高三数学教案：函数的概念1VIP

1、21 函数的概念高考要求：了解映射的概念 ,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义考点回顾：1对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2函数的传统定义和近代定义；3函数的三要素及表示法考点解析：考点 1、映射：概念、象、原象eg1（1） a r ， b y | y0 ， f: xy| x | ；（ 2） a x | x2, x n * ， by | y 0, y n ， f : xy x22x2 ；（ 3） a x | x0 ， b y | yr ， f : xyx 上述三个对应（ 2）是a 到 b 的映射b1-1已知集合 m( x, y

2、) | xy1 ，映射 f: mn ，在 f 作用下点 (x, y) 的象是 (2 x, 2y ) ，则集合 n（ d ）( a)(x, y) | xy2, x0, y0( b)(x, y) | xy1, x0, y0(c )(x, y) | xy2, x0, y 0( d )(x, y) | xy2, x0, y0解法要点：因为xy2 ，所以2x2 y2xy2 b1-2设集合 m1,0,1 ， n2,1,0,1,2 ，如果从 m 到 n 的映射 f 满足条件： 对 m 中的每个元素 x与它在 n 中的象f ( x) 的和都为奇数，则映射f的个数是（ d）( a) 8 个( b) 12 个(c

3、 ) 16 个(d ) 18 个解法要点： xf (x) 为奇数，当 x 为奇数1、1时，它们在 n 中的象只能为偶数2 、 0 或 2 ，由分步计数原理和对应方法有2种；而当 x0 时，它在 n 中的象为奇数12391种对应方法 故映射f的或 ，共有个数是 92 18b1-3 aa,b,c ,b1,0,1 ,映射f : ab,且fa fbfc 0 ，求这样的映射的个数 .注意特殊性， 0+0+0=0=0+1+（ -1 ）=0，3 对 1 的映射只有1 个，1 对 1 的映射有36所求映射个数为 1 a337a3考点 2、函数概念eg2矩形 abcd 的长 ab8 ，宽 ad5 ，动点 e 、

4、 f 分别在 bc 、 cd 上，且 ce cfx ，（ 1）将aef 的面积 s 表示为 x 的函数f ( x) ，求函数 sf (x) 的解析式；（ 2）求 s 的最大值解：（ 1）s f ( x)sy abcds cefs abe s adf401 x21 8 (5 x)1 5 (8 x)1 x213 x1 (x13) 216922222228 ce cb cd ， 0 x 5 ，函数 sf ( x) 的解析式： sf ( x)1(x13)2169(0 x 5) ；（ 2） f (x) 在 x0,5228上单调递增，smaxf (5)20，即 s 的最大值为 20 b2-1.下列函数中，

5、与函数yx 相同的函数是 c( a) yx2( b) y(x )2(c ) ylg10 x(d ) y2log2 xxb2-2 已知函数 f(x) 的定义域为 a 1， 2， 3，值域为 b 1， 2，则这样的函数共有个22解析：函数概念的理解“定义域和值域都是非空数集的映射”，先并后排c3 a2=6 ；第 1页共 8页b2-3函数 f (x) 对一切实数 x ， y 均有 f ( xy)f ( y)( x2 y 1)x 成立，且 f (1)0 ，（ 1）求 f(0) 的值；（ 2）对任意的 x1(0, 1 ) ， x2(0, 1) ，都有 f ( x1 )2log ax2 成立时，求 a 的

6、取值范围221) x ，令 x1解：（ 1）由已知等式 f ( x y)f ( y)( x 2 y， y0得 f (1) f (0)2 ，又 f (1)0 ， f (0)2 1)x ，令得 f ( x)f (0)( x 1)x ，由（ ）知 f (0)2 ，（）由 f ( xy)f ( y)(x2 yy021f ( x)2 x2x x1(0, 1 ) ， f ( x1)2x12x1( x11)21 在 x1(0, 1) 上单调递增， f ( x1 ) 2 (0, 3) 22424要使任意 x1(0, 1 ) ， x2(0, 1) 都有 f ( x1 )2log ax2 成立，22当 a1时，l

7、og a x2 log a1, 显然不成立210a134当 0a1时， log a x2log a1，13，解得a2log a424 a 的取值范围是 3 4 ,1) 4方法归纳：1对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系实战训练1已知映射 f ：a b，其中，集合 a=-3 ， -2 ， -1 ， l ， 2， 3， 4， ，集合 b中的元素都是 a中元素在映射 f 下的象，且对任意的 a a，在 b中和它对应的元素是 |a| ，则集合 b中元素的个数是 a a 4 b

