初中圆题型总结

1、圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质【例1】（江苏镇

2、江）如图，为o直径，为弦，且，垂足为（1）的平分线交o于，连结求证：为弧adb的中点；（2）如果o的半径为，求到弦的距离；abdeoch填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为【解析】（1），又，又，为弧adb的中点（2），为o的直径，又， 作于，则3.【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段od的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,o的半径为,弦心距为,弦长之间的关

3、系为.根据此公式,在、三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点e是圆o上的点，b、c分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为 【解析】由b、c分别是劣弧的三等分点知，圆心角aob=boc=cod,又，所以aod=138.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有69.点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】【1】.如图，o是abc的外接圆，ad，ce分别是bc，ab上的高，且ad，ce交于点h，求证：ah=ao (1)如图，在o中，弦acbd，oeab，垂足为e，求证：oe=cd(2)如图，a

4、c，bd是o的两条弦，且acbd，o的半径为，求ab2cd2的值。【2】（第25题）如图，o是abc的外接圆，弦bd交ac于点e，连接cd，且ae=de，bc=ce（1）求acb的度数；（2）过点o作ofac于点f，延长fo交be于点g，de=3，eg=2，求ab的长二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这

5、两个公共点叫做交点.2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。5. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。【例1】

6、（甘肃兰州）如图，四边形内接于o，是o的直径，垂足为，平分decboa（1）求证：是o的切线；（2）若，求的长【解析】（1）证明：连接，平分，decboa，是o的切线（2）是直径，平分，在中，在中，的长是1cm，的长是4cm【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】（广东茂名）如图，o是abc的外接圆，且ab=ac，点d在弧bc上运动，过点d作debc，de交ab的延长线于点e，连结ad、bd（1）求证：adb=e；（2）当点d运动到什么位置时，de是o的切线？请说明理由（3）当ab=5，bc=6时，求o的半径（4分）【解析】

7、（1）在abc中，ab=ac，abc=cdebc，abc=e，e=c又adb=c， adb=e（2）当点d是弧bc的中点时，de是o的切线理由是：当点d是弧bc的中点时，则有adbc，且ad过圆心o又debc， aded de是o的切线（3）连结bo、ao，并延长ao交bc于点f， 则afbc，且bf=bc=3又ab=5，af=4设o的半径为，在rtobf中，of=4，ob=，bf=3， 3（4）解得，o的半径是【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】 已知：如图7，点p是半圆o的直径ba延长线上的点

8、，pc切半圆于c点，cdab于d点，若pa：pc1：2，db4，求tanpca及pc的长。图7证明：连结cb pc切半圆o于c点，pcab pp，pacpcb ac：bcpa：pc ab是半圆o的直径，acb90 又cdab abaddb5 【例5】 已知：如图8，在rtabc中，b90，a的平分线交bc于点d，e为ab上的一点，dedc，以d为圆心，db长为半径作d。求证：（1）ac是d的切线； （2）abebac分析：（1）欲证ac与d相切，只要证圆心d到ac的距离等于d的半径bd。因此要作dfac于f（2）只要证acaffcabeb，证明的关键是证befc，这又转化为证ebdcfd。 证

9、明：（1）如图8，过d作dfac，f为垂足 ad是bac的平分线，dbab，dbdf 点d到ac的距离等于圆d的半径 ac是d的切线 （2）abbd，d的半径等于bd， ab是d的切线，abaf 在rtbed和rtfcd中，edcd，bdfd bedfcd，befc abbeaffcac小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类【例6】 已知：如图9，ab为o的弦，p为ba延长线上一点，pe与o相切于点e，c为中点，连ce交ab于点f

10、。求证：分析：由已知可得pe2papb，因此要证pf2papb，只要证pepf。即证pfepef。证明一：如图9，作直径cd，交ab于点g，连结ed， ced90 点c为的中点，cdab，cfgd pe为o切线，e为切点 pefd，pefcfg cfgpfe，pfepef，pepf pe2papb，pf2papb 证明二：如图91，连结ac、ae图91 点c是的中点，cabaec pe切o于点e，peac pfecabc，pefpeaaec pfepef，pepf pe2papb，pf2papb【例7】 （1）如图10，已知直线ab过圆心o，交o于a、b，直线af交o于f（不与b重合），直线l

