04简单的线性规划问题

1、简单的线性规划问题北京四中 吕宝珠一、基础梳理线性规划相关概念名称 意义 目标函数 欲求 或 的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足 的解 可行域 所有 组成的集合 最优解 使目标函数取得 或 的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的 或 问题 一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从

2、而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小（1）建立线性规划模型；（2）求出最优解；（3）作出实际问题答案。三、典型题型题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有( )a0个 b1个 c2个 d无数个解析：由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点a(5,0)，且斜率k2kab，即

3、直线2xy100与平面区域仅有一个公共点a(5,0)答案：b方法总结：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分【训练1】已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )a1 b3 c1或3 d0解析：其中平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面直线kxy20又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解平面区域如图所示，根据区域面积为4，得a(2,4)，代入直线方程，得k1.答案：a题型二 求线性目标函数的最值【例2】 已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组

4、给定若m(x，y)为d上的动点，点a的坐标为(，1)，则zoo的最大值为( )a3 b4 c3 d4解析：画出区域d，如图中阴影部分所示，而zooxy，yxz，令l0：yx，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax24.答案：b方法总结： 求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解【训练2】 已知变量x，y满足条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是( )a. b.c. d.解析：画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取

5、得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a，a.答案：d题型三 求非线性目标函数的最值【例3】变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解析：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得a.由解得c(1,1)由解得b(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率观察图形可知zminkob.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|oc|，dmax|ob|.2z29.方法总结： 求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意

6、义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值【训练3】设实数满足不等式组，则的最大值为 。解析：作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、法1：可行域内的点都在直线上方，则目标函数等价于易得当直线在点处，目标函数取得最大值为。法2：令为可行域内一动点、定直线，则，其中为到直线的距离由图可知。，【训练4】已知不等式组，则的取值范围为 。解析：作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、，令，为可行域内一动点、则，即的取值范围为。题型四 线性规划的实际应用【例4】某企业生产a，b两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨a产品的利润是7万元，生产每吨b产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解析：设生产a，b两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意得目标函数为z7x12y.作出可行域，如图阴影所示当直线7x12y0向右上方平行移动时，经过m(20,24)时z取最大值该企业生产a，b两种产品