谱估计（复习大纲）

1、谱估计（复习大纲） 第一章 经典谱估计 经典谱估计方法是以傅里叶变换为基础的方法，主要有两类：周期图法和布莱克曼图基法（简称bt法，又称为谱估计的自相关法）。这两类方法都与相关函数有着密切的联系，由维纳欣钦定理可知，功率谱和相关函数之间的关系是一对傅里叶变换，因而可以从观测数据直接估计相关函数，根据估计出来的相关函数，求它的傅立叶变换，就可以得到功率谱的估计值。 一、 相关函数和功率谱 若 mx(n)?mx?常数，rxx(n1,n2)?rxx(n1?n2)即rxx(k)?ex(n?k)x*(n) 则称x(n)为广义平稳序列。 若x(n)和y(n)均为广义平稳序列，且rxy(n1,n2)?rxy

2、(n1?n2)即 rxy(k)?ex(n?k)y*(n)，则称x(n)和y(n)为广义联合平稳序列。 广义平稳随机序列x(n)的相关函数rxx(k)和它的功率谱密度pxx(?)之间是傅立叶变换对的关系，即 ?pxx(?)?rxx(k)?1?rxx(k)ek?j?kd? (1.6) 2?pxx(?)ej?kd? (1.7) 这一关系式常称为维纳欣钦定理。 由自相关函数和功率谱密度的定义，不难得出它们的一些基本性质，主要有： 1、当x(n)为复序列时，rxx(?k)?rxx*(k)；若x(n)为实序列，则相关函数为偶函数，即rxx(?k)?rxx(k)。 2、相关函数的极大值出现在k?0处，即rx

3、x(k)?rxx(0)。 3、若x(n)含有周期性分量，则rxx(k)也含有同一周期的周期性分量，否则，当k?时，rxx(k)?0。 4、当x(n)为实序列时，pxx(?)为非负实对称函数，即pxx(?)?pxx(?)和 pxx(?)?0。 5、平稳随机序列x(n)的自相关函数rxx(0)是实的且为正，而且对任一a(n)序列和任一m，自相关函数（acf）满足： m?12m?1m?1e?a*(n)x(n)?n?0?a*(m)a(n)rm?0n?0xx(m?n)?0 （1.10） 这个函数称为半正定的。 自相关函数（acf）和互相关函数（ccf）的z变换定义为： ?pxx(z)?rxx(k)zk?

4、k （1.11） pxy(z)?rxy(k)zk?k （1.12） 1212若令?2?f,f为归一化频率，频率区间?f?为基本周期。则式（1.6）的自功 率谱密度和式（1.8）互功率谱密度又可分别表示为 ?pxx(f)?rxx(k)ek?j2?fk （1.13） ?pxy(f)?rxy(k)ek?j2?fk （1.14） pxx(f)是实的，且非负。 当一平稳随机序列x(n)通过一个脉冲响应为h(n)的线性非时变系统时，其输出序列 y(n)也是一平稳随机序列。它的自相关函数为 ryy(k)?h(k)?h(?k)?rxx(k) (1.16) *pyy(z)?h(z)h*(1z*)pxx(z) （

5、1.17） 1)?h()。令z?exp(j?)?exp(j2?f)，得到相应的功率z*z2若h(n)为实系统，则h*(谱表达 1pyy(?)?h(?)pxx(?) (1.26a) 或 pyy(f)?h(f)pxx(f) (1.26b) 上述关系对以后讨论谱估计问题是很有用的。 ryy(0)?12?2?p(?)d?1/2?1/2pyy(f)df为输出过程y(n)的平均功率。 经常遇到的一种过程是离散白噪声，它的自相关函数（acf）定义为： rxx(k)?x?(k) （1.29） 2其中?(k)是离散冲激函数。这就是说，各样本之间彼此是不相关的。 pxx(f)?1/2?1/2rxx(k)e?j2?