11、交o于c、d，交ba延长线于e，且与af垂直，垂足为g，连结ac、ad 图10 图101求证：badcag； acadaeaf（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与o相切时，其它条件不变。 请你在图101中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 证明：（1）连结bd ab是o的直径，adb90 agcadb90 又acdb是o内接四边形 acgb，badcag 连结cf badcag，eagfab daefac 又adcf，adeafc ，acadaeaf （2）见图101 两个结论都成立，证明如下： 连结

12、bc， ab是直径，acb90 acbagc90 gc切o于c，gcaabc baccag（即badcag） 连结cf cagbac，gcfgac， gcfcae，acfacggfc，eacgcae acfe，acfaec， ac2aeaf（即acadaeaf）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。【强化练习】【1】（第22题）如图，o的直径ab为10cm，弦bc为5cm，d、e分别是acb的平分线与o，ab的交点，p为ab延长线上一点，且pc=pe（1）求ac、ad的长；（2）试判断直线pc

13、与o的位置关系，并说明理由【2】（第23题）如图，在abc中，c=90，abc的平分线交ac于点e，过点e作be的垂线交ab于点f，o是bef的外接圆（1）求证：ac是o的切线（2）过点e作ehab于点h，求证：cd=hf【3】（第25题）如图，在o中，ab，cd是直径，be是切线，b为切点，连接ad，bc，bd（1）求证：abdcdb；（2）若dbe=37，求adc的度数【4】（第24题）如图，ab为o的直径，pd切o于点c，交ab的延长线于点d，且d=2cad（1）求d的度数；（2）若cd=2，求bd的长【5】（第27题）如图，rtabc中，abc=90，以ab为直径作半圆o交ac与点d，

14、点e为bc的中点，连接de（1）求证：de是半圆o的切线（2）若bac=30，de=2，求ad的长三、圆与圆的位置关系的考查基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示【例1】（甘肃兰州）如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（）a内含b相交c相切d外离【解析】图中

15、的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选d.【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：如果设两圆的半径为 、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表【例2】（赤峰市）如图（1），两半径为的等圆o1和o2相交于两点，且o2过点过点作直线垂直于，分别交o1和o2于两点，连结（1）猜想点与o1有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成

16、立请给出证明o2o1nmba图（1）o2o1nmba图（2）o2o1nmba图（1）【解析】解：（1）在上证明：o2过点，又o1的半径也是，点在o1上（2）是等边三角形证明：，o2o1nmba图（2）是o2的直径，是o1的直径，即，在上，在上连结，则是的中位线，则是等边三角形（3）仍然成立证明：由（2）得在o1中弧mn所对的圆周角为在o2中弧mn所对的圆周角为当点在点的两侧时，在o1中弧mn所对的圆周角，在o2中弧mn所对的圆周角，是等边三角形注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且o2过点，构建对称性知，o1过o2，再证nab是等

17、腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的开放性四、圆与多边形的计算考查基础知识链接：1、圆与正多边形的关系的计算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为，易算得正方形的边长为，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是.【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.【例2】两同心圆，大圆半径为，小圆半径为，则阴影部分面积为【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积

18、为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半4.【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.五、圆的综合性问题的考查基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆m经过原点o，且与轴、轴分别相交于两点（1）求出直线ab的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点m，顶点c在m上，开口向下，且经过点b，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交轴于d、e两点，在抛物线上是否存在点p，使得？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）设ab的函

19、数表达式为 直线ab的函数表达式为 （2）设抛物线的对称轴与m相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点c。又设对称轴与轴相交于点n，在直角三角形aob中，因为m经过o、a、b三点，且m的直径，半径ma=5，n为ao的中点an=no=4，mn=3cn=mc-mn=5-3=2，c点的坐标为（-4，2）设所求的抛物线为则所求抛物线为（3）令得d、e两点的坐标为d（-6，0）、e（-2，0），所以de=4又ac=直角三角形的面积假设抛物线上存在当故满足条件的存在它们是【点评】 本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例2】（第27

