概率论与数理统计：第2章随机变量及其分布

1、2020/10/30,1,随机变量的定义,设随机试验E的样本空间为,若对于每,一个样本点,变量X 都有确定实数值与之对应,则X是定义在,上的实值函数,即,我们称,这样的变量X为随机变量.,定义:,随机变量的分类,(1) 离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个;,连续随机变量: 取值是在某个实数区间,(2) 非离散随机变量,2020/10/30,2,2. 离散随机变量的概率分布,或记为,(1)定义,则称 p(xi) (i=1,2,) 为 X 的概率分布或概率函数.,其所有可能取值为,且,定义: 设X为离散随机变量,2020/10/30,3,注：当X取得有限个可能值时，,(2)性质,显然，概率

2、分布p(xi) 有下面的性质:,表示有限项的和;,当X取得可列无穷多个可能值时,表示收敛级数和.,2020/10/30,4,超几何分布,定义.设随机变量X的概率分布为,随机变量X服从超几何分布,其中n, M, N是分布的参数.,其中n, M, N 都是正整数，,且n N, MN;,则称,记作XH (n, M, N),2020/10/30,5,一批产品共N件, 其中M件次品, N-M件正品,实例：产品检验模型,随机抽取n件样品(0nM),按不放回抽样方式,(设随机变量X表示取出的次品数k ),此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N).,求取出的n样品中恰有k件次品A的概率？,2020/1

3、0/30,6,设随机变量X只可能取0,1两个值 ,二项分布,且概率分布,为,1.(01)分布,则称X服从(0 - 1)分布或两点分布.,(0 - 1)分布的概率分布也可写成,2020/10/30,7,定义. 设随机变量X的概率分布为,其中n,p为分布的参数.,2.二项分布 B (n, p),其中n为正整数，,则称随机变量X服从二项分布，,记作XB (n, p),注：,20 当n=1时，XB(1, p)，即为(0-1)分布.,2020/10/30,8,实例：,在n重伯努利概型中,则X服从二项分布B (n, p) .,例如,设X表示事件A恰好出现的次数，,X=k的概率为,随机抽取n件样品(0nM)

4、.,设一批产品共N件，其中有M件次品，,按放回抽样方式,设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,n), 则,故XB (n, M/N).,2020/10/30,9,是分布的参数.,泊松分布,定义. 设随机变量X的概率分布为,则称随机变量X服从泊松分布，,记作,参数,2020/10/30,10,泊松分布的应用,例如：,3) 汽车站台一天的侯客人数；,5) 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;,2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；,1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；,4)某医院在一天内的急诊病人数;,有着广泛的应用.,泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域,2020/1

5、0/30,11,概率函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数,当N充分大时，,超几何分布H (n, M, N)的,二项分布与超几何分布的关系,定理:,即,若XH (n, M, N)，,则当N时，有,注：,2020/10/30,12,当n充分大, p很小 (p0.1),二项分布B( n, p)的概率函数近似等于泊松分布,的概率函数:,泊松分布与二项分布的关系,泊松定理：,若当n时，,则有,注：,即np比较适中时，,2020/10/30,13,随机变量X的分布函数,定义：设X为一随机变量，,的概率P(Xx)称为随机变量X的分布函数,F(x)=P (Xx).,则事件“X x”,记作,注：,2020

6、/10/30,14,分布函数F (x)的性质,(1) F(x)是非减函数,即若x1 x2, 则,(3)离散随机变量X，F (x)是右连续函数,连续随机变量X，F(x)在(-,+ )处处连续.,即,事件“Xx”当x-时是不可能事件;,事件“Xx”当x+时是必然事件.,2020/10/30,15,定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,函数f (x)称为连续随机变量,连续随机变量和概率密度,且存在非负函数f (x)，,使得对于任意,有,(有界或无界),区间,则称X为连续随机变量;,X的概率密度函数(probability density function),概率密度.,简称,2020/10/

7、30,16,1.连续随机变量X任取确定值x0的概率等于0,即,2. 若X是连续随机变量，,则对任意x1, x2(x1x2)有,注:,3.,P(A)=0,P(A)=1,2020/10/30,17,20 规范性,概率密度的性质,10 非负性,O,设X是连续随机变量,f(x)为X的概率密度，则,2020/10/30,18,连续X的密度函数与分布函数的关系,设连续X的概率密度f (x)，则其分布函数为,且在f (x)的连续点x处，,2020/10/30,19,定义：设随机变量X的概率密度为,则称X在区间a,b上服从均匀分布,其中a, b是分布的参数.,均匀分布,记作,(1) 均匀分布的定义,2020/

8、10/30,20,注：均匀分布的等可能特征,其等可能性的意义是：,X落在区间a, b中任意等长度的子区间内的,可能性是相同的.,或者说X落在a,b子区间内的,概率仅依赖于子区间的长度而与子区间的位置,无关.,事实上，对a, b上的任子区间c,c+l, 有,2020/10/30,21,其中,指数分布,定义: 设随机变量X的概率密度为,则称X服从指数分布，,是分布的参数.,记作,(1) 指数分布的定义,2020/10/30,22,4.随机服务系统中的服务时间；,1.它常用于动物、电力设备和电子元件使用寿命；,2.电话的通话时间；,3.排队时需要等待时间；,（2）指数分布的应用,指数分布在生存分析、

9、可靠性理论和排队论中,有广泛的应用例如：,2020/10/30,23,二维随机变量的联合分布函数,1）定义,2）几何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),2020/10/30,24,定义 若X, Y均为离散随机变量，则 (X,Y ) 为二维离散随机变量,且,二维离散随机变量的联合概率分布,2020/10/30,25,X,Y,其中,2020/10/30,26,二维连续随机变量,定义 设X, Y均为连续随机变量，,2020/10/30,27,联合概率密度的性质：,设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,这个公式非常重要！,2020/10/30,28,边缘分布,

10、则随机变量X的边缘概率函数为,二维随机变量（X,Y）的联合概率函数为,同理随机变量Y的边缘概率函数为,离散随机变量的边缘分布,2020/10/30,29,2020/10/30,30,连续随机变量的边缘分布,的边缘密度函数：,随机变量,X,的边缘密度函数：,随机变量,Y,注：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。,求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不为零的范围。,2020/10/30,31,条件分布,1. 二维离散型随机变量( X ,Y ) 的条件分布,（1）在Y= yj 条件下X 的条件概率函数,（2）在 X= xi 条件下Y 的条件概率函数,2020/10/30,32,随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数,注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似,随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数,2. 连续随机变量的条件分布 ：,2020/10/30,33,定义 设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数x,y有 P(Xx,Y y)= P(Xx)P(Y y) 即 F(x,y)= FX(x) FY(y)， 则称X，Y相互独立。,随