三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质

1、最新 料推荐向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。重心：ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OBOC0若 O 是 ABC 的重心，则BOCAOCAOB1ABC 故 OAOBOC0 ,1 (PA3PGPBPC)G 为 ABC 的重心 .3、 P 是 ABC所在平面内任一点.G是 ABC的重心1(PA).2PGPB PC3证明：

2、PGPAAGPBBGPCCG3PG ( AGBG CG)(PAPBPC) G是 ABC的重心 GAGBGC0AGBGCG0 ，即 3PGPAPBPC由此可得 PG1 ( PA PB PC) . （反之亦然（证略）33、已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPOA( ABAC) ，(0，) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心 .例 1 若 O为ABC 内一点， OAOBOC0 ，则 O 是ABC 的（）A内心B 外心C 垂心D 重心1最新 料推荐二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OCOA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 )

3、 的垂心，则故 tan AOAtan BOBtan C OC02、H是面内任一点，HA HBHB HCHCHA点 H 是 ABC的垂心 .由 HA HBHB HCHB ( HC HA) 0HB AC0HB AC ,同理 HCAB ， HABC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略）3、 P 是 ABC 所在平面上一点，若 PA PBPB PCPC PA ，则 P 是 ABC 的垂心由 PA PBPB PC ，得 PB (PAPC ) 0，即 PB CA0，所以 PB CA 同理可证 PC AB ， PA BC P 是 ABC 的垂心如图1.ACCBPEMHPAFB图 1O图4、

4、已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ABAC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAB cos BAC cos C ABC 的垂心例 2 P 是 ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PCPC PA ，则 P 是 ABC的（）A外心B内心C重心D垂心2最新 料推荐三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是ABACOBBABCCACB0OAOCABACBABCCACBe1Ae2B引进单位向量，使条件变得更简洁。P如果记 AB, BC, CA 的单位向量为 e1,e2 , e3，则刚才 O 是 ABC的内心的充要条件可以写成OA e1e3

5、OB e1e2OC e2 e302、 O 是 ABC 的内心的充要条件也可以是aOAb OBcOC 0。3、若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC : S AOC : S AOBa : b : c故aOAb OBc OC 0 或者 sin AOAsin BOBsin COC0 ;4、已知 I为 ABC 所在平面上的一点，且ABc ， ACb ， BC a 若aIA bIBcIC 0 ，则 I 是 ABC 的内心 IBIAAB ， ICIAAC ，则由题意得 (abc) IAbAB cAC0， bABcACACABABAC ACABABAC，BABACca AIbcABACIab cABAC

6、Ab AB 与 AC 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，ABAC AI 与 BAC 平分线共线，即 AI 平分BAC 同理可证： BI 平分ABC ， CI 平分 ACB 从而 I 是 ABC 的内心，如图。5、已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足CC3最新 料推荐OPOAABAC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内ABACC心O由题意得 APABAC，PABACAB当(0，) 时， AP 表示P 的BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点轨迹一定通过 ABC 的内心，如图。例 3O 平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的

7、三个点，动点P 满足OPOA( ABAC ) ，0,则 P 点的轨迹一定通过ABC 的（）ABAC（ A）外心（B）内心（C）重心（ D）垂心四、外心1、 O 是 ABC 的外心OAOBOC , 若 O是 ABC 的外心则S BOC : S AOC : S AOBsinBOC : sinAOC : sinAOBsin 2A : sin 2B : sin 2C故 sinAOAsin BOBsin C OC0 。2、 已知 O 是 ABC 所在平面上一点， 若 OA2OB 2OC 2 ，则 O 是 ABC 的外心222222OB OC，则 O 是 ABC若 OA OBOC，则 OAOBOC， OA

8、的外心，如图 1。CBBM PA图 1图 2OOAC4最新 料推荐3、已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OB OCABAC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通OPAB cos BAC cosC2过 ABC 的外心，如图 2。例 4 若 O 为ABC 内一点， OA OBOC ，则 O 是 ABC 的（）A 内 心B 外 心C 垂心D 重心关于“欧拉定理”的一些问题：著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重

9、心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。例 5 在 ABC中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证： Q、G、H三点共线，且 QG:GH=1:2。证明：以 A 为原点， AB所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0) 、B（ x1,0 ）、C(x2,y 2) ， D、 E、 F 分别为 AB、 BC、AC的中点，则有：D（ x1,0)、x 1x 2y 2、x 2,y 2)由题设可设Q（x 1, y3 )、 H (x 2, y 4 ) ,2E (2,) F (2222G ( x 1x 2 , y 2 )AH(x 2 , y 4 )，QF ( x 2x 1

10、 , y 2y 3)33222BC(x 2x1 , y 2 )yC(x 2,y2)AHBCAH BC x 2 (x 2x 1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x1 )FHy 2EGQxADB(x1,0)5最新 料推荐QFACQF ACx 2( x 2x 1 )y2 ( y 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x1 )y 22 y 22QH(x 2x 1 , y4y 3 ) （ 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )222y22QG ( x 2x 1x 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x 1) y 2 )323632