8、5 c 6 d 72已知集合 m=a，b，c ，n=-1 ，0， 1 ，若 f 是 mn的映射，且 f(a)=f(b)+f(c)，则这样的映射共有ca.4 个b.6个c. 7个d.27个3 mx 0x2 , ny 0y2 给出的四个图形，其中能表示集合m 到 n 的函数关系的有（b ）a 、 0 个b 、1 个c、 2 个d、 3 个4已知 f (x6 )log2 x ，那么 f (8) 等于4b8c181ad32第 2页共 8页5（ 2006 年辽宁卷）设g( x)ex, x 0.1)_lnx, x则 g( g (0.2【解析】 g( g (1 ) g(ln 1 )ln 11e 2.2226

9、.( 2006 年湖南卷）函数ylog2 x2 的定义域是 (d)a.(3, + ) b.3, + ) c.(4, + )d.4, + )7已知函数 f ( x)x22 ，那么1xf (1) f ( 2)f1f (3)f 1f (4)f1_。72342给定映射f : (x, y)(2 xy, xy) ，点1,1的原象是11或(12)8()(, ),3x3,( x10)663249设函数 f ( x)，则 f (5) 8f ( f (x 5),( x10)10 (2000 全国高考 ) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折

10、线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示（）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式pf (t ) ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式qg (t )；（）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解：（）由图一可得市场售价与时间的函数关系为f (t )300t ,0t200,2t300200t300由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t )1 (t150)2100,0 t 30020（）设 t 时刻的纯收益为h(t ) ，则由题意得h(t) = f (t )g(t ) ，第 3页共 8页即1t 21 t175 ,0t200,h(t) =20

11、0221t 271025-t,200t30020022当 0 t200 ，配方整理得h(t) =1(t50) 2100 200所以，当 t50 ， h(t ) 取得区 0 ， 200 上的最大 100；当 200 t 300 ，配方整理得h(t) =1 (t350) 2100 ，200所以，当 t=300 ， h(t)取得区 （200， 300）上的最大 87.5 上，由10087.5 可知， h(t) 在区 0 ， 300 上可以取得最大 100，此 t=50 ，即从二月一日开始的第 50天 ，上市的西 柿 收益最大11已知： f(x+1)=x 2-2x ，等差数列 a n 中， ai =f

12、(x-1),a 2=- 1 ,a 3=-f(x).2( ) 求f(x) 的解析式；( ) 求数列 a 的通 公式；n( ) 设b =1(n n)， t =b +b + +b ，nn12n2n(an2)求 lim tn.n解： ( ) 由 f(x+1)=x2-2x=(x+1)2-4(x+1)+3 ，2 f(x)x -4x+3.( )f(x-1)=(x-1)2-4(x-1) 2+3=x2-6x+8.于是 a1=x2-6x+8 ， a2=- 1 ， a3=-x 2+4x-3.2根据 意 21=(x 2-6x+8)+(-x 2 +4x-3).2解得 x=3， a1=-1. d=a2-a 1= 1 .2

13、 an=-1+ 1 (n-1)=1 n-3 (n n).222( )b n=111.2n( an 2)n3n(n 1)2n222tn=b1+b2+bn= 12111)12 3n(n第 4页共 8页=11111123nn 121.=1-n1 lim tnlim 11=1.n 1nn经典回顾1.若 f :y =3x+1 是从集合 a=1 ， 2，3， k 到集合 b=4 ，7， a4， a2+3a 的一个映射，求自然数 a、k 的值及集合 a、 b.解： f（ 1）=3 1+1=4， f（ 2） =3 2+1=7 ， f（ 3）=3 3+1=10 ， f（ k） =3 k+1，由映射的定义知a41

14、0,a23a10,（ 1）或（ 2）a23a 3k 1,a43k1. a n，方程组（1）无解 .解方程组（ 2），得 a=2 或 a= 5（舍），3k+1=16 ，3k=15 ， k=5. a=1 ，2， 3，5 ， b=4 ，7， 10，16.2.如果函数f （ x） =（ x+a） 3 对任意x r 都有 f（ 1+ x） = f（ 1 x），试求f（ 2） + f（ 2）的值 .解：对任意x r，总有 f （1+x） = f（ 1x），当 x=0 时应有 f（ 1+0 ）= f（ 1 0），即 f （1） = f（ 1） . f（ 1） =0.又 f（ x） =（ x+a） 3， f（

15、 1）=（ 1+a） 3.故有（ 1+a） 3 0a= 1. f（ x）=（ x 1） 3. f （2） +f（ 2）=（ 2 1） 3（ 21） 3 13（ 3） 3 26.3 .集合 m= a，b， c ，n= 1， 0， 1 ，映射 f:m n 满足 f（ a） +f（ b）+f（c） =0，那么映射 f:m n 的个数是多少？解： f（ a） n， f（ b） n， f（c） n，且 f（ a） +f（ b） +f （c） =0 ，有 0+0+0=0+1+ （ 1） =0.当 f （a） =f（ b）=f（ c） =0 时，只有一个映射；当 f （ a）、 f （b）、 f（ c）中恰

