线性代数第一章教案

1、线性代数教案第一章 行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形

2、法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件重点：行列式性质；行列式的计算。难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 a12a210 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我们称4个

3、数组成的符号为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成，如果记，则当D0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的

4、分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的例1 用二阶行列式解线性方程组解：这时 ， ，因此，方程组的解是 ，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号例2 令 ，当 D0时，(4)的解可简单地表示成， (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似例3 解线性方程组解：， ， 所以，例4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零因此，当a=0且b=

5、0时给定行列式等于零为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识 1.2 排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识定义1 由数码1，2，n组成一个有序数组称为一个n级排列例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个数字由小到大的n级排列1234n 称为自然序排列定义2 在一个n级排列i1i2in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(isit)， 则称it与i

6、s构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i1i2in)例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7容易看出， 自然序排列的逆序数为0定义3 如果排列i1i2in 的逆序数N(i1i2in )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排列定义4 在一个n级排列i1isitin中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新

7、的n级排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2al i j b1b2bmc1c2cn将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j i b1 b2bmc1c2cn显然对数a1，a2，al，b1，b2，bm和c1c2cn来说，并不改变它们的逆序数但当ij

8、时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性再讨论一般情况，设排列为a1a2al i b1b2bmjc1c2cn将i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn这就是对换不相邻的两个数的情况但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2alb1b2bmi j c1cn然后将数j与它前面的数i，bm，b1作m+1次相邻两数的对换而成而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇

9、数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同定理2 在所有的n级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以pq；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有qp，所以q = p，即奇排列与偶排列的个数相等又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，定理3 任一n级排列i1i2in都可通过一系列对换与n级自然序排列12n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有

10、相同的奇偶性证明：对排列的级数用数学归纳法证之对于2级排列，结论显然成立假设对n1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立若in=n，则根据归纳假设i1i2in1是n1级排列，可经过一系列对换变成12(n1)，于是这一系列对换就把i1i2in变成12n若inn，则先施行in与n的对换，使之变成i1i2in1n，这就归结成上面的情形相仿地，12n也可经过一系列对换变成i1i2in，因此结论成立因为12n是偶排列，由定理1可知，当i1i2in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2in具有相同的奇偶性思考：1决定i、j的值，使(1)

11、1245i6j97为奇排列；(2) 3972i15j4为偶排列2排列n (n1)(n2)321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？ 1.3 n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手引出n阶行列式的定义已知二阶与三阶行列式分别为其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号

12、是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义定义1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，n)组成的符号称为n阶行列式它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1)其中表示对所有的n级排列j1j2jn求和(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式称为行列式的一般项当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面1.1中用对角线法则定义的是一致的

13、当n=1时，一阶行列为|a11|= a11如当n=4时，4阶行列式表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项根据n阶行列式的定义，4阶行列式为例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即a14a23a31a42是上述行列式中的一项为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题例1 在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514因 N(23514)=4，故这一项应取正号例2 写出4

14、阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解：包含因子a11a23项的一般形式为按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因 N(1324)=1为奇数N(1342)=2为偶数所以此项只能是 a11a23a32a44例3 计算行列式解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项但只有以下四项adeh，adfg，bceh，bcfg不为零与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项

15、和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即= adehadfgbceh+bcfg例4 计算上三角形行列式其中aii (i=1， 2， n)解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可在D中，第n行元素除ann外，其余均为所以jn=n；在第n1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零，因而jn1只取n1、n这两个可能，又由于ann、an1n位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a11a22ann一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是N(12n)=0故取正号因此，由行列式的

16、定义有=a11a22ann即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积同理可求得下三角形行列式=a11a22ann特别地，对角形行列式=a11a22ann上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积例5 计算行列式解 这个行列式除了a1na2n1an1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n级排列为n(n1)21，N(n(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以=同理可计算出=由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0在n阶行列式中，为了决定每一项的

17、正负号，我们把n个元素的行标排成自然序排列，即事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成 (2)其中i1i2in，j1 j2jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定定理1 n阶行列式的一般项可以写成 (3)其中i1i2in，j1j2jn都是n级排列证明：若根据n阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成 (4)于是它的符号是现在来证明(1)与(3)是一致的我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i1i2in，j1j2jn就

18、同时作一次对换，也就是N(i1i2in)与N(j1j2jn)同时改变奇偶性，因而它的和N(i1i2in)+N(j1j2jn)的奇偶性不改变这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有这就证明了(1)与(3)是一致的例如，a21a32a14a43是4阶行列式中一项，它和符号应为(1)N(2314)+N(1243)= (1)2+1= 1如按行标排成自然顺序，就是a14a21a32a43，因而它的符号是(1)N(4123)=(1)3= 1同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项中元素的列标排成自然顺序123n，而此时相应的行标的n级排列为i1i2in，则行列

19、式定义又可叙述为思考题：1如果n阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？2由行列式的定义计算f(x)=中x4与x3的系数，并说明理由 1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若， 则反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式性质 行列式D与它的转置行列式DT的值相等证：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， ，n)在DT中位于第j行第i列

