高中数学 第三章 概率 3 - 2 - 1 古典概型的特征和概率计算公式

1、高中数学 第三章 概率 3 - 2 - 1 古典概型的特征和概率计算公式 21 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位 学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察

2、类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神 三维目标 1根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的

3、两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神 2鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：p(a)事件a包含的可能结果数 的使用条件古典概型，体现了化归的重要思想掌握列举法， 试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机

4、事件的概率 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件 (2)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标有号码1,2,3，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1,2,3，10. 思考讨论根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？ 为此我们学习古典概型，教师板书课题 思路2.将扑克牌(52张)反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试

5、验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确有更好地解决方法吗？把“抽到红心”记为事件b，那么事件b相当于“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心k”这13种情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52种情况的可能性是相等的所以，当出现红心是“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心k”这13种情形之一时，事件b131 就发生，于是p(b).为此我们学习古典概型 524 1 推进新课 新知探究 提出问题 试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次(最好是整十数)，最后由课代表汇总； 试验二

6、：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录出现”1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次(最好是整十数)，最后由课代表汇总 1用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？ 2根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？ 3什么是基本事件？基本事件具有什么特点？ 4什么是古典概型？它具有什么特点？ 5对于古典概型，应怎样计算事件的概率？ 活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，讨论可能l 3根据以前的学习，上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”

7、“3点”“4点”“5点”和“6点”，它们都是随机事件，像这类随机事件我们称为基本事件(elementary event)；它是试验的每一个可能结果 基本事件具有如下的两个特点： 任何两个基本事件是互斥的； 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 4在一个试验中，如果： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型 如图1，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是

8、古典概型吗？为什么？ 图1 因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件 如图2，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环你认为这是古典概型吗？为什么？ 2 图2 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件 5古典概型，随机事件的概率计算 对于试验一，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即 p(“正面朝上”)p(“反面朝上”)， 由概率的加法公式，得

9、p(“正面朝上”)p(“反面朝上”)p(必然事件)1. 1 因此p(“正面朝上”)p(“反面朝上”)， 2 1“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 即p(“出现正面朝上”). 2基本事件的总数 试验二中，出现各个点的概率相等，即 p(“1点”)p(“2点”)p(“3点”)p(“4点”)p(“5点”)p(“6点”) 反复利用概率的加法公式，我们有 p(“1点”)p(“2点”)p(“3点”)p(“4点”)p(“5点”)p(“6点”)p(必然事件)1， 所以p(“1点”)p(“2点”)p(“3点”)p(“4点”)p(“5点”)p(“6点”)1. 6 进一步，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个

10、事件的概率，例如， 11131 p(“出现偶数点”)p(“2点”)p(“4点”)p(“6点”)， 66662 3“出现偶数点”所包含的基本事件的个数 即p(“出现偶数点”). 6基本事件的总数 因此根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式 事件a包含的可能结果数 为p(a). 试验的所有可能结果数 在使用古典概型的概率公式时，应该注意： 要判断该概率模型是不是古典概型； 要找出随机事件a包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数 下面我们看它们的应用 应用示例 思路1 例1 在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上有2个装质量盘的箱子，

11、每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5 kg,5 kg,10 kg和20 kg，每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器 (1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果 (2)计算选取的2个质量盘的总质量分别是下列质量的概率： 20 kg；30 kg；不超过10 kg；超过10 kg. (3)如果一个人不能拉动超过22 kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？ 解：(1)第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意 3 选取我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果例如，我们用(10,2

12、0)来表示： 在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg，从第二个箱子取的质量盘是20 kg.下表列出了所有可能结果 从表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型 (2) 用a表示事件“选取的2个质量盘的总质量是20 kg”，因为总质量为20 kg的所有可能结果只有1种，因此，事件a的概率 1 p(a)0.062 5. 16 l 用d表示事件“选取的2个质量盘的总质量超过10 kg”总质量超过10 kg，即总质量为12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,25

13、 kg, 30 kg,40 kg之一，从表中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件d的概率 123 p(d)0.75. 164 (3)用e表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过了22 kg.总质量超过22 kg是指总质量为22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg之一，从表中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器的概率 7 p(e)0.44. 16 点评：在这个例子中，我们用列表的方法列出了所有可能的结果在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的一种方法 例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从a，b，c，d四个选项中选择一个正确

14、答案如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？ 4 活动：学生阅读题目，搜集信息，交流讨论，教师引导，解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型如果学生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件等可能性，因此，只有在假定学生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型 解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择a、选择b、选择c、选择d，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是a，b，c，d的可能性是相等的从 “答对”所包含的基本事件的个数1 而由古典概型的概率计算

15、公式，得p(“答对”) 基本事件的总数4 0.25. 点评：古典概型解题步骤： (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； (3)求出基本事件总数n和事件a所包含的结果数m； (4)用公式p(a)求出概率并下结论. 变式训练 1抛掷两枚均匀硬币，求出现两个正面朝上的概率 解：试验的所有可能结果为：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型 1 故出现两个正面朝上的概率为. 4 2一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率 解法一：设a表示“出现点数之和为奇数”，用(i，j)记“第一颗骰子出现i点，第二颗骰子出

16、现j点”，i，j1,2，6.显然出现的36个基本事件的概率是相等的，其中a1 包含的基本事件个数为k333318，故p(a). 2 解法二：若把一次试验的所有可能结果取为：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，则它们发生的概率相等基本事件总数n4，a包含的基本事件个数k2，故p(a)1. 2 解法三：若把一次试验的所有可能结果取为：点数和为奇数，点数和为偶数，两者 1 发生的概率也相等，基本事件总数n2，a所包含基本事件数为1，故p(a). 2 点评：找出所有的基本事件，必须是等概率的解法二中倘若解为：(两个奇)，(一奇 1 一偶)，(两个偶)当作基本事件组成样本空间，则得出p(a)，错的原因就是它不是等概3 11 率的例如p(两个奇)，而p(一奇一偶).本例又告诉我们，同一问题可取不同的基本 42 事件解答. 例3 同时掷两个骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果？ (2)其中向上的点