文科立体几何大题复习

1、.文科立体几何大题复习一解答题（共12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F 分别是 AB， BC的中点， BD 与 EF交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH， HB上，且将 AED，CFD， BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR平面 PEF；（ 2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 P DEF的内切球的半径2如图，在四棱锥PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60， AB=2， PD=，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB上一点（ ）证明：平面 EAC平面

2、PBD；（ ）若 PD平面 EAC，求三棱锥 P EAD的体积.3如图，在四棱锥中PABCD，AB=BC=CD=DA， BAD=60，AQ=QD， PAD是正三角形（ 1）求证： ADPB；（ 2）已知点 M 是线段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值4如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍， P 为侧棱 SD 上的点（ ）求证： ACSD；（ ）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在， 求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由.5如图所示， ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB B

3、C，AB=BC=2， BCD=60，点 M 为 BE的中点，点 N 在线段 AC上（ ）若 =，且 DN AC，求 的值；（ ）在（ ）的条件下，求三棱锥 B DMN 的体积6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB=AC，且侧面 BB1C1C 是菱形， B1BC=60（ ）求证： AB1BC；（ ）若 AB AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求 AB的长7如图 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E 是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图2 所示.的四棱锥 D1 ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE（ 1）证明： BE平面 D1AE；（ 2）设 F

4、 为 CD1 的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得平面1 ，若存在，求出的MFD AE值；若不存在，请说明理由8如图，已知多面体 ABCDEF中， ABD、 ADE均为正三角形，平面 ADE平面 ABCD，AB CD EF，AD：EF：CD=2： 3：4（ ）求证： BD平面 BFC；（ ）若 AD=2，求该多面体的体积9如图，在四棱锥中PABCD，底面 ABCD为边长为的正方形， PA BD（ ）求证： PB=PD；.（ ）若 E，F 分别为 PC， AB 的中点， EF平面 PCD，求三棱锥的DACE体积10如图，四边形 ABCD为菱形， G 为 AC与 BD 的交点， BE平面 AB

5、CD（ ）证明：平面 AEC平面 BED；（ ）若 ABC=120， AEEC，三棱锥 EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积11如图，四边形 ABCD是正方形， DE平面 ABCD，AF DE， AF=ED=1（ ）求二面角 EAC D 的正切值；.（ ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论12如图，在四棱锥P ABCD中， AB平面 BCP， CDAB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1（ 1）求点 B 到平面 DCP的距离；（ 2）点 M 为线段 AB 上一点（含端点），设直线 MP 与平面 DCP所成角为 ，求 sin 的取值范

6、围.文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一解答题（共12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F 分别是 AB， BC的中点， BD 与 EF交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH， HB上，且将 AED，CFD， BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR平面 PEF；（ 2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 P DEF的内切球的半径【解答】 证明：（ ）在正方形 ABCD中， A、 B、 C 均为直角，在三棱锥 PDEF中， PE，PF， PD三条线段两两垂直， PD平面 PEF，=，即，在 PDH中，

7、RGPD， GR平面 PEF解：（ ）正方形 ABCD边长为 4，由题意 PE=PF=2， PD=4， EF=2，DF=2， S PEF=2，S PFD=SDPE=4，=6，设三棱锥 PDEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得 r=，三棱锥 PDEF的内切球的半径为.2如图，在四棱锥PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60， AB=2， PD=，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB上一点（ ）证明：平面 EAC平面 PBD；（ ）若 PD平面 EAC，求三棱锥 P EAD的体积【解答】（ ）证明： PD平面 ABCD，AC? 平面 ABCD，

8、 ACPD四边形 ABCD是菱形， ACBD，又 PDBD=D，AC平面 PBD而 AC? 平面 EAC，平面 EAC平面 PBD（ ）解： PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBD=OE， PD OE， O 是 BD 中点， E 是 PB中点取 AD 中点 H，连结 BH，四边形 ABCD是菱形， BAD=60， BH AD，又 BHPD， AD PD=D， BH平面 PAD，=.3如图，在四棱锥中PABCD，AB=BC=CD=DA， BAD=60，AQ=QD， PAD是正三角形（ 1）求证： ADPB；（ 2）已知点 M 是线段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值【

