高三数学第二轮复习数列解析版

1、高三数学第二轮复习数列解析版 高三第二轮复习资料(数列) 数列（5课时） 一【本章知识结构】 等差数列的 性质 有等 差 数 列 正 关通项及 整数 列 的 概 念 前n项和 数应 等 比 数 列 用等比数列的 集 性质 二【高考要求】 1了解数列有关概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. 2理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题 三【热点分析】 1数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n

2、项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2有关数列题的命题趋势： （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点； （2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强等差与等比数列综合的考查； 3熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问

3、题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美 4对客观题，应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： 借助特殊数列； 灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5在数列的学习中加强能力训练 数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的

4、重视.因此，在平时要加强对能力的培养。 6这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降. 四【复习建议】 第 1 页 共 xxxx年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 五【典型例题】 （一）等差与等比数列定义与性质 例1数列an的前n项和sn?n2?4n，则a1?a2?an= 【解】an?sn?sn?1?2n?5， 当n?3

5、时，an?0，a1?a2?an?(a1?an)?4n?n2， 2当n?3时，tn?a1?a2?an?a1?a2?a3?an?sn?2s2?n?4n?8 例2设?sn?是等差数列?an?的前n项和，已知s6?36，sn?270，sn?6?144?n?6?，则n 等于（ ） a17 b18 c19 d20 【解】因为sn?270，sn?6?144，所以an?an?1?an?5?126，又因为s6?36，所以 a1?an?27，sn?n(a1?an)?270， 解得：n?20 2例3已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为an和bn，且整数的正整数n的个数是 （ ） a2 b3 c4 【解】由 a

6、n7n?45a，则使得n为 ?bnn?3bn d5 aa14n?387n?19an7n?45a?得：n?2n?1 ?，要使n为整数，则需 ?2n?2n?1bnn?3bnbnb2n?17n?1912?7?为整数，所以n?1,2,3,5、11，则有五种 n?1n?1例4无穷等差数列an的各项均为整数，首项为a1，公差为d，sn是其前项和，3,15,21是其中的三项，给出下列命题： （a）数列an一定是递增数列； （b）对于任意满足条件的d，存在a1，使得75一定是数列an中的一项； （c）对于任意满足条件的d，存在a1，使得60一定是数列an中的一项； （d）存在满足条件的数列an，使得对任意的n

7、?n，s2n?4sn成立 【解】设3,15,21分别为数列an的第m,n,t项，则d?*am?an1812?，d?； t?mm?nm?nd?6，所以公差d可能为?1；?2；?3；?6，所以a不正确；75?am?(s?m)d， t?n第 2 页 共 20 页 高三第二轮复习资料(数列) 7257?z成立，所以b正确；60?am?(s?m)d，s?m?不一定为整数，所以cdd不正确；由s2n?4sn得2na1?n(2n?1)d?4na1?2n(n?1)d?d?2a1成立，所以d正确 d为实数，例5.设a1，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为sn，满足s5s6?15?0， 则d的取值范围

8、是_ . 【解】因为s5s6?15?0，(5a1?10d)2?d2?8?0，则d的取值范围(?,?22)?(22,?) s?m?2【等于不等的转化】；另解：2a1?9a1d?10d2?1?0（确定主元a1）?0得 例6已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1?b1?5， ，则数列cn的前n项和sn? a1,b1?n*设cn?abn（n?n*） 【解】设a1?1，b1?4，an?n，bn?n?3，则c1?ab1?a4?4，cn?bn?n?3 n(4?n?3)n(n?7)? 【特殊到一般的转化】 22例7设1?a1?a2?a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的

9、等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_ sn?【解】1?a1?a2?a1q?a2?1?a1q2?a2?2?a1q3，?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2 q3?a2?2?3，而a2?1,a1?1,?a2,a2?1,a2?2的最小值分别为1、2、3 ?qmin?33。 1?2a,0?a?n?6?n2例8数列sn是满足an?1?，若a1?，则a2012的值为 7?2a?1,1?a?1nn?2?5366【解】a2?，a3?，a4?，所以数列的周期为3， a2012?a2? 7777n?1*【练习1】设数列2按“第n组有n个数(n?n)”的规则分组如下：（1），（2

10、，4），（8，16， 32），则第100组中的第一个数（ ） a24951 5051 5050b24950 c2d2 4950【解】前99共有1?2?3?99?4950，第100组中的第一个数2 【练习2】等比数列 1公比q?,用?n表示它的前n项之积?n?a1?a2?an， ?an?中，a1=512， 2?1,?2?中最大的是 【解】an?(?1)n210?n，?9最大 是 【解】a2a4?2a3a5?a4a6?25得：a1q(q?1)?5，则a1?22【练习3】已知等比数列?an?中，an?1?an?0,且a2a4?2a3a5?a4a6?25,则a1的取值范围 55? （q?1） 222q

