测量平差 第三章

1、.,第三章 协方差传播律与权,在实际工作中，经常间接测量某些量，待求量通过间接测量的方程式 获得。通过测量获得量 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。 本章将要讨论的问题是：测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据的测量误差，现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？阐述这种关系的公式称为协方差传播律。,.,一常见问题举例,1如图，观测了一个三角形的三个内角L1,L2,L3.将其闭合差平均分配后的各角的平差值为：,A,B,C,L2,L1,L3,即：平差值是对过观测值计算得到的，如果已知观测值的中误差，怎

2、么求平差值中误差？,.,2如图，在侧方交会中，已知A，B两点的坐标(XA,YA)和(XB,YB)，它们之间的距离为S0，坐标方位角为0，由交会的观测角L1,L2求交会点的坐标：,XC,YC的中误差与L1,L2的中误差之间的关系是什么？,.,二本章将要阐述的问题,数学期望和协方差的基本概念； 协方差传播律的一般公式； 权、权阵、协因数阵； 协因数传播律。,.,3-1数学期望的传播,数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义式为：,.,数学期望的传播规律： 常数c的数学期望为E（c）=c 随机变量X乘以常数c，则有 随机变量

3、 之和的数学期望为 相互独立的随机变量 之积的数学期望为：,.,3-2协方差传播律,从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系 可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误 差的关系。,一、观测值线性函数的方差,设有n维观测向量X，其数学期望和协方差阵分别为：,.,.,设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：,.,上式的纯量形式为：,当向量中的各分量两两独立时，它们之间的互协方差为，,以上三式称为：协方差传播律。,.,例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。,例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知

4、每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?,.,例3：设在测站A上（如图），已知ABC=，设无误差，而观测角1和2的中误差为121.4秒，协方差11秒，就角x的中误差x,.,.,.,二、多个观测值线性函数的协方差阵,设有观测向量n维X，其数学期望和协方差阵已知：,.,若有X的t个函数：,.,若有X的r个函数：,可得：,.,Y关于Z的互协方差阵：,.,例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。,.,三、非线性函数的情况,设有观测值X的非线性函数：,已知：,.,将Z按

5、台劳级数在X0处展开：,.,.,例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。,.,协方差传播应用步骤:,根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 应用协方差传播律,.,3-3协方差传播在测量中的应用,一、水准测量的精度,.,设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同, 其方差均为 , 则具有N个测站的水准路线的总高差为,在平坦地区的水准测量中, 每公里的测站数大致相等, 因此, 每公里观测高差的方差相等, 设其均为 , 则S公里观测高差的方差和中误差分别为,其估值公式为,.,例题,水准测量

6、中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该水准路线长度不应超过多少公里？,解：由公式,可得,答：该水准路线长度不应超过36公里。,.,同精度独立观测算数平均值的精度,设l1,l2,ln为一组等精度的独立观测值(方差均 为2) , 其算术平均值为,应用协方差传播公式得,.,例题,已知某台经纬仪一测回的测角中误差为6,如果要使各测回的平均值的中误差不超过2,则至少应测多少测回？,解：由公式,可得,答：至少应测9测回,.,三、若干独立误差的联合影响,设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为,由协方差传播律可得：,即, 观测结果的方差 ，等于各独立误差

7、所对应的方 差之和 。,.,四、平面控制点的点位精度,如下图所示导线, A为已知点, 0为AB方向的方位角, 为观测角, 其方差为4.0()2, 观测边长S为600.00 m, 其方差为0.5cm2, 试求C点的点位方差。,.,解法一,（1）、列函数式, 由图知:,（2）、线性化,（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式,（4）.计算点位方差,.,解法二,由C点纵、横向方差求点位方差,如图AC边上边长方差称为纵向方差 , 而在它的垂直方向的方差称为横向方差 。,横向方差是由AC边的坐标方位角的方差引起的, 由图知,点位方差为,.,3-权与定权的常用方法,一、权的定义,称为观测值Li的权。权

8、与方差成反比。,.,3.权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。,4.只要事先给定一定的条件，就可以定权。,.,二、单位权中误差,三、常用的定权方法,1、水准测量的权,或,.,2、边角定权,.,3-5协因数及其传播律,一、协因数的定义,观测值Li和Lj的协因数（权倒数），Li与Lj的协因数与相关权倒数分别定义如下：,权是一种比较观测值之间精度高低的指标，与前述协方差传播律相似，也存在根据观测值的权来求观测值函数的权的问题,.,显然有：,观测向量X(n维)和Y(r维)的方差阵、互协方差阵与协因数阵、互协因数阵的关系：,.,二、协因数传播律,由协方差传播律得：,.,

9、即：,这就是观测值的协因数阵与其线性函数的协因数阵的关系式，通常称之为协因数传播律，又称为权逆阵传播律。 通常将协方差传播律与协因数传播律合称为广义传播律。 对于非线性的函数，与协方差传播律一样，首先要对非线性的方程进行线性化，然后再运用传播律。,.,3-6由真误差计算中误差,一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。 观测值的绝对精度中误差是无法事先确定的，只是可以根据一定的测量条件，知道观测值的相对精度权。按照某种平差原则平差后得到的平差值，其绝对精度也是无法直接确定，但可以通过协因数传

10、播定律得到它的协因数。而某一个量的协因数和它的方差只是相差一个比例常数单位权方差，因此确定单位权中误差就成为了一个重要的环节。,.,其中 分别是观测值向量的真误差向量、自协方差阵、 权阵和自协因素阵（权逆阵）。并设 是单位权方差，则它 们存在如下关系：,一、单位权方差和真误差的理论关系,组成的向量是,、,设有一系列观测值,.,这样有,上式两边取矩阵的迹，有,因为,.,所以,其估值公式是,当各观测值相互独立时，则有,当各观测值是独立等精度观测时，其权可视为1，则有,.,、由三角形闭合差求测角中误差菲列罗公式 三角形三个内角和的真值为180。设等精度观测了三角网中各三角形的各个内角i、i 、i，求

11、得每个三角形的闭合差i，即,二、由真误差计算中误差的实际应用,三角形内角和的中误差为,.,于是，得测角中误差为,这就是由三角形闭合差计算的测角中误差公式，由德国测量学家菲列罗所创，所以称为“菲列罗公式”。在三角测量中，常用它来初步评定测量的精度。,.,在测量工作中，对一些量观测两次（如距离测量时进行往测与返测），这种观测称为双次观测。对一个未知量进行的两次观测，称为一个观测对。多个双次观测值称为双次观测列。,2、用同精度双次观测列差值求观测值中误差,对同一个量两次观测值的差，设为di，则有,式中，n为双次观测的个数。上式是计算双次观测差值的中误差公式,.,为单个观测值的中误差。 观测量的最或然值是两次观测结果的算术平均值，即,根据中误差传播定律，平均值的中误差应为,.,前几节所讨论的问题，是以观测值只是含有偶然误差为前提的。也就是说，要求在测量前和测量过程中设法消除系统误差的影响，但由于种种原因，观测值中总是或多