20、题）如图，在o的内接abc中，acb=90，ac=2bc，过c作ab的垂线l交o于另一点d，垂足为e设p是上异于a，c的一个动点，射线ap交l于点f，连接pc与pd，pd交ab于点g（1）求证：pacpdf；（2）若ab=5，=，求pd的长；（3）在点p运动过程中，设=x，tanafd=y，求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）圆的综合题（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角dpf，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得dpf=apc，则结论易证（2）求p

21、d的长，且此线段在上问已证相似的pdf中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，则pd可求（3）因为题目涉及afd与也在第一问所得相似的pdf中，进而考虑转化，afd=pca，连接pb得afd=pca=pbg，过g点作ab的垂线，若此线过pb与ac的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形abc相似可用ag表示pbg所对的这条高线但是“此线是否过pb与ac的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点p，观察我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过pb与ac的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线

22、作法，先做垂线，得交点h，然后连接交点与b，再证明hbg=pca=afd因为c、d关于ab对称，可以延长cg考虑p点的对称点根据等弧对等角，可得hbg=pca，进而得解题思路（1）证明：，dpf=180apd=180所对的圆周角=180所对的圆周角=所对的圆周角=apc在pac和pdf中，pacpdf（2）解：如图1，连接po，则由，有poab，且pab=45，apo、aef都为等腰直角三角形在rtabc中，ac=2bc，ab2=bc2+ac2=5bc2，ab=5，bc=，ac=2，ce=acsinbac=ac=2=2， ae=accosbac=ac=2=4，aef为等腰直角三角形，ef=ae

23、=4，fd=fc+cd=（efce）+2ce=ef+ce=4+2=6apo为等腰直角三角形，ao=ab=，ap=pdfpac，pd=（3）解：如图2，过点g作ghab，交ac于h，连接hb，以hb为直径作圆，连接cg并延长交o于q，hccb，ghgb，c、g都在以hb为直径的圆上，hbg=acq，c、d关于ab对称，g在ab上，q、p关于ab对称，pca=acq，hbg=pcapacpdf，pca=pfd=afd，y=tanafd=tanpca=tanhbg=hg=tanhagag=tanbacag=，y=x本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的

24、解题技巧需要长久的磨练总结总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路【例3】（第24题）如图，已知：在矩形abcd的边ad上有一点o，oa=，以o为圆心，oa长为半径作圆，交ad于m，恰好与bd相切于h，过h作弦hpab，弦hp=3若点e是cd边上一动点（点e与c，d不重合），过e作直线efbd交bc于f，再把cef沿着动直线ef对折，点c的对应点为g设ce=x，efg与矩形abcd重叠部分的面积为s（1）求证：四边形abhp是菱形；（2）问efg的直角顶点g能落在o上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（3）求s与x之间的函数关系式，并直接写出fg与o

25、相切时，s的值第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有专题：压轴题分析：（1）连接oh，可以求出hod=60，hdo=30，从而可以求出ab=3，由hpab，hp=3可证到四边形abhp是平行四边形，再根据切线长定理可得ba=bh，即可证到四边形abhp是菱形（2）当点g落到ad上时，可以证到点g与点m重合，可求出x=2（3）当0x2时，如图，s=segf，只需求出fg，就可得到s与x之间的函数关系式；当2x3时，如图，s=sgefssgr，只需求出sg、rg，就可得到s与x之间的函数关系式

26、当fg与o相切时，如图，易得fk=ab=3，kq=aqak=22+x再由fk=kq即可求出x，从而求出s解答：解：（1）证明：连接oh，如图所示四边形abcd是矩形，adc=bad=90，bc=ad，ab=cdhpab，anh+bad=180anh=90hn=pn=hp=oh=oa=，sinhon=hon=60bd与o相切于点h，ohbdhdo=30od=2ad=3bc=3bad=90，bda=30tanbda=ab=3hp=3，ab=hpabhp，四边形abhp是平行四边形bad=90，am是o的直径，ba与o相切于点abd与o相切于点h，ba=bh平行四边形abhp是菱形（2）efg的直角

