高等数学中有理分式定积分解法总结

1、高等数学中有理分式定积分解法总结 由十个例题掌握有理分式定积解法 【摘要】 当被积函数为两多项式的商 p(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，q(x)在此由易到难将其解法进行整理、总结 【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商 p?x?称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式p?x? q?x?与分母多项式q?x?之间无公因式，当分子多项式p?x?的次数小与分母多项式q?x?，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 3x4?2x2例1.1 ?dxx2

2、?13x2?x2?1?x2解 原式?dxx2?1x22 ?3xdx?2dxx?11? ?3?x2dx?1?2?dx?x?1?1 ?3?x2dx?dx?2dxx?1 ?x3?x?arctanx?c 2x4?x2?3dx 例1.2 ?2x?1解 原式?2x2?x2?1?3?x2x?122dx 1x2 ?2?xdx?3?2dx?2dx x?1x?1 1 ?23x?4arctanx?x?c 3总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： x21?dx?1?dx 2?x2?1?x?1?对于真分

3、式 p?x?，若分母可分解为两个多项式乘积q?x?=q1?x?q2?x?，且q1?x?，q?x?p?x?p?x?p2?x?，上述过程称为 ?1q?x?q1?x?q2?x?q2?x?无公因式，则可拆分成两个真分式之和： 把真分式化为两个部分分式之和.若q1?x?或q2?x?再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、式的积分容易求的 p1?x?x?a?k、 p2?x?x2?px?q?l等三类函数，则多项 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 (ax?b)mdx 2.1 类型一 ?kcx例2.1.1 ?x?1?x23dx x3?3x2?3

4、x?1解 原式=?dx 2x11 =?xdx?3?dx?3?dx?2dx xx11 =x2?3x?3inx?c 2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数， 然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 ?cxk?ax?b?mdx 2 例2.2.1 ?x?2?dx 3x2解 令x+2=t,则x?t?2，?有dx?dt 原式=?dxt3t2?4t?4 =?dt3t111 =?dt?4?2dt?4?3dtttt42 =int+-2+c tt42 =inx?2?cx?2?x?2?2总结：当被积函数形如时解法求解 ?t?2?2?ax?b?cxkm(ax?b)md

5、x，将其用换元法转换为?dx，再按照后者kcx2.3 类型三 ?p?x?ax2?bx?c?ldx 3 例2.3.1 ? 原式=?x3?x2?2x?2?222dxx3?x?1?1? 设 x-1=tant,x=tant+1,dx=set2tdt 上式=?dt?1+tant?23setttan3t?3tan2t?3tant?1 =?dt2sett =?sin3tcos?1t?3sintcost?3sin2t?cos2t?dt =-?1?cos2t? costd?cost?+3sin2tdt?dt?cos2tdt?4 set2tdt1 =-incost+cos2t+2t+2sintcost21 ?ta

6、nt=x-1,?cost=,sint=2?x?1?1x?1?x?1?2 ?1112x?2 ?上式=inx2?2x?2?2?2arctan?x?1?2?c22x?4x?4x?2x?2 例2.3.2 ?x?1dx x?2x?321?2x?2?22 =?2 dxx?2x?3111 =?2 d?x2?2x?3?-2?dx 22x?2x?3?x?1?21?x?1? = inx2?2x?3-2arttan?+c 2?2?总结：当被积函数分母含有ax2+bx+c时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如?ax2?bx+c?时，l可将其变形为t2?x?+1或者是1-t2?x?,然后利用三角函数恒等变形sin2x+

7、cos2x=1和1+tan2x=set2x将t2?x?降次，便于计算 . 3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分 4 例3.1 ?2x+3dxx2?3x?102x+3解法1 ?2dxx?3x?101 =?2d?x2?3x?10?x?3x?10 =inx2?3x?10+c解法2 ?2x+3dxx2?3x?102x+32x+3ab 2=+x?3x?10?x+5?x?2?x?5x?2 =?a?b?x?5b?2a?1?1x?5x?2?x?5?x?2?1?1 ?原式=?dxx?5x?2? =inx2?3x?10+c 总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和

8、的形式，然后用基本积分公 式进行运算. x?2dx?2 例3.2 ?2x?1?x?x?1? x?2?原式=?2?dx2x?1x?x?1?112x?1?12dx =?d?2x?1?-?222x?1x?x?1 111112 =?d?2x?1?2d?x?x?1?dx22x?12x?x?12?1?3x?2?4111? =in2x?1-inx2?x?1+arctan?x?+c 22?3? 总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 x?3?x?1?x2?1?dx 5 =?x?3?x?1?x?1?2dx1?x?2?2?dx?x?2x?1x?1?1?2x?2?1?2?1?dx ?2 ?dx?x?2x?1x?1?1111?2d?x2?2x?1?dx?dx2?2x?2x?1x?1?x?1?inx?11?cx?1x?1总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项 除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例： 1+sin