6、f2df?x （1.30） 这表明它在各频率上是完全平坦的。换句话说，白噪声的所有频率分量均具有相同的功率。 二、 相关函数的估计 1、 自相关函数的各态历经性 一般说来，严格各态历经过程允许我们用时间平均来代替系综平均（集合平均或统计平均）。 用时间平均作为广义平稳随机过程均值的估计。 limm?x(n)?ex(n)?x （1.34） 2m?1n?mm1m lim1m?2m?1n?m?x*(n)x(n?k)?ex*(n)x(n?k)?rxx(k) （1.36） 2、 相关函数的估计 我们实际所能得到的随机序列的样本数总是有限的，由有限个样本通过某种运算求出的序列的均值和自相关函数统计特征值叫

7、做它们的估计值。下面讨论随机序列有限个样本的相关函数的估计问题。 设x(n),n?0,1,?,n?1为实随机序列x(n)的一批样本，共有n个值。有时简称之为长度为n的随机序列x(n)。 方法一：根据假定的自相关函数的各态历经性（或遍历性），可用下式估计它的自相关函数，即 ?xx(k)?r1n?k1n?k1n?kn?k?1?x(n?n?0n?k?1k)x(n) （1.38） ?xx(k)?er?ex(n?n?0n?k?1k)x(n) ?rn?0xx(k)?rxx(k) （1.39） ?xx(k)?0， 当n?时， varr?xx(k)是相关函数rxx(k)的无偏估计且是渐近一致的，即当k为有限值

8、时，r?xx(k)是因此rrxx(k)的一致估计。 方法二：有限长度序列x(n),n?0,1,?,n?1的相关函数rxx(k)的另一种估计方法 可表示为 ?xx(k)?r1nn?k?1?x(n?n?0k)x(n) （1.42） ?xx(k)?er1nn?k?1?n?0ex(n?k)x(n)?n?knrxx(k) （1.43） 可见，它是相关函数rxx(k)的有偏估计。但是，当n?，估计值是渐近无偏的。 ?xx(k)?0， 当n?时，varr?xx(k)也是rxx(k)的一致估计。 即（1.42）式的r（1.42）式所定义的相关函数取傅立叶变换求功率谱估计时，在计算上有某些方便之处，以后的讨论中

9、，如不作特别申明，将采用这种有偏估计表示式求相关函数的估计式。 三、功率谱密度的另一个定义 可以证明，功率谱密度（psd）的一个近似等效的定义是 pxx(f)?limem?12m?1m2?x(n)exp(?j2?fn)n?m （1.45） 上式定义的psd与维纳一辛钦定理 ?pxx(f)?rk?xx(k)exp(?j2?fk) （1.46） 是等效的。 由（1.45）式和由（1.46）式维纳一辛钦定理给出的psd的等效定义将作为经典谱估计方法的基础。 四、 周期图 周期图谱估计器定义为： ?(f)?pper1nn?12?x(n)exp(?j2?fn)n?0n?1xxk?(n?1) （1.48）

10、 可以证明，周期图等于估计出的自相关序列的傅里叶变换，或 ?p(f)?per?r?(k)exp(?j2?fk) ?xx(k)是有偏自相关函数的估计值，定义为 其中r1nn?1?k?xx(k)?r?x(n)x(n?n?0k) 周期图的期望值是 ?ep(f)?wb(k)rxx(k)?per?1/2?1/2wb(f?)pxx(?)d? （1.49） 式中wb(f)是巴特利特（bartlett）窗（三角形窗）的傅里叶变换。 ?由式（1.49）可知周期图的均值ep(f)是真实psd和巴特利特窗傅里叶变换的卷per积，在平均意义上得到真实功率谱密度（psd）的平滑形式。因此对有限记录数据，周期图 一般有偏

11、的，但是当n?时，它是无偏的。 n?limep(f)?pxx(f) per这是由于wb(f)收敛到狄拉克?函数。 22对于高斯白噪声的特殊情况，rxx(k)?x?(k),pxx(f)?x，结果为 ?(f)? epper2x?pxx(f) （1.50） 对于白噪声情况，即使有限记录数据，周期图也是无偏的。 ?(f)?对于白高斯过程，epper2x?pxx(f)，方差 sin2?nf22?varp(f)?p(f)1?() （1.52） perxxnsin2?f对任何非白过程，只要记录数据足够长， ?(f)?p2(f)1?(sin2?nf)2 varpperxxnsin2?f对于不靠近0或?12的频率，且n?时，上式近似地退化为： 2?varpper(f)?pxx(f) （1.53） 可以看出，方差与数据长度n无关，即方差不随n的增大而减小至零。由此可得出一个重要的看法：周期图估计器是不可靠的，因为标准离差（方差的平方根）和均值一样大，因而周期图不是一致估计而其均值近似地等于要估计的量值。 上述的重要结论表明，我们不能寄希望于直接用周期图方法获得良好的谱估计，必须采用适当的修正措施减小估计方差，才能使之成为一