高等数学教案Word版第一章1

1、高等数学教案word版第一章1 第一章函数与极限(4课时) 授课题目（章节） 1.1 映射与函数 教学目的与要求： 1. 理解集合、区间、邻域等基本概念，掌握集合的运算及构造法 2. 理解函数的概念；明确函数定义有两个要素；依赖关系、定义域；掌握函数表 达式的运用 3. 了解函数的基本性质；知道判定诸性质的思路 4. 掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 教学重点与难点 重点：理解集合、邻域的概念 难点：函数的性质 讲授内容 一.集合 1 集合概念 集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称：元） 注：本课程中所有说的集合必须具有明确的界定，即对任何一

2、个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体” 介绍子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2. 集合的运算 集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积 介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念 3.区间和邻域 设?0，点x0的?领域是指满足x?x0?的一切实数x的集合。x0称为改邻域的中心，?成为该邻域的半径 二.映射 1. 定义：设x，y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对x中每个元 素x，按法则f，在y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从x到y的映射，记作f:x?y、 其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x),即y?f（x），而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像

3、注：映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断两集合之间的对应关系是否构成一个映射，关键是抓住两个要点：第一，对于第一个集合中的每一个元素，按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；第二，对于第一个集合中的每一个元素，第二个集合与之对应的元素是不是唯一的 2. 逆映射 定义：设fx到y的单射，则由定义，对每个y?rf，有唯一的 x?x,适合f（x）?y。于是，我们可定义一个从rf到x的新映射g，即?x，这x满足f（x）?y。这个映g：rf?x，对每个y?rf，规定g（y）射g称为f的逆映射，记作f2 复合映射： 定义：设有两个映射g:x?y1,f:y2?z，其中y1?y2，则由映射g和f

4、可以定出一个从x到z的对应法则，它将每个x?x映成f?g（x）?z。显然，这个对应法则确定了一个从x到z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f?g,即f?g：x?z，（f?g）（x）?，x?x ?f?g（x）三.函数 1. 函数的概念 定义：设数集d?r，则称映射f：d?r为定义在d上的函数，通常简记为 y?f（x），x?d，其中x称为自变量，y称为因变量，d称为定义域，记作df，即df?d 函数定义中，对每个x?d，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x出的函数值，记作f（x），即y?f（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数

5、值y?f（x）的全体所构成的集合称为函数 f的值域，记作rf或f（d)，即 rf?f(d)?yy?f(x),x?d 注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（2）定义域（3）应变量（4）对应规律（5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律，这两者常称为函数的二要素 介绍单值函数与多值函数的概念 例.判断下列各对函数是否相同 （1） f (x)=lnx2 g(x)=2lnx (2) f (x)=1 g(x)=sin2x+cos2x (3) f (x)=|x| g(u)=u2 ?1,其定义域df?1?rf，值域rf?1?x ?解：（2）中的f（x）与g（x)相同，（3）

6、中的f（x）与g（x)相同 例.求下列函数的定义域 （1） f(x)?x?13?4x?1 2x?5x?6x (2 ) f(x)?log2log4log7 (3 ) f(x)?1x?2?1 x解：（1）df?xx?2且x?3 （2）df?xx?7 （3）df?xx?0且x?2 2. 函数的几种特性 （1） 函数的有界性 （2） 函数的单调性 (3 ) 函数的奇偶性 定义：教材p12?p13 例：判断f(x)?ln?x2?1?x的奇偶性 1x?1?x2?解：f(?x)?ln(?x)2?1?x?ln ?f(x)为奇函数 （4） 数的周期性 3反函数于复合函数 ?f(x) （5） 反函数定义：设函数f

7、:d?f(d)是单射，则它存在逆映射 f?1:f(d)?d，称此映射f?1为函数f的反函数。 按此定义，对每个y?f(d),有唯一的x?d，使得f（x）=y，于 1是有f?（y）?x。这就是说，反函数f?1的对应法则是完全由函数 f的对应法则所确定的 与反函数问题有关的题型主要有两类：判断给定函数是否存在反函数 或求给定函数的反函数 对严格单调函数有以下结论 严格单调函数必存在反函数 （6） 复合函数有关的问题大致可分为两类：一是判断若干个函数能否构 成复合函数;二是将一个复合函数分解为若干个简单函数 复合函数的定义：设函数y?f(u)的定义域为d1，函数 u?g（x）在d上有定义，且g（d）?d1，则由下式确定的函数 构成的复合函数，它的?，x?d称为由函数u?g（x）和函数y?f（u）y?f?g（x）定义域为d，变量u称为中间变量。函数g与函数f构成的复合函数通常记为 ? f?g,即（f?g）（x）?f?g（x）3. 函数的运算 4. 初等函数 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数 5. 双曲函数与反双曲函数 小结与提问： 小结：本讲内容十分重要，特别是缺点函数的两个要素务必弄懂；分段函数也须引起重视；函数的几种特性直接通过论证来判断；函数的反函数的