2015秋沪科版数学九上23.2《解直角三角形及其应用》（第4课时）word教案

1、第4课时解直角三角形的应用(3)教学目标1了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题2能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决3逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识教学重难点理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题教学过程导入新课长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列它不仅将为

2、我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献这节我们将学习水库大坝的有关问题推进新课一、合作探究【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡ab的坡度i13，斜坡cd的坡度i12.5，求斜坡ab的坡面角，坝底宽ad和斜坡ab的长(精确到0.1 m)通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决引导学生分析例题，图中abcd是梯形，若bead，cfad，梯形就被分割成rtabe，矩形befc和rtcfd，

3、adaeeffd，ae，df可在abe和cdf中通过坡度求出，efbc6 m，从而求出ad以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力解：作bead，cfad，在rtabe和rtcdf中，ae3be32369(m)，fd2.5cf2.52357.5(m)adaeeffd69657.5132.5(m)斜坡ab的坡度itan 0.333 3，查表得1826.abbesin 72.7(m)答：斜坡ab的坡角约为1826，坝底宽ad为132.5 m，斜坡ab

4、的长约为72.7 m.在求ab时，也可由及勾股定理得出beab1，ab2372.7(m)【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28.求路基下底的宽(精确到0.1米)给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程让一名学生上台板演二、巩固提高利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为10.5，渠道底面宽bc为1米，求：(1)横断面(等腰梯形)abcd的面积；(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数分析：(1)引导学生将实际问题转化为

5、数学问题(2)要求等腰梯形abcd的面积，首先要求出ad，如何利用条件求ad?(3)土方数=等腰梯形abcd的面积100.解：(1)渠道内坡度为10.5，渠深be为0.6米，ae=0.50.6=0.3(米)等腰梯形abcd，fd=ae=0.3(米)ad=20.3+1=1.6(米)等腰梯形abcd的面积为(1.6+1)0.6=0.78(米2)(2)总土方数=截面积渠长=0.78100=78(米3)答：横断面abcd面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米三、达标训练1一段河坝的断面为梯形abcd，试根据图中数据，求出坡角和坝底宽ad(单位：米，结果保留根号)2如图

6、所示，一艘海轮位于灯塔p的北偏东65方向，距离灯塔80海里的a处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东34方向上的b处这时，海轮所在的b处距离灯塔p有多远？(精确到0.01海里)分析：因为apb不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：acp与pcbpc是东西走向的一条直线，ab是南北走向的一条直线，所以ab与pc是相互垂直的，即acp与bcp均为直角再通过65角与apc互余的关系求apc；通过34角与bpc互余的关系求bpc3一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9.从斜坡的

7、起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)本课小结1在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解2利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：(1)审题按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元

8、素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形1解直角三角形的依据在rtabc中，c90，其边角关系如下：(1)三边关系：a2b2c2(勾股定理)(2)三角关系：abc90.(3)边角关系：tan a，sin a，cos a.2常见解直角三角形的类型及解法(1)已知斜边和一个锐角(如c，a)解直角三角形：b90a，acsin a，bccos a(2)已知一条直角边和一个锐角(如a，a)解直角三角形：b90a，c，b.(3)已知两直角边(a，b)解直角三角形：c，tan a，b90a(4)已知斜边和一直角边(如a，c)解直角三角形：b，sin a，b90a3用三角函数表示的三角形面积公式如图，sabc

9、=cd=cd，又sin a=，cd=bsin asabccdbsin asin a由此可得三角形面积公式为sabcsin a，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半4利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤(1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直角三角形是关键注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角5解直角三角形常作的几种辅助线解直角三角形解决问题

10、时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直角三角形，现介绍几种常用的方法(1)梯形作高法若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形【例1】 如图，塔ab和楼cd的水平距离为80 m，从楼顶c处及楼底d处测得塔顶a的仰角分别为45和60，试求塔高和楼高分析：在直角梯形abdc中，有特殊角bac，过较短底cd的端点c作梯形的高ce，可构造出含特殊角的rtaec解rtabd和rtaec，得ab，ae，从而获得塔高ab和楼高cd解：作ceab于e，已知ace=45，adb=60，bd=ce=80 m.分别解rtabd和rtaec，得ab=m，ae=8

11、0 m.cdbeabae80(1) m.故塔高为80 m，楼高为80(1) m.(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形【例2】 如图，在四边形abcd中，ab8，bc1，bad30，abc60，四边形abcd的面积为5，求ad的长分析：显然四边形abcd中有特殊角dab和cba，且它们互余，延长ad，bc相交于e，可得rtaeb解：延长ad，bc相交于e，则e=180-(30+60)=90.在rtaeb中，sin 30=，cos 30=，可得be=4，ae=.s四边形abcd=sabesced=43de=.de=，ad=aede=.奥赛链接1高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯若每转(每层楼的楼梯分两转，楼梯转台不计)楼梯高度为2 m，坡角为30(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？解：在rtabc中，bc2，a30，ac2tan 30.acbc2，即每转楼梯要地毯 m.从一楼到三楼共要地毯4 m.2我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线如图，已知mn为引水工程某段设计路线，从m到n的走向为南偏东30，在m的南偏东60方向有一村庄a，以a为圆心，500 m为半径的圆形区域为村民居住的范围取mn上另一点b，测得ba