频率与概率、古典概型课程教案

1、概率论与数理统计教案56学时第一章（2） 主讲教师：邱红兵 频率与概率、古典概型 课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节基本内容1、 频率2、 概率的统计定义，3、 概率的公理化定义4、 概率的性质5、 古典概型教学要求1、了解频率概念2、理解概率的统计定义、公理化定义3、会计算古典概率4、熟练掌握概率的性质（加法公式，减法公式）教学重点1、古典概率的计算2、利用概率的性质计算相关概率教学难点1、古典概率的计算2、利用概率的性质计算相关概率习题作业P32 4，6，9，11备注教学过程3 频率与概率随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些

2、，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大？怎样来刻划事件发生的可能性大小呢？我们希望找一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数：概率。一、频率(Frequency) 1、定义设为任一随机试验，为其中任一事件，在相同条件下，把独立的重复做次，表示事件在这次试验中出现的次数（称为频数）。比值称为事件在这次试验中出现的频率(Frequency)。、频率的性质（）非负性：（）规范性：（）有限可加性:若事件两两互不相容，则、频率的稳

3、定性实践证明：当试验次数n增大时,随机事件的频率逐渐趋向稳定。实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502表明：随着n的增加，事件的频率将呈现出稳定性,稳定于0.5。波动最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5历史上的掷硬

4、币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.49984、 概率的统计定义 设有随机试验E，若当试验的次数充分大时，事件A发生的频率稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率(Probability) ，记为：5、概率的统计定义的几点说明 (1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的.(2) 概率的统计定义只是

5、描述性的。(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。二、 概率的公理化定义1、定义设E是随机试验，S为它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：对任一事件A ,有（2）规范性：对必然事件S ,有（3）可列有限可加性: 若两两不相容，则有2、概率的性质（1）（2）有限可加性：若两两不相容，则有（3）若，则有，且有（4）减法公式：对任意两事件A，B，有.（5）.（6）.（7）加法公式：对任意两个事件，有.（8）加法公式的推广（三个的情形） （9）加法公式的推广（任意n个的情形）：设是任意个事

6、件，则有 例1 已知，试求。解：（法一）由事件的运算关系，知，由，有，利用有于是（法二）由事件的运算关系，知，故有，从而例2（92）已知，求事件全不发生的概率。解：所求概率，又从而所求概率。例3（94）已知是两个事件，满足条件，且，则解：由，有，于是例4 设是任意两个事件，则例5设是两个事件，且，则（A）与互斥 （B）是不可能事件（C）未必是不可能事件 （D）或例6 设是两个事件，则一定有（A） （B）（C） （D）4 等可能概型（古典概型）一、等可能概型例 E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E2. 掷一颗骰子，观察出现的点数。共同特点： （1）每次试验只有有限个结果； （2）每个

7、结果出现的可能性相同。 定义： 如果一个随机试验E具有以下特征1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点：2、每个样本点出现的可能性相同：则称具有上述特性的概型为古典概型（等可能概型）。讨论相应的概率问题称为古典概型问题。 古典概型中事件概率的计算：几点说明：1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的.例1 将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面”， 求A，B的概率。解 样本空间为 S=(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(TH

8、H),(THT),(TTH),(TTT)于是 ，例2 一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成1,2,3,4顺序的概率是多少？解：四卷书放在书架上总共有种排法，A的有利场合数（A包含的样本点数）为2，于是例3 一口袋装有6只球,其中4只白球,2只红球.从袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑两种取球方式：(a) 放回抽样:第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只.(b) 不放回抽样:第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求:（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概

9、率。解：设取到的两只球都是白球 B=取到的两只球都是红球 C=取到的两球中至少有一只白球 D=取到的两只球颜色相同则显然有（a）放回抽样：从袋中任取两球，总的取法为取到的两只球都是白球的取法为 取到的两只球都是红球的取法为 于是，又因，从而有，（b）不放回抽样：从袋中任取两球，总的取法为取到的两只球都是白球的取法为 取到的两只球都是红球的取法为 于是，又因，从而有，例4 有10个外观相同的电阻，其电阻分别是1欧、2欧、10欧.现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于5欧，一个等于5欧,一个大于5欧，问一次抽取就能达到要求的概率.解：样本点为从10个不同电阻中任取三个的组合，样本空间总数为。下面计

10、算有利场合数。构成一个有利场合可分三个步骤：第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，有种取法；第二步，从等于5欧的电阻值中任取出一个，有1种取法；第三步，从大于5欧的电阻值中任取出一个，有种取法。有利场合总数为，于是例5 将r个球置于n个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特定箱中）,若nr,试求任一箱内的球数均不超过1的概率。解：先计算样本空间总数：第一个球置于一箱中，共有n种放法；相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点），由乘法原理，r个球的不同的放法有再计算有利场合数：第一个球置于一箱中，共有n种放法;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n

11、-1种放法；第r个球不能放到前r-1个球所在箱，所以只有n-r+1种放法有利场合数为，于是许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：1、有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人没有两个人的生日相同（n人生日互不相同）的概率.任一天人，当时，车站旅客2、有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率.3、某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天例6 袋中有大小相同的 a 个黄球，b 个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是

12、黄球的概率解：设第 k 次摸出的球是黄球（法一）认为球是不相同的（可辩的），黄球编号为1-a，白球编号为1-b，样本点总数为：构成的有利场合数分两步：从a个黄球中任取出一个放到第k个位置，有a种方式；其余个位置是个球的任意排列，有种方式。A的有利场合数为:故（法二）认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）。把依次取出的个球成一列。样本点总数为构成A的有利场合分两步：从a个黄球中任取出一个放到第k个位置，有1种方式；其余ab-1个位置是（a-1）个黄球和b个白球的两类排列，有种方式。故例7 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求恰有2件是次品被抽出的概率.解：例8 在12000的整

13、数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例9 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：CISNCEE 解：七个字母的排列总数为7！拼成英文单词SCIENCE 的情况数(有利场合数）为故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上几乎是不会发生的。 小概率事件通常可以构成一个

14、假设检验的依据，通常假定某“假设H”为真，在该前提下建立一小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该“假设H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。例10 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?分析: 假设接待站的接待时间没有规定, 即各来访者在一周中任一天去接待站是等可能的. 那么,12次来访者都是在周二和周四的概率为 由实际推断原理,有理由怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其时间是有规定的.例11 在的整数中可重复的随机取个数组成位数，求下列事件的概率：（）个数完全不同；（）个