11、(q?1)【练习4】若数列?an?(an?r)对任意的正整数m,n满足am?n?ama,n且a3?22,那么 a12? 12【解】令m?1，则an?1?ana1?a1?q，a3?a1q2?22?q3?22，a12?a?64 第 3 页 共 20 页 高三第二轮复习资料(数列) 【练习5】由1,3,5,?,2n?1,?构成数列an，数列?bn?满足b1?2,当n?2时数列an中第bn?1项等于数列?bn?的第n项，即bn?abn?1，则bn? . bn?1?2n?1，则bn?2n?1?1 【练习6】一个数字生成器，生成规则如下：第一次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成数x生成两个数，

12、一个为?x，另一个为x?3，设第n次生成的数的个数为an，则数列【解】因为bn?abn?1，所以bn?1?2(bn?1?1)?2bn?1?1，则bn?1?2(bn?1?1) an的前n项和sn等于 ，若x?1，前n次生成所有数中的个数为tn，则tn? 【解】an?2n?1，sn?2n?1；t1?1，t2?3，不妨设第n次生成的数的最大值为an，最小值为bn，当n?3时，an?1?an?3，bn?an?bn?3，于是每进行一次生成，所有数的取值区间增大6，又由生成数中不存在整除3的数，所有不同的数的个数为4，观察知当n?3时， 【归纳猜想】 tn为公差为4的等差数列，所有tn?4n?6 （二）等

13、差与等比数列综合 例1数列an满足a1?1，an,an?1是方程x2?2nx?bn?0的两个根，则数列?bn?的前2n项和为s2n? ，an的前n项和tn? 【解】an?an?1?2n，anan?1?bn，an?1?an?2?2n?2，得an?2?an?2，a2?1 a2k?a2?2(k?1)?2k?1，a2k?1?a1?2(k?1)?2k?1，an?n?1(n?2k) ?n(n?2k?1) b2n?a2na2n?1?4n2?1，b2n?1?a2n?1a2n?4n2?4n?1，b2n?1?b2n?a2n?1a2n?8n2?4n s2n?(b1?b2)?(b3?b4)?(b2n?1?b2n)?

14、?4n(n?1)(2n?1)?2n(n?1) 32n(n?1)(4n?1) 【并项求和】 3t2k?a1?a2?a3?a4?a2k?1?a2k?21?3?(2k?1)?2k2 n2n2?12tn?（n为偶数），t2k?1?t2k?a2k?2k?(2k?1)，tn?（n为奇数） 22(n?0)?1b为不等于1的常数，例2已知f(x)?bx?1是关于x的一次函数，且g(n)? ?f(g(n?1)(n?1)*设an?g(n)?g(n?1)(n?n)，则数列?an?为（ ） a等差数列 b等比数列 c递增数列 d递减数列 【解】a1?g(1)?g(0)?f(g(0)?g(0)?b?1?1?b，当n?2

15、时，an?g(n)?g(n?1) ?fg(n?1)?fg(n?2)?bg(n?1)?g(n?2)?ban?1，所以?an?是等比数列 例3已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为27的等差数列?an?满足an?若f(a1)?f(a2)?f(a27)?0，则当k=_时f(ak)?0. ?且公差d?0.，?， 22?第 4 页 共 20 页 高三第二轮复习资料(数列) 【解】函数f(x)?sinx?tanx在 (?因为a1?a27?a2?a26，)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，22?2a14， f(a14)?0，所以当k?14时，f(ak)?0. ? 例4已知f(x)是定义在

16、r上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b?r，满足f(a?b)?af(b) f(2n)f(2n)?bf(a),f(2)?2,an?(n?n),bn?(n?n)考查下列结论： nn2f(0)?f(1)； f(x)为偶函数； 数列?an?为等比数列； ?bn?为等差数列. 其中正确的是 【解】f(0)?f(1)?0；设a?1,b?x，因为f(1)?f(?1)?(?1)?2f(?1)， 则f(?1)?0，所以f(?x)?f(x)?xf(?1)?f(x)为奇函数； f(2n)?2f(2n?1) ?2n?1f(2)?2f(2n?1f(2n)f(2n?1)f(2n)?n， ?1，则?bn?为等差数列； )

17、?2?nnn?1222nf(2n)?2n则数列?an?为等比数列 nn?1x2?x?n,x?n*)，f(x) 的最小值为an，(x?r，例6设函数f(x)?2且x?最大值为bn，2x?x?1记cn?(1?an)(1?bn)，则数列cn （ ） a是公差不为0的等差数列 c是常数列 b是公比不为1的等比数列 d不是等差数列，也不是等比数列 x2?x?n?(y?1)x2?(y?1)x?y?n?0， 因为?(y?1)2 【解】由y?f(x)?2x?x?14n?6?4(y?1)(y?n)?0，则3y2?(4n?6)y?4n?1?0，所以得：an?bn?， 34n?14n?64n?14anbn?，cn?(1?an)(1?bn)?1?【函数方程思想】 3333例7设an是各项为正数的无穷数列，ai是边长为ai,ai?1的矩形面积（i?1,2,），则an为等 比数列的充要条件为（ ） aan是等比数列。 ,a2n?1,或a2,a4,a2n,是等比数列。 ca1,a3,a2n?1,和a2,a4,a2n,均是等比数列。 da1,a3,a2n?1,和a2,a4,a2n,均是等比数列，且公比相同。 aa【解