11、y 22( 2x 2x 1 ,3x 2 ( x 2x 1)y 2 )1 ( 2x 22x 1 ,3x 2 (x 2x 1)y 2 )66y2632y 22= 1 QH3即 QH =3QG ，故 Q、G、H三点共线，且 QG : GH 1：2例6 若O、 H 分 别 是 ABC 的 外 心 和 垂 心 . 求 证OHOAOBOC .证明若 ABC的垂心为 H，外心为 O，如图 .连BO并延长交外接圆于D，连结 AD，CD，. 又垂心为.ADABH， AHCD BCBC ，CHAB ，AH CD，CHAD，四边形 AHCD为平行四边形， AH DC DO OC ，故 OH OA AH OA OB

12、OC .“欧拉定理”简化：例 7 设 O、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心 . 求证OG1 OH3证明按重心定理G是 ABC的重心OG1 (OA OB OC)3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1 OH .36最新 料推荐补充练习一：、C是平面上不共线的三点，O 是 ABC的重心，动点 P 满足1已知 ABOP =1 (1 OA + 1 OB +2OC ), 则点 P 一定为ABC（ ）322A. AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C. 重心D.AB边的中点2在 同一个平 面 上 有ABC及一点 满 足 关 系 式 ：OA2BC 2OB 2AC 2OC 2AB 2

13、 ，则为ABC 的（）A 外心B内心C重心D垂心2已知 ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足： PAPB PC0，则 P 为 ABC 的()外心内心C重心D垂心3已知 O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OPOA( ABAC) ，则 P 的轨迹一定通过 ABC的（）外心内心C重心D垂心4已知 ABC， P为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：PAPCPAPBPBPC0 ，则 P 点为三角形的（）外心内心C重心D垂心5 已 知 ABC， P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 点 P满 足 ：a P AbP Bc P0C，则P点

14、为三角形的（）外心内心C重心D垂心2CB2CP ，则 P 点轨迹一定通6在三角形 ABC中，动点 P 满足： CA2 AB过ABC的：（）外心内心C重心D垂心7. 已知非 零向 量 AB 与 AC 满足ABACBC0, 且 ABAC1 ， 则ABACABAC2ABC 为A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8. ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O ， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ，OHm(OAOBOC) ，则实数 m =。7最新 料推荐9. 点 O 是 ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB OB OCOC OA ，则点 O 是A

15、BC 的（）A 三个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的点C 三条中线的交点D 三条高的交点10. 已知点 G是 ABC 的重心，过 G作直线与 AB，AC两边分别交于 M， N 两点，且 AMxAB ， ANy AC ，则 113 。xy证点 G是 ABC 的重心，知 GA GBGCO，得 AG(ABAG )( ACAG )O，有 AG1 ( ABAC ) 。又 M，N，G三点共线（ A 不在直线 MN上），3于是存在 ,，使得 AGAMAN (且1) ，有 AGxAByAC = 1 ( ABAC) ，31，于是得 11得13 。xyxy38最新 料推荐补充练习二：1、已知 O是 A

16、BC内的一点，若222，则是的OAOBOCOABCA、重心B、垂心C、外心D、内心2 、 在 ABC 中 ， 有 命 题 AB ACBC ； ABBC CA0 ； 若ABACABAC0 ，则ABC为等腰三角形；若 ABAC0 ，则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、3、已知 ABC中，有ABACBC0 和 ABAC1 , 试判断 ABC的形ABACABAC2状。4、已知 ABC中， ABa ， BCb ，B 是 ABC中的最大角，若 ab0，试判断 ABC的形状。5、已知 O是 ABC所在平面内的一点，满足222222OABCOBACOCAB ，则 O是 ABC的A、重心B

17、、垂心C、外心D、内心6 、 已 知P是 ABC 所 在 平 面 内 的 一 动 点 ， 且 点P满 足OPOAABAC,0,，则动点 P 一定过 ABC的ABACA、重心B、垂心C、外心D、内心7、已知 O 为平面内一点，A、 B、 C 平面上不共线的三点，动点P 满足OPOAAB1 BC,0,，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC的2A、重心B、垂心C、外心D、内心8、已知 O是 ABC所在平面内的一点，动点P 满足OPOAABAC,0,，则动点 P 一定过 ABC的AB cosBAC cosCA、重心B、垂心C、外心D、内心9、已知 O是 ABC所在平面内的一点，动点P 满足OPOBOCABAC,0,，则动点 P 一定过 ABC的2AB cosBAC cosC9最新 料推荐A、重心B、垂心C、外心D、内心10、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB、 AC 分别相交于M、N 两点，且AMxAB, ANyAC ，求证： 113xy补充练习三：1、已知 O是 ABC内的一点，若 OAOB OC0，则 O是 ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心2、若 ABC的外接圆的圆心为 O，半径为 1