9、解答】 证明：（1）如图，连结 BD，由题意知四边形 ABCD为菱形， BAD=60， ABD为正三角形，又 AQ=QD， Q 为 AD 的中点， AD BQ， PAD是正三角形， Q 为 AD 中点， AD PQ，又 BQPQ=Q， AD平面 PQB，又 PB? 平面 PQB， ADPB解：（ 2）连结 AC，交 BQ 于 N，连结 MN， AQ BC， PN平面 MQB，PA? 平面 PAC，平面 MQB平面 PAC=MN，根据线面平行的性质定理得MNPA，综上，得， MC=2PM，. MC=PM，实数 的值为 24如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍， P

10、 为侧棱 SD 上的点（ ）求证： ACSD；（ ）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在， 求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由【解答】 解：（）连 BD，设 AC交 BD 于 O，由题意 SO AC，在正方形 ABCD中， AC BD，所以 AC面 SBD，所以 ACSD（ ）若 SD平面 PAC，则 SD OP，设正方形 ABCD的边长为 a，则 SD=，OD=，则 OD2=PD?SD，可得 PD=，故可在 SP上取一点 N，使 PN=PD，过 N 作 PC的平行线与 SC的交点即为 E，连 BN在 BDN 中知 BN PO，.又由于 NE

11、PC，故平面 BEN面 PAC，得 BE面 PAC，由于 SN：NP=2：1，故 SE： EC=2： 15如图所示， ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB BC，AB=BC=2， BCD=60，点 M 为 BE的中点，点 N 在线段 AC上（ ）若 =，且 DN AC，求 的值；（ ）在（ ）的条件下，求三棱锥 B DMN 的体积【解答】 解：（）取 BC的中点 O，连接 ON，OD，四边形 BCDE为菱形， BCD=60， DO BC， ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直， DO平面 ABC， AC? 平面 ABC， DOAC，又 DNAC，且 DNDO=D， AC平

12、面 DON， ON? 平面 DON， ONAC，由 O 为 BC的中点， AB=BC，可得，即 =3；（ ）由平面 ABC平面 BCDE，ABBC，可得 AB平面 BCDE，由，可得点 N 到平面 BCDE的距离为，.由菱形 BCDE中， BCD=60，点 M 为 BE的中点，可得 DM BE，且， BDM 的面积，三棱锥 NBDM 的体积又 VN BDM=VBDMN，三棱锥 BDMN 的体积为6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB=AC，且侧面 BB1C1C 是菱形， B1BC=60（ ）求证： AB1BC；（ ）若 AB AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求 AB的长【

13、解答】 解：（I）取 BC中点 M，连结 AM，B1M， AB=AC， M 是 BC的中点， AMBC，侧面 BB1 C1C 是菱形， B1BC=60， B1M BC，又 AM? 平面 AB1M， B1M? 平面 AB1M ，AM B1M=M ， BC平面 AB1M， AB1? 平面 AB1M ， BCAB1（ II）设 AB=x，则 AC=x，BC= x，. M 是 BC的中点， AM=， BB1， 1，=B M=又 AB1=BB1， AB1=， AB12=B1M2+AM2， B1M AM由（ I）知 B1M BC， AM? 平面 ABC，BC? 平面 ABC，AM BC=M， B1M 平面

14、 ABC， V=， x=2，即 AB=27如图 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E 是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1 ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE（ 1）证明： BE平面 D1AE；（ 2）设 F 为 CD1 的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得平面1 ，若存在，求出的MFD AE值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接 BE， ABCD为矩形且 AD=DE=EC=2， AE=BE=2 ，AB=4， AE2+BE2=AB2， BEAE，又 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCE=AE，. BE平面

