复合函数与隐函数的偏导数

1、1,复合函数的求导法则,第四节 多元复合函数的 求导法则,第八章 多元函数微分法及其应用,2,一、复合函数的求导法则(链导法则),证,1.,的情形.,定理,且,其导数可用下列公式计算:,也可微,3,可微,由于函数,4,复合函数的中间变量多于两个的情况.,定理推广,导数,变量树图,称为,全导数,(又称链导公式).,5,?,项数,问:,每一项,?,中间变量,函数对中间变量的偏导数,该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).,的个数.,函数对某自变量的偏导数之结构,6,例 设 求,这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.,法二,y,u,v,x,解,法一,可用取对数求导法计算.,7,复合函数为,则

2、复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,可微,2.,的情形.,8,变量树图,9,解,例,10,中间变量多于两个的情形,类似地再推广,复合函数,在对应点,的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,11,例 设,解,求,12,即,两者的区别,区别类似,3.,的情形.,把复合函数,中的y,看作不变而对x的偏导数,把,中的u及y,看作不变,而对x的偏导数,13,解,变量树图,例,14,已知f(t)可微,证明 满足方程,提示,t, y 为中间变量, x, y 为自变量.,引入中间变量,练习,则,15,多元复合函数求导法则 (链导法则),三、小结,(大体分三种情况),求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导

3、,16,一个方程的情形,第五节 隐函数的求导公式,第八章 多元函数微分法及其应用,17,一、一个方程的情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,18,隐函数存在定理1,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),(3),恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边关于x求导,由全导数公式,得,19,或简写:,于是得,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,20,如,方

4、程,记,(1),的邻域内连续;,所以方程在点,附近确定一个有连续导数、,且,隐函数存在定理1,的隐函数,则,(2),(3),21,解,令,则,例,22,则方程,内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的,并有,具有连续偏导数;,若三元函数,的某邻域内,函数,它满足条件,在点,在点,2.,由三元方程,确定二元隐函数,隐函数存在定理2,的某一邻域,(1),(2),(3),满足:,23,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得,是方程,所确定的隐,设,函数,则,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,24,例,解,则,令,25,将,再一次对y求偏导数,得,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,26,分析,在某函数(或方程)表达式中,自变量互换后,练习,仍是原来的函数 (或方程),称函数,(或方程),用对称性可简化计算.,解,将方程两边对x,求偏导,得,关于自变量对称,将任意两个,27,再将上式两边对x求偏导,得,由x, y的对称性知,28,2002年考研数学(四),7分,有连续偏导数,且,解,法一,则,用公