高数各章综合测试题与答案

1、高数各章综合测试题与答案 第十一章 无穷级数测试题 一、单项选择题 1、若幂级数 5n在处收敛，则该幂级数在处必然( ) a(x?1)x?1x?n2n?1?(a) 绝对收敛; (b) 条件收敛; (c) 发散; (d) 收敛性不定. 2、下列级数条件收敛的是( ). (?1)nn; (b) (a) ?n?12n?10?n?1?(?1)n?1n3; (c) ?(?1)n?1?n?11(); (d) 2n?(?1)n?1n?1?3. n3、若数项级数 ?an?1?n收敛于s，则级数 ?an?1n?an?1?an?2?( ) (a) s?a1; (b) s?a2; (c) s?a1?a2; (d)

2、s?a2?a1. 4、设a为正常数，则级数 ?sinna3?n2?( ). n?n?1?(a) 绝对收敛; (b) 条件收敛; (c) 发散; (d) 收敛性与a有关. 5、设f(x)?x,0x?1，而s(x)?12?bn?1nsinnx,?x?， 其中bn?21f(x)sinnx,(n?1,2,)，则s(?)等于( ) ?021111(a) ?; (b) ?; (c) ; (d) . 4224 二、填空题 1、 设 11u?4(u?)?( ) ，则?nnn22n?1n?1?2、 设 ?a?x?1?nn?1?n?1的收敛域为?2,4?，则级数 ?na?x?1?nn?1?n的收敛区间为( ) 3

3、、 设f(x)?2,?1?x0，则以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于( ) 3x,0?x1?2a0?ancosnx?bnsinnx?, 4、 设f(x)?x?x,?2n?1则b3?( ) (?1)n2n5、级数?的和为( ) n?1?2n?1?!?三、计算与应用题 1、求级数 ?1nx?3;的收敛域 ?nn?3n?1?2、求 1的和 ?2nn?1?2n?1?3、将函数f(x)?ln1?x?2x2展开为x的幂级数，并求f?(n?1)?0? n2?1nx的和函数 4、求?n2n!n?0?n?1x5、 已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?xe，n为正整数，且fn(1)?e，求函数项级数n

4、?f?x?的和函数. nn?1?6、 设有方程xn?nx?1?0，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根x0，并证明当 ?收敛. ?1 时，级数?xnn?1?四、证明题 设an?40tannxdx 1?an?an?2? ?n?1nan收敛 ?nn?1?（1） 求 （2） 试证：对任意常数?0，级数 ?111提示：?an?an?2?，?an?an?2?1. nn?n?1?n?1n?1111?an,所以an?,?1 n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2第十一章 无穷级数测试题答案与提示 一、 1、a； 2、d；3、b；4、c；5、b. 二、 1、1；2、?4,2?；3、三、 1、答案

5、：?0,6?. 2、答案： 32；4、；5、cos1?sin1. 2353?ln2 84?xn1提示：原式为级数?2的和函数在x?点的值. 2n?1?n?1?1?xn1?xnxn1?xn1?xn而?2,分别求出?和?的和函数即可. ?2n?2n?12n?2n?12n?2n?12n?2n?1n?2?n?1?(?1)n?2n?1n?1?11?x,x?,? 3、答案：f(x)?n?1?22?n?0? f(n?1)?1(?1n)?n2. ?0?n!?n?1提示: f(x)?ln1?x?2x2?ln?1?2x?ln?1?x? xn2?1n?x2x?2x?1?e?1,?x? 4、答案：?nn?02n!?4

6、2?n2?1n?n?x?1?x?x?提示：?n?， n?02n!n?1?n?1?!?2?n?1n!?2?nn?11nx而xe?x,e?xn n?1?n?1?!n?0n!x?5、答案： ?f?x?eln?1?x?,xnn?1x?1,1? 提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为fn(x)? xxe n?n?1?xxxxxfn?x?e?e?，记s(x)?，则可得s(x)?ln(1?x) nn?1nn?1n?1n?n6、提示:设fn(x)?x?nx?1,则fn?(x)?0,?x?0?,故fn(x)在?0,?内最多有一个正根. 而fn(0)?1?0,fn(1)?n?0,所以有唯一正根x0.由方程xn?n

7、x?1?0知, n?1?x01?0?x0?,故当?1 时，级数?xn收敛. nnn?1?111四、提示：?an?an?2?，?an?an?2?1. nn?n?1?n?1n?1111?an,所以an?,?1 n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2 第十章 曲线积分与曲面积分测试题 一、单项选择题 1、已知 ?x?ay?dx?ydy为某二元函数的全微分，则a等于( ) 2?x?y?(a) ?1; (b) 0; (c) 1; (d) 2. 2、设闭曲线c为x?y?1的正向，则曲线积分 ?c?ydx?xdy的值等于( ) x?y (a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 6. 3、

8、设?为封闭柱面x2?y2?a?20z3?，其向外的单位法向量为 n?co?s,c?os2?,，则co?s?xcos?ycos?zcos?ds等于( ) ?22(a) 9a; (b) 6a; (c) 3a; (d) 0. ?x2?y2?z2?a24、设曲线c为?，则?xds等于( ) x?y?z?0?c 2 (a) 3a; (b) 0; (c) a; (d) 2 12a. 35、设?为下半球z?a2?x2?y2的上侧，?是由?和z?0所围成的空间闭区域，则 ?zdxdy不等于( ) ? (a) ?dv; (b) a?20d?a0a2?r2rdr; (c) ?二、填空题 ?20d?0a2?r2rd

9、r; (d) ?z?x?y?dxdy. ?21、设c是圆周x?y?a222，则 ?x?y?ds?( ) c222、设质点在力f?y?3x?i?2y?x?j的作用下沿椭圆4x?y?4的逆时针方向运动 一周，则f所做的功等于( ) 3、设?是平面x?y?z?6被圆柱面x?y?1所截下的部分，则4、设?是球面x?y?z?1的外侧，则 22222?zds等于( ) ?x?x2?y?z2223?dydz等于( ) 5、设 ?2xf(x)ydx?f(x)dy与路径无关，其中f?(x)连续且f(0)?0，则f(x)?( ) 2?1?xcysiny?b?x?y?dx?ecosy?ax?dy，其中a,b为正常数

10、，l为从点 三、计算与应用题 1、求i?elxa?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点o?0,0?的弧. ?x2?y2?z2?a22、计算i?yds，其中l为圆周?. l?x?y?z?02i3、在变力f?yz?zx?jx的y作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 x2y2z2?1上第一卦挂线的点m?,?,?，问?,?,?取何值时，力f所做的功w最a2b2c2大？并求出w最大值. x2y2?z2?1的上半部分，点p?x,y,z?s，为s在点p处的切平4、设s为椭球面22面，?x,y,z?为点o?0,0,0?到平面的距离，求 ?szds. ?x,y,z?2y25、求i?xzdydz?2zydzdx?3xydxdy，其中?