)12(1+ x +1)x1+1ln-+ C4-11+ xx= x ln(1+) + 1 ln( (1+ x)

16、 +x ) - 1 ln( 22(1+ x) -x ) + C（17）（本题满分 10 分） D计算二重积分 (x - y)dxdy ，其中 D = (x, y) (x -1)2 + ( y -1)2 2, y x .【解析】由(x -1)2 + ( y -1)2 2 得r 2(sinq + cosq ) ， 3 p2(sinq + cosq )(x - y)dxdy = 4dq (r cosq - r sinq )rdrD3 p 1p042(sinq +q =4p 343 p 8(cosq - sinq ) r3cos ) dq0=4(cosq - sinq ) (sinq + cosq )

17、 (sinq + cosq )2 dqp 3483 p=4(cosq - sinq ) (sinq + cosq )3 dqp 3483 p=4(sinq + cosq )3 d (sinq + cosq ) =8 13 3p(sinq + cosq )4 4=- 83 p34p44（18）（本题满分 11 分） 证明拉格朗日中值定理， 若函数 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b) 上可导，则 x (a,b) ，得证 f (b) - f (a) = f (x ) (b - a).证明：若函数 f (x) 在 x = 0 处连续，在(0,f (0) 存在，且 f (0) = A .+o

18、),(s 0) 内可导，且 lim f (x) = A ，则 x0+f (b) - f (a)【解析】（）作辅助函数j(x) = f (x) - f (a) -b - a(x - a) ，易验证j(x) 满足： j(a) = j(b) ； j(x) 在闭区间 a, b上 连 续 ， 在 开 区 间 (a, b) 内 可 导 ， 且 j (x) = f (x) -f (b) - f (a)。 b - a更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 /根据罗尔定理，可得在(a, b) 内至少有一点x ，使j(x ) = 0 ，即

19、f (x ) - f (b) - f (a) = 0, f (b) - f (a) = f (x )(b - a) b - a（）任取 x0 (0,d ) ，则函数 f (x) 满足； 在闭区间0, x0 上连续，开区间(0, x0 ) 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在 x (0, x) (0,d ) ，使得 f (x= f (x0 ) - f (0)x00x0 )x0 - 0 (*)又由于 limx0+f ( x) = A ，对上式（*式）两边取 x 0+ 时的极限可得： 0f (0) = lim f (x0 ) - f (0) = lim f (x ) = limf (x ) =

20、A+x0 0+x0 - 0x0 0+x0xx00+x0+故 f (0) 存在，且 f (0) = A 。 （19）（本题满分 10 分） 设曲线 y = f (x) ，其中 y = f (x) 是可导函数，且 f (x) 0 .已知曲线 y = f (x) 与直线 y = 0, x = 1及 x = t(t 1) 所围成的曲边梯形，绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的p t 倍，求该曲线方程。 【解析】旋转体的体积为V = tp f( x) 2dx = p t f ( x)2dx11ttt曲边梯形的面积为： s = 1f( x)dx ，则由题可知 V = p ts p1 (

21、x)2dx = p t1f( x)dx 1 ( x)2dx =t 1f( x)dxt ft f两边对 t 求导可得 f 2 =t fdx + tf f 2 - tf= t fdxV(t )1 ( x)(t )(t )(t )1 ( x)继续求导可得2 f (t) f (t) - f (t) - tf (t) = f (t) ，化简可得 (2 f (t) - t) f (t) = 2 f (t) dt +dy1 t = 1 ，解之得t = c y-1 2 + 2 y2 -21在 V 式中令 t = 1 ，则 f 2 (1)- f (1=) Q0, f t (

22、)0,f=(，代 入 t = c y 2 +得 3更多考研相关干货资料，上在线论坛下载 /111yc =,t =( 33+ 2 y) 。 y1所以该曲线方程为： 2 y +- 3x = 0 。 （20）（本题满分 11 分） 1-1-1 -1设A= -111 , x = 1 0-4-2 1 -2 求满足 Ax = x ， A2x = x 的所有向量x ， x .213123对中的任意向量x2 , x3 证明x1 , x2 , x3 线性无关。 【解析】（）解方程 Ax2 = x1( A,x 1-1-1 -1 ) = -1111 1-1-1 -1000

23、0 1-1-1 -102111 0-4-2 - 2 0211 0000 r( A) = 2 故有一个自由变量，令 x3 = 2 ，由 Ax = 0 解得， x2 = -1, x1 = 1求特解，令 x1 = x2 = 0 ，得 x3 = 1 1 0 故x 2 = k1 -1+ 0 21 解方程 A2x3 = x1，其中k1 为任意常数 A2 = 220 -2-20 440 220-1 11- 1 ( A2 ,x ) = -2 -201 01 4402 00 2 0000 00故有两个自由变量，令 x = -1，由 A2x = 0 得 x = 1, x = 0更多

24、考研相关干货资料，上在线论坛下载 / 1 22 1 13 1 2求特解h2 = 0 0 故 x3 = k2 -1 + 0 0 0 ，其中k2 为任意常数 （）证明： -1k112k2 +11由于 1-k1-k2-22k1 +10= 2k1k2 + (2k1 +1)(k2 + 2) - 2k1(k2 + 2) - k2(2k1 +1)= 1 0故x ,x ,x线性无关.1 2 32（21）（本题满分 11 分） 设二次型 f (x , x , x ) = ax 2 + ax2 + (a -1)x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3求

25、二次型 f 的矩阵的所有特征值。 若二次型 f (x , x , x ) 的规范型为 y 2 + y 2 ，求 a 的值。 12311A = a01 【解析】（） l - a| lE - A |=0a-1 1-1a -10-1la= (l - a) l - a10l - a0-1-11l - a+1= (l - a)(l - a)(l - a +1) -1 -0 + (l - a)= (l - a)(l - a)(l - a +1) - 2= (l - a)l 2 - 2al + l + a2 - a - 2= (l - a)al + 1 (1- 2a)2 - 91l - a+1-1124= (l - a)(l - a + 2)(l - a -1)l1 = a,l2 = a - 2,l3 = a +112（） 若规范形为 y2 + y2 ，说明有两个特征值为正，一个为 0。则 1)若l1 = a = 0 ，则 l2 = -2 0 ， l3 = 3 0 ，符合 3)若l3 = 0 ，即a = -1，则l1 = -1 0 ， l2 = -3 0 ，不符题意综上所述，故a = 2（22）（本题满分 11 分） e- x0 y x设二维随量( X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y) = 0其他 求条件概率