对口升学考试 数学高考大纲

1、 二、三角函数复习目标（1） 知道角的定义，能进行角度与弧度的互化，知道角所在的象限是如何定义的，会写出所有与角 终边相同的集合，会表示终边在坐标轴上的角；（2） 能利用任意角的三角函数定义求出已知终边上一点坐标是，这个角的正弦值、余弦值和正切值，记住一些特殊角的三角函数值，会判断三角函数值的符号；（3） 能利用同角三角函数的基本关系式解决一些相应的问题；（4） 知道诱导公式的作用；（5） 能利用两角和的正切、余弦的加法公式和二倍角公式解决一些相应的问题；（6） 会画正弦函数、余弦函数的图像，知道他们的主要性质，知道正弦函数的图像与正弦函数图像之间的关系；（7） 已知三角函数值时，能在指定区间

2、内找出对应的角；（8） 会解斜三角形。知识要点1. 角的概念（1） 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置 旋转到另一个位置 形成的图形称为角，端点 叫做角的顶点， 叫做角的始边。（2） 角的分类（3） 角的度量角度制的概念 把整个圆周分成360等分，每一等分的圆弧所对的圆心角的大小叫做 的角，用角度作为单位来度量角的大小的方法叫角度制。角度制的概念 把长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小规定为1弧度的角，这种度量角的大小的方法叫弧度制（在半径为 的圆中，长度为 的圆弧所对圆心角的大小是 弧度。“弧度”合一省略不写出）。角度制与弧度制的互化说明： 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零

3、角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 用弧度制度量角，就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，就可以把有关角的集合转化到实数集或其子集上来。因此要掌握“角度”与“弧度”的换算，对特殊角 ，能熟练、准确地换算成弧度。 在弧度制中，圆弧的长度 等于所对圆心角的大小 与半径 的乘积。即 。（4） 象限角在平面上建立一个直角坐标系 ，把所有角的顶点都放在原点 的位置上，让所有的角的始边（除顶点外）都与 轴正半轴重合，这时一个角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限。有时称他们为轴线角，这样就对于任意有了一个初步的分类。（5） 终边相同的角在直角坐标系内，具有共同的终边的角称为终边相同的角。与

4、角a的终边相同的与所有角组成集合 ，或者 。如：终边在 轴上的角组成集合 终边在 轴上的角组成集合终边在第一象限上的所有角组成集合说明：注意“锐角”、“小于 的角”、“第一象限的角”的区别和联系。“锐角”表示为“小于 的角”别表示为“第一象限的角”表示为这部分是基础知识，考查主要针对基本概念，但值这些知识贯穿三角函数整章，因此也常综合其他知识考查。2.任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 （1）概念 设 是平面直角坐标系中一个任意角，点 为角 终边上的任意一点，点P到原点的距离为 ，那么角 的正弦、余弦和正切分别定义为 说明： 角 的三个三角函数这的大小与点P在 终边上的位置无关。 正弦函数、

5、余弦函数和正切函数，都是以角 为变量的函数，他们都是三角函数。在弧度制下，角 的值是一个实数，因此，三角函数就是以实数为自变量的函数。 三角函数的定义域是使得三角函数有意义的自变量的值的集合。 正弦函数、余弦函数的定义域都是R； 正切函数的定义域是 （2）三角函数的符号 三角函数值得符号，取决于 所在的象限，因为 ，则有定义知 ， ，的符号分别取决于终边上点P的纵坐标 和横坐标 的正、负， 的符号取决于 、 同号还是异号。把 的正负号标在各个象限内，如图：说明：结合终边相同角的概念，可以判断任意一个角的任意三角函数值的符号。（3）单位圆 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆称为

6、单位圆。设角 的终边与单位圆胡交点 ，则由即：角 的终边平单位圆的交点坐标为 。（4）一些特殊的正弦，余弦，正切的值见下表：这部分的考查主要是定义及与后面知识结合，其中三角函数值符号的确定可以渗入在所有试题中。3.同角三角函数的基本关系式说明： 同角三角函数的基本关系式反映了同一个角 的不同三角函数数值之间的关系，是同角三角函数数变换的纽带。其中，对角的形式没有限制。如： 同角三角函数的基本关系式的重要应用有：已知角 的一个三角函数数值，求其他三角函数值或其他一些代数式的值；另外还有化简及证明一些三角恒等式。 特别注意：利用平方关系进行开方运算时，要根据已知角所在的象限，正确选择正负号。 在三

7、角变换中，关系式 经常用到、 化简及证明时，通常使用“等量代换”及“化切为弦”或“化弦为切”的方法；用关系式 可在三角变换中消元。 这部分是考试的重点之一，所包含的题型有较强的灵活性，题目难度可以涉及容易题和中等难度题。4.诱导公式、和角公式、倍角公式（1）诱导公式：其中， 说明： 诱导公式体现了不同角之间的三角函数值关系。利用诱导公式，可以把求任意角的三角函数值转化为求 内角的三角函数值，进而通过查表得出相应的三角函数值。 记诱导公式时，可以将角 看作锐角，从而角 以及 可以分别看作是第一、第二、第三、和第四象限的角，从而结合三角函数值符号规律帮助记忆，即“函数名不变，符号看象限”。 诱导公

