初三数学你能证明它们吗2[北师版]

1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),1.你能证明它们吗（4） 等边三角形的判定,阳泉市义井中学 高铁牛,驶向胜利的彼岸,八仙过海,一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.,你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？,一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,证明:ab=ac, b=600(已知), c=b=600.(等边对等角). a=600(三角形内角和定理). a=b（等式性质）. ac=cb（等角对等边）. ab=bc=ac（

2、等式性质）. abc是等边三角形(等边三角形意义).,已知:如图,在abc中ab=ac,b=600. 求证:abc是等边三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在abc中, ab=ac,b=600(已知). abc是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,这又是一个判定等边三角形的根据之一.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,证明:a=b (已知), bc=ac,(等角对等边). 又b=c(已知), ab=ac,(等角对等边). ab=bc=ac(等式性质). abc是等边三角形(等边三角

3、形意义).,已知:如图,在abc中,a=b=c. 求证:abc是等边三角形.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,在abc中, a=b=c(已知), abc是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,这又是一个判定靠边三角形的根据之一.,驶向胜利的彼岸,命题的猜想,1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？,能证明你的结论吗？,结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.,能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.,由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？,驶向胜利的彼岸,命题的证

4、明,定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在abc中,acb=900,a=300(已知), b=600(直角三角形两锐角互余). 又 acb=900, (已知), acd=900(平角意义). 在abc与adc中 bc=dc（作图）, acb=acd（已证）, ac=ac（公共边）, abcadc（sas）. abd是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形) bc= bd= ab(等式性质).,已知:如图,在abc中,acb=900,a=300. 求证:bc= ab.,证明:如图, 延长bc至d,使cd=bc,连接ad.,几何的三种

5、语言,驶向胜利的彼岸,这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.,定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在abc中, acb=900,a=300. bc= ab.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).,学无止境,这里有一个化归的数学思想即把问题转化为一个纯数学问题.,驶向胜利的彼岸,分析:如图,在abc中ab=ac=2a,b=acb=150,cdab于d. 求:cd=?,解:b=acb=150(已知), dac=b+acb= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和). cd= ac= 2a=a(在

6、直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.,含300角的直角三角形,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图, 在abc中,acb900,a=300,cdab于d. 求证:bd=ab/4.,分析:因为a=300,所以bc=ab/2.要证明bd=ab/4,只要能使bd=bc/2即可,此时若bcd=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.,你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?,三角形,认识我吗,2.已知:如图,点p,q在bc上,且bp=ap=aq=qc=a,paq=600,ahb

7、c于h. (1)求证:ab=ac; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.,驶向胜利的彼岸,胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全过程吗?,反过来怎么样逆向思维,命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? 如果是,请你证明它.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,在abc中,acb=900,bc=ab/2. 求证:a=300.,反过来怎么样逆向思维,在abd中,acb=900(已知), ab=ad(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 又bc=ab/2(已知), bc=bd/2(作图), ab

8、=bd(等量代换). ab=bd=ad(等式性质）. abd是等边三角形(等边三角形意义). b=600(等边三角形意义). a=300(直角三角形两锐角互余).,驶向胜利的彼岸,证明:如图, 延长bc至d,使cd=bc,连接ad.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.,定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.,在abc中 acb=900,bc=ab/2(已知), a=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).,成功者的摇篮,1.如图(1):四边

9、形abcd是一张正方形纸片,e,f分别是ab,cd的中点,沿着过点d的折痕将a角翻折,使得a落在ef上(如图(2), 折痕交ae于点g,那么adg等于多少度?你能证明你的结论吗?,成功者的摇篮,1.如图(1):四边形abcd是一张正方形纸片,e,f分别是ab,cd的中点,沿着过点d的折痕将a角翻折,使得a落在ef上(如图(2)中a1),折痕交ae于点g,那么adg等于多少度?你能证明你的结论吗?,答:adg等于150.,证明:df=dc/2(中点意义),a1d=ad=cd(正方形各边都相等),df=a1d/2(等量代换).,da1f=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那

10、么它所对的锐角等于300).,又adef(中点意义),a1da=da1f=300 (两直线平行,内错角相等).,adg=a1da/2=150(角平分线意义).,300,回味无穷,等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 老师提醒: 反证法还认识你吗?,知识的升华,p9习题1.3 1,2,3题. 祝你成功！,习题1.3,驶向胜利的彼岸

11、,1.已知:如图,abc是等边三角形,debc,分别交ab,ac于点d,e.求证: ade是等边三角形.,证明1:,abc等边三角形(已知), ab=a600(已知),又 debc(已知),1=b=600,2=c=600 (两直线平行,同位角相等)., a =1=2(等量代换)., ade是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形).,f,习题1.3,驶向胜利的彼岸,2.房梁的一部分如图所示,其中bcac,a=300,ab=7.4m,点d是ab的中点,deac,垂足为e. 求:bc,de的长.,解:bcac,a=300,ab=7.4m(已知), bc=ab/2=7.423.7(在直角三角形

12、中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又 ad=ab/2=7.423.7(中点意义), de=ad/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,答:bc=3.7m,de=1.85m.,老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,abc是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的def,def是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)def是等边三角形;(2)abe,acf,bcd也是

13、等边三角形.,证明(1):abc是等边三角形(已知),又efbc,deac(已知),e600(三角形内角和定理).,同理,d=600,f600.,12=3600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ).,3,42600,51600(两直线平行,内错角相等).,5, de=f600(等量代换).,def是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,abc是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的def,def是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)def是等边三角形; (2)abe,acf,bcd也都是等边三角形.,请同学们来证明(2)中的结论.,3,5,习题1.3,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,abc是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的def,def是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.,答:(1)def是等边三角形;(2)abe,acf,bcd也是等边三角形.,证明(1):abc是等边三角形(已知),又efbc