20、上，也就是说它的行标是j， 列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得这正是行列式D按行自然序排列的展开式所以D=DT这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然性质 交换行列式的两行(列)，行列式变号证：设行列式将第i行与第s行(1isn)互换后，得到行列式显然，乘积在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据3 定理，对于行列式D，这一项的符号由决定；而对行列式D1，这一项的符号由决定而排列1isn与排列1sin的奇偶性相反，所以= 即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D= D1例 计算行列式解：将

21、第一、二行互换，第三、五行互换，得将第一、五列互换，得推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质有D= D， 所以D=0性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即证：由行列式的定义有左端右端此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k乘此行列式推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零证：由性质和性质的推论即可得到性质 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即证：左端右端性质5 把行列式的某一

22、行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变即 i行k加 到第s行 证：由性质右端=+=k+=左端作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子例2 计算行列式解：这个行列式的特点是各行个数的和都是，我们把第、各列同时加到第列，把公因子提出，然后把第行(1)加到第、行上就成为三角形行列式具体计算如下：例3 计算行列式解：例4 试证明：证：把、列同时加到第列上去，则得例5 计算n+1阶行列式解：将D的第列、第列、第n+1列全加到第列上，然后从第列提取公因子得(a1)(a2)(an) = =例6 解方程解法一：所以方程的解为x1=0， x2=1， ， xn2=n3， xn1

23、=n2解法二：根据性质的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零而所给行列式的第行的元素全是，第行，第行，第n行的元素只有对角线上的元素不是，其余均为因此令对角线上的某个元素为，则行列式必等于零于是得到1x=12x=1(n2)x=1(n1)x=1有一成立时原行列式的值为零所以方程的解为x1=0， x2，=1， xn2=n3， xn1=n2例7 计算n阶行列式解：将第1行乘以(1)分别加到第、n行上得从第一列提出xa1，从第二提出xa2，从第n列提出xan，便得到由并把第、第、第n列都加于第1列，有 例8 试证明奇数阶反对称行列式证：D的转置行列式为从DT中每一行提出一个公因子(1)，于是有

24、，但由性质1知道DT=D D=(1)nD又由n为奇数，所以有D= D， 即 2D=0， 因此 D=0思考题：1证明下列各题： 2计算下列n阶行列式：； 1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法降阶法为此，先介绍代数余子式的概念定义 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的位置构成一个n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作ij元素aij的余子式ij前面添上符号(1)i+j称为元素aij的代数余子式，记作Aij即Aij(1)i+jMij例如：在四阶行列式 中a23的余子式是M23

25、=而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代数余子式定理 n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1，2，n)证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证1先证按第一行展开的情形根据性质有 按行列式的定义 同理 所以 D=a11A11+a12A12+a1nA1n2再证按第i行展开的情形将第i行分别与第i1行、第i2行、第行进行交换，把第i行换到第行，然后再按的情形，即有定理 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素

26、的代数余子式的乘积之和等于零，即：ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt)证：只证行的情形，列的情形同理可证考虑辅助行列式这个行列式的第i行与第s列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D1按第s行展开，有D1= ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)定理和定理可以合并写成ai1As1+ai2As2+ainAsn= 或 a1jA1t+a2jA2t+ajnAnt = 定理1表明，n阶行列式可以用n1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算计算行

27、列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶这在行列式的计算中是一种常用的方法例 计算行列式 解：D的第四行已有一个元素是零，利用性质，有例 计算n阶行列式解：按第一列展开得例 计算，其中 xy解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质，有加到各行第2列提出因子x，第3列提出x，第4列提出y，第5列提出y，得例 试证 (1)式中左端叫范德蒙行列式结论说明，n阶范德蒙行列式之值等于a1， a2， ， an，这n个数的所有可能的差aiaj(1jin)的乘积证明：用数学归纳法1当n=2时，计算阶范德蒙

28、行列式的值：可见n=2时，结论成立2假设对于n1阶范德蒙行列式结论成立，来看n阶范德蒙行列式：把第n1行的(a1)倍加到第n行，再把第n2行的(a1)倍加到第n1行，如此继续作，最后把第1行的(a1)倍加到第2行，得到 后面这个行列式是n1阶范德蒙行列式，由归纳假设得于是上述n阶范德蒙行列式等于。根据数学归纳法原理，对一切n2，(1)式成立例 计算n阶行列式解：把第一行乘以x加到第二行，然后把所得到的第二行乘以x加到第三行，这样继续进行下去，直到第n行，便得到=例6 证明证 将上面等式左端的行列式按第一行展开，得本例题的结论对一般情况也是成立的，即思考题：1计算下列行列式：2证明下列等式：，(

29、ai0)； 1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n元线性方程组的方法克莱姆法则它是中二、三元线性方程组求解公式的推广设含有n 个未知量n个方程的线性方程组为(1)它的系数aij构成的行列式称为方程组(1)的系数行列式定理 (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D，则方程组(1)有唯一解： (2)其中Dj (j=1，2，n，)是D中第j列换成常数项b1，b2，bn，其余各列不变而得到的行列式这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一下面分两步来证明第一步：在D的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组确实是方程组(1)的解第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的证：首先将代入(1)的第i个方程有： (3)把D1按第列展开，D2 按第2列展开，Dn按第n列展