8、式还可以利用下列两组帮助记忆和应用。 即：角 （即角 加上 的奇数倍）的正弦，余弦值分别等于角 的正弦，余弦值的相反数；角 （即角 加上 的偶数倍）的正弦，余弦值分别等于角 的正弦，余弦值；而角 （即角 加上 的整数倍）的正切值等于角 的正切值。 诱导公式部分还需要掌握下面一组：即：角 的三角函数值等于角 的相应余函数的值（即正弦、余弦互变）。 诱导公式主要应用在求值、化简和证明恒等式。另外诱导公式还在研究函数的性质，以及已知三角函数值求指定区间内的角等方面起着重要作用。（2）两角和与差的三角函数公式说明： 两角和与差的三角函数公式体现了复角 的三角函数值与单角 ， 的三角函数值之间的关系。

9、记忆公式要抓住公式的结构特征和适用条件，两角和（差）正切公式中要求角 ， 都属于正切函数定义域。 在式子 的变形中，常将“1”写成“ ”，以便应用两角和（差）正切公式化简，即 。 注意公式的逆用。 其中 所在的象限由a , b的符号确定。（3）二倍角公式说明： 两个角的和、差及一个角的倍角都是相对的，如 可看成是角 与 的和； 可以看成是 的二倍角等。 正切的二倍角公式中，涉及的角的正切都要有意义。 对公式还应注意灵活应用，如变形及公式逆用等，如： 使用上述公式能解决三角函数的求值，化简，三角恒等式的证明等问题。如：由同角三角函数关系可知，已知角的一个三角函数值，就能求出其余的三角函数值，所以

10、，已知 的各一个三角函数值就能计算出这两个角的和、差及二倍角的三角函数值；利用上述公式，还可以求出与特殊角有关的一些角（如 等）的三角函数值。证明三角恒等式时常用的方法有：化切为弦、高次降低次、大角化小角等，形式上常采用递推法“由繁到简”，或者证明“左右=0”。两角和与差的三角函数公式以及倍角公式还常常与函数性质的研究有密切的联系。这部分内容集中了三角变换的所有内容和方法，是历年考试的主要内容之一，形式呈现多样化的特点。不仅在选择和填空题中出现，而且常在解答题中考查综合分析问题的能力以及三角恒等变换能力，另外，还需要学生基本的运算能力。5.三角函数的性质和图像 三角函数的性质和图像分别从“数”

11、和“形”两方面反映了三角函数的变化规律。三角函数的定义域和值域，反映在图像上是曲线在平面直角坐标系内左右及上下的展开范围；三角函数的单调性反映在图像上是曲线随 的变化而上升还是下降的情况；三角函数的周期性，反映在图像上是曲线有规律的重复出现；三角函数的奇偶性，反映在图像上是曲线关于原点或者 轴的对称性；三角函数的最小值和最大值反映在图像上是曲线是最低点和最高点的纵坐标。（1） 正弦函数和余弦函数的性质和图像三角函数图像 定义域RR值域最值周期奇偶性单调性其中， 说明： 对于函数 ，如果存在一个不为零的常数T，当 取定义域D内的每一个值时，都有 ，且 成立，那么函数 叫周期函数，常数T叫做这个函

12、数的一个周期，在所有的正周期中，如果存在一个最小的数，叫做最小正周期，简称周期。三角函数都是周期函数，这是与其他基础函数的显著区别。 ， 的图像叫做正弦曲线， 的图像叫做余弦曲线。余弦曲线可由正弦曲线沿 轴向左平移 个单位而得到。 正切函数 在一个周期内的图像和一些性质是：定义域为 ，最小正周期是 ，是奇函数，在 上是增函数（2）“五点法”画三角函数图像 如果只要求大致画出 在 上的一段图像，那么我们可以只描出5个关键点 ，再用光滑的曲线将它们连接起来，从而得到正弦函数在这个区间的简图。类似的，可用这种“五点法”画余弦函数 在 的简图。（3）正弦型函数 的性质与图像性质：定义域R值域是 ；最大

13、值是A,最小值A最小正周期是图像：在一个周期（闭区间）内的简图要用“五点法”来画出。函数 的图像与函数 图像的关系：说明： 在物理中涉及到的正弦型函数 表示振动量，其中， 表示振动的时间， 表示离开平衡位置的位移， 表示振动的振幅， 表示振动的周期， 叫做振动的频率， 叫做相位， 叫做初相。 研究函数 时常将函数变形为 的形式，其中 的值可由 确定。 这部分知识是三角函数最重要的知识点之一，每年的解答几乎都涉及到该内容，且常和前面的和角及倍角公式综合考查。6.已知三角函数值求指定范围内对应的角（1）已知正弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤是： 求出 范围内的角； 利用诱导公式 求出 范围内的角； 利用公式 求出指定范围内的角。（2） 已知余弦函数值，求指定范围内的角的主要步骤是： 求出 范围内的角。 利用诱导公式 范围内的角； 利用公式 求出指定范围内的角。 说明：这个知识点的考查一般限于函数值特殊的情况，所得角的个数必须与指定范围结合。7.正弦定理和余弦定理 一个三角形有三条边和三个角，共6个元素，只要知道了其中的三个元素（至少有一个元素是边），就可求出其余的三个元素，叫做解三角形。两个定理 可解的三角形 说明正弦定理（1） 已知两角与一边（2）已知两边及其中一边所对的角类型（1）只有唯一解类型（2）可有两解、一解或无解（要判断）余弦定理（3） 已知两边及其夹角（4）已知三边