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13.5 全微分方程,充要条件,在 D 内是某一函数,的全微分,即,复习,或,且,是,的一个原函数。,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,一、全微分方程,则称,为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .,解,是全微分方程,原方程的通解为,例1,例2. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,二、积分因子法,定义:,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,积分因子.,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一 .,例如, 对,可取,例3. 求解,解: 分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边 , 得,即,因此通解为,即,因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例4 求微分方程,例5 解方程,解法1 积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外, y = 0 也是方程的解.,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入 ,得通解,此外, y = 0 也是方程的解.,解法3 化为线性方程.,原方
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