15、D1AE（ 2） = 取 D1E 中点 N，连接 AN，FN， FN EC，EC AB， FN AB，且 FN= AB， M，F，N，A 共面，若 MF平面 AD1E，则 MF AN AMFN 为平行四边形， AM=FN= = 8如图，已知多面体 ABCDEF中， ABD、 ADE均为正三角形，平面 ADE平面 ABCD，AB CD EF，AD：EF：CD=2： 3：4（ ）求证： BD平面 BFC；（ ）若 AD=2，求该多面体的体积【解答】 解：（）因为 ABCD，所以 ADC=120， ABD为正三角形，所以 BDC=60设 AD=a，因为 AD：CD=2：4=1：2，所以 CD=2a，

16、在 BDC中，由余弦定理，得，所以222，所以BD +BC =CDBDBC取 AD 的中点 O，连接 EO，因为 ADE为正三角形，所以 EOAD，因为平面 ADE平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD.取 BC的中点 G，连接 FG，OG，则，且 EF OG，所以四边形 OEFG为平行四边形，所以 FGEO，所以 FG平面 ABCD，所以 FGBD因为 FGBC=G，所以 BD平面 BFC（ ）过 G 作直线 MN AD，延长 AB与 MN 交于点 M ，MN 与 CD交于点 N，连接 FM，FN因为 G 为 BC的中点，所以 MG=OA且 MG OA，所以四边形 AOGM 为平行四边形，

17、所以AM=OG同理 DN=OG，所以 AM=OG=DN=EF=3又 AB CD，所以 AM DN，所以 AMDNEF，所以多面体 MNFADE为三棱柱过 M 作 MHAD 于 H 点，因为平面 ADE平面 ABCD，所以 MH平面 ADE，所以线段 MH 的长即三棱柱 MNFADE的高，在 AMH 中，所以三棱柱 MNFADE的体积为因为三棱锥 FBMG 与 F CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为9如图，在四棱锥中PABCD，底面 ABCD为边长为的正方形， PA BD（ ）求证： PB=PD；（ ）若 E，F 分别为 PC， AB 的中点， EF平面 PCD，求三棱锥的DACE体积【解

18、答】 解：（）连接 AC交 BD 于点 O，底面 ABCD是正方形， ACBD 且 O 为 BD 的中点又 PA BD，PAAC=A，. BD平面 PAC，又 PO? 平面 PAC， BD PO又 BO=DO， RtPBO RtPDO， PB=PD（ ）取 PD 的中点 Q，连接 AQ，EQ，则 EQCD，又 AF， AFEQ为平行四边形， EF AQ， EF平面 PCD， AQ平面 PCD， PD? 平面 PCD， AQ PD， Q 是 PD的中点， AP=AD= AQ平面 PCD，CD? 平面 PCD， AQ CD，又 ADCD，又 AQAD=A， CD平面 PAD CD PA，又 BD

19、PA，CDBD=D， PA平面 ABCD故三棱锥 DACE的体积为.10如图，四边形 ABCD为菱形， G 为 AC与 BD 的交点， BE平面 ABCD（ ）证明：平面 AEC平面 BED；（ ）若 ABC=120， AEEC，三棱锥 EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积【解答】 证明：（ ）四边形 ABCD为菱形， ACBD， BE平面 ABCD， ACBE，则 AC平面 BED， AC? 平面 AEC，平面 AEC平面 BED；解：（ ）设 AB=x，在菱形 ABCD中，由 ABC=120，得 AG=GC= x，GB=GD= ， BE平面 ABCD， BEBG，则 EBG为直角三角形， EG= AC=AG= x，则 BE= x，三棱锥 EACD的体积 V= ，解得 x=2，即 AB=2， ABC=120，2222AB?BCcosABC=4+42=12， AC=AB +BC即 AC=，在三个直角三角形EBA， EBG，EBC中，斜边 AE=EC=ED， AEEC， EAC为等腰三角形，则 AE2+EC2=AC2=12，即 2AE2 =12，. AE2=6，则 AE= ，从而得 AE=EC=ED= ， EAC的面积 S=3，在等腰三角形 EA