16、有一个为0，而另两个分别为1， 1 时，有 c 13 a 22 =6 个映射 .因此所求的映射的个数为1+6=7.评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.4 设 f（ x）是定义在（， +）上的函数，对一切 x r 均有 f（ x）+f（x+2）=0，当 1 x1 时，f（ x） =2x1，求当 1 x 3 时，函数 f（ x）的解析式 .解：设1x 3，则 1 x 2 1，又对任意的x，有f（ x） +f（ x+2）=0， f（ x+2） = f（ x） . f（ x 2）= f（x 2）+2 = f（ x）.又 1x 2 1 时， f（ x 2）=2（x 2） 1=2x 5， f（ x

17、）= f（ x 2）= 2x+5（ 1 x3） .评述：将1 x 3 转化成 1x 2 1，再利用已知条件是解本题的关键.直击高考1（ 2006 年江苏卷）设a 为实数，记函数 f ( x) a 1 x21 x 1 x 的最大值为 g(a)。（）设 t 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m( t)（）求 g(a)第 5页共 8页（） 求 足 g ( a)g(1 ) 的所有 数 aa解：（ i ） t1x1x ，要使 t 有意 ，必 1x0 且 1x0 ，即 t 2221 x2 2,4，且 t0 由得：1x 21 t 21， m(t)a(1 t 222（ ii ）

18、由 意知 g(a) 即 函数 m(t )1 at 2t21 x1 t 的取 范 是 2,2 。1) t1 at 2ta ， t 2,2 。2a ， t 2 ,2 的最大 ，直 t1 是抛物 m(t )1 at 2ta 的 称 ，可分以下几种情况 行 ：a2（ 1）当 a0 ，函数 ym(t ) ， t2 ,2 的 象是开口向上的抛物 的一段，由 t10知 m(t) 在 t 2,2 上 增，故g( a)m(2)a2；a（ 2）当 a0 ， m(t )t ， t2 ,2 ，有 g(a) =2；（ 3）当 a0 ，函数 ym(t) ， t2,2 的 象是开口向下的抛物 的一段，若 t1(0, 2 即

19、 a22 )2 ，a2 ， g (a) m(若 t1(2,2 即 a(2 ,1 ， g(a)m(1 )a1，a22a2a若 t1(2,) 即 a(1m(2)a2。a,0) ， g(a)2a2(a1)2 上所述，有 g(a) =a1, (2a1) 。2a222(a22)（ iii ）当 a1 ， g(a)a232；22当2a1 ，a 1 ,2 ) ，1(2 ,1 ，a1，22222a22ag( a)a12(a)(1 )2 ，故当 a2 ， g(a)2 ；2a2a2当 a0 ， 10 ，由 g( a)g( 1 ) 知： a212 ，故 a1 ；a1a1a1)当 a0 ， a1 ，故 a1或1，从而

20、有 g(a)2或 g (2 ，aaa要使 g (a)g( 1 ) ，必 有 a2，12 ，即2a2，ag( 1 ) 。2a22此 ， g (a)2a 上所述， 足g ( a)g(1 ) 的所有 数 a ：2a2或 a1 。a2点 ：本 主要考 函数、方程等基本知 ，考 分 的数学思想方法和 合运用数学知 分析 和解第 6页共 8页决 的能力2. （ 2006年上海春卷） 函数f ( x)x 24x5 .（ 1）在区 2,6 上画出函数f ( x) 的 像；（ 2） 集合 ax f ( x) 5 ,b(, 2 0, 4 6,) . 判断集合 a和 b 之 的关系，并 出 明；（ 3）当 k 2

21、，求 ：在区 1, 5上， ykx3k的 像位于函数 f ( x) 像的上方 .34. 解 （ 1） 4 分（ 2）方程f ( x)5 的解分 是 214 , 0,4 和 214 ，由于 f (x) 在 (, 1 和 2, 5 上 减，在 1,2 和 5,) 上 增，因此a, 214 0, 4 214 ,. 8 分由于 2146,2142,ba . 10 分（ 3） 解法一 当 x1, 5 ， f ( x)x24 x5 .g (x) k( x3)(x24x5)x2(k4)x( 3k5)x4k2k 220k36 12 分24，k 2,4k1.又1 x5 ，24k2 k6 ，取 x4 k，当 11 ，即22第 7页共 8页g(x) mink 220k 361k 10 264 .4416(k10) 264,(k10) 2640，则 g ( x) min0 . 14 分当 4 k1，即 k6 ，取 x1，g(x) min 2k0 .2k2 ， g(x)0 ， x1, 5 .由 、可知，当因此，在区 1,5 上， yk ( x3) 的 像位于函数 f (x) 像的上方 . 16 分解法二 当 x 1, 5 ， f ( x)x24x5 .由 yk ( x3),得 x2( k 4) x(3k5)0 ，yx2