27、顶点g能落在o上如图所示，点g落到ad上efbd，fec=cdbcdb=9030=60，cef=60由折叠可得：gef=cef=60ged=60ce=x，ge=ce=xed=dcce=3xcosged=x=2ge=2，ed=1gd=og=adaogd=3=og=om点g与点m重合此时efg的直角顶点g落在o上，对应的x的值为2当efg的直角顶点g落在o上时，对应的x的值为2（3）如图，在rtegf中，tanfeg=fg=xs=gefg=xx=x2如图，ed=3x，re=2ed=62x，gr=geer=x（62x）=3x6tansrg=，sg=（x2）ssgr=sgrg=（x2）（3x6）=（x

28、2）2sgef=x2，s=sgefssgr=x2（x2）2=x2+6x6综上所述：当0x2时，s=x2；当2x3时，s=x2+6x6当fg与o相切于点t时，延长fg交ad于点q，过点f作fkad，垂足为k，如图所示四边形abcd是矩形，bcad，abc=bad=90aqf=cfg=60ot=，oq=2aq=+2fka=abc=bad=90，四边形abfk是矩形fk=ab=3，ak=bf=3xkq=aqak=（+2）（3x）=22+x在rtfkq中，tanfqk=fk=qk3=（22+x）解得：x=3032，s=x2=（3）2=6fg与o相切时，s的值为6点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、

29、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强【例4】（第23题）如图1，在o中，e是弧ab的中点，c为o上的一动点（c与e在ab异侧），连接ec交ab于点f，eb=（r是o的半径）（1）d为ab延长线上一点，若dc=df，证明：直线dc与o相切；（2）求efec的值；（3）如图2，当f是ab的四等分点时，求ec的值圆的综合题.（1）连结oc、oe，oe交ab于h，如图1，由e是弧ab的中点，根据垂径定理的推论得到oeab，则hef+hfe=90，由对顶相等得hfe=cfd，则hef+cfd=90，再由d

30、c=df得cfd=dcf，加上oce=oec，所以oce+dce=hef+cfd=90，于是根据切线的判定定理得直线dc与o相切；（2）由弧ae=弧be，根据圆周角定理得到abe=bce，加上feb=bec，于是可判断ebfecb，利用相似比得到efec=be2=（r）2=r2；（3）如图2，连结oa，由弧ae=弧be得ae=be=r，设oh=x，则he=rx，根据勾股定理，在rtoah中有ah2+x2=r2；在rteah中由ah2+（rx）2=（r）2，利用等式的性质得x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，则he=rr=r，在rtoah中，根据勾股定理计算出ah=，由oeab得ah=bh

31、，而f是ab的四等分点，所以hf=ah=，于是在rtefh中可计算出ef=r，然后利用（2）中的结论可计算出ec（1）证明：连结oc、oe，oe交ab于h，如图1，e是弧ab的中点，oeab，ehf=90，hef+hfe=90，而hfe=cfd，hef+cfd=90，dc=df，cfd=dcf，而oc=oe，oce=oec，oce+dce=hef+cfd=90，occd，直线dc与o相切；（2）解：连结bc，e是弧ab的中点，弧ae=弧be，abe=bce，而feb=bec，ebfecb，ef：be=be：ec，efec=be2=（r）2=r2；（3）解：如图2，连结oa，弧ae=弧be，ae

32、=be=r，设oh=x，则he=rx，在rtoah中，ah2+oh2=oa2，即ah2+x2=r2，在rteah中，ah2+eh2=ea2，即ah2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，he=rr=r，在rtoah中，ah=，oeab，ah=bh，而f是ab的四等分点，hf=ah=，在rtefh中，ef=r，efec=r2，rec=r2，ec=r本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题【例5】（第26题12分）如图，o1与o2外切与点d，直线l与两圆分别相切于点a、b，与直线o1o2相交于点m，且tanam01=，md=4（1）求o2的半径；（2）求adb内切圆的面积；（3）在直线l上是否存在点p，使mo2