小学奥数之圆与扇形求解【含答案】

数学竞赛小学奥数之圆与扇形求解例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．n圆的面积=r2；扇形的面积=r2´；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r´．360一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常111说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角246n的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．360n比如：扇形的面积=所在圆的面积´；3360n扇形中的弧长部分=所在圆的周长´60n扇形的周长=所在圆的周长+´2´半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)360弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)②③④”弯角：如图：弯角的面积=正方形-扇形”谷子：如图：“谷子”的面积=弓形面积´2二、常用的思想方法：①②③④转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)等积变形(割补、平移、旋转等)借来还去(加减法)外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例1】如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB=10厘米，以C为圆心，CA为半径画弧。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积。ABEDCO【【【考点】圆与扇形关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分解析】①月牙形ADBEA(阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC的面积－扇形CAEBC的面积②月牙形【难度】3星【题型】解答11ADBEA的面积＝´π´52+25-´π´50=25（平方厘米）,所以月牙形ADBEA的面积是25平24方厘米。答案】25【【例2】三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________π取3.14）【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空关键词】迎春杯，六年级，初赛，4题180【【解析】三个扇形的弧长相当于半径100厘米，圆心角为1800的扇形的弧长，2´3.14´=314厘米；360答案】314【例3】分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是_______厘米．(p取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题【题型】填空111【【解析】每段弧长为C，所以C=6´C=CC阴影=6×C圆=C圆，所以阴影=12.566圆阴影6圆圆6答案】12.56例4】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【答案】36【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．答案】36【例5】18´8的方格纸上，画有1998四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分有6+6+8=20个，部分有6+6+8=20(个)，而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含8´18=144(个)完整7437小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的，即．14472372【答案】7【4×7的方格纸板上面有如阴影所示的6字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答1【解析】矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部4分可拼成628－6－3=1919的．2819【答案】28【例6】在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为平方厘米．【【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空关键词】西城实验解析】21半，所以阴影部分的面积等于22答案】2´=2平方厘米．2【4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】4´4¸2=8．答案】8【例7】如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)【【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答关键词】人大附中，分班考试解析】把中间正方形里面的4四个正方形面积与四个90°的扇形的面积之和，所以，阴影=4´SW+4´S1=4´S+S=4´2+π´2=4+π=7.14．W圆圆4【答案】7.14【例8】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【【考点】圆与扇形解析】如下图所示：【难度】4星【题型】解答可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为1´1¸´4=0.5´4=2（平方2´4=8【答案】8巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是【．m2mm或【题型】填空【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于（2´2=16（m．【答案】16【例9】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．如右上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为414个442+π´2=19(平方厘米)．在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图【形，从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、答案】19【【例10】如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取.14)3【【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5´5´3.14¸2=39.25(cm2)答案】39.25【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S，空白部分面积为S，那么这两个12部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】4星解析】【题型】解答形．设大圆半径为r，则S2=2r2，1=r2-2r2，所以S:S=3.14-2:2=57:100．12移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．答案】57:100【【例11】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．【【ꢀ考点】圆与扇形【难度】3星解析】将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形．【题型】解答ꢀꢀꢀ5+10´5¸2=75¸2=37.5(平方分米)．【答案】37.5【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】个边长为4积(2+2+2)´4-(2+2)´4=8【答案】8【例12】请计算图中阴影部分的面积．【【考点】圆与扇形解析】法一：【难度】4星【题型】解答为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．一个长方形的面积．因此，所求的面积为10´3=0cm．法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形：如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移就会得到右上图中的组合图形，而这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积．显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积．因此，所求的面积是10´3=0cm．【答案】30【例13】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答11【解析】如图，连接，可知阴影部分的面积与三角形BCD的面积相等，即为´´12´12=36．22【答案】36【例14】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】2星【题型】解答解析】可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90°，则阴影部分转化为四分之一圆减去112一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为´π´42-´4´4=4.56．4【答案】4.5622【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值．7【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：141227´72´π»´72´=38.5．41四分之一大圆内的等腰直角三角形的面积为´7´7=24.5，所以阴影部分的面积为238.5-24.5=14．【答案,14【例15】求下列各图中阴影部分的面积．【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式1210可以求得阴影=´10´=25；2在图(2)ba以求得阴影=a´b=ab．【答案】25，ab【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为，圆周率按3计算)：⑴⑵⑶⑷⑸考点】圆与扇形⑹【【【【难度】3星【题型】解答解析】⑴4.5ꢀ⑵4ꢀ⑶1ꢀꢀ⑷2ꢀ⑸1.5ꢀ⑹4.5答案】⑴4.5ꢀ⑵4ꢀ⑶1ꢀꢀ⑷2ꢀ⑸1.5ꢀ⑹4.5【例16】如图，是正方形，且===1，求阴影部分的面积．(取π=3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现．由于对BMF的面积和弓形BND于不规则图形BDWC的面积．因为ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1CD=DE四边形BDEC为平行四边形，且∠E=45°．我们再在平行四边形BDEC中来讨论，可以发现不规则图形BDWC和扇形WDE=平455行四边形BDEC-扇形DEW=1´1-´π´2=．3608141总面积扣除一个等腰直角三角形，一个圆，一个45°的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣4158除一个45°的扇形．面积为1´1-´3´2=．858【答案】【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：)．【【考点】圆与扇形【难度】2星解析】从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，【题型】解答1所以阴影部分面积为´(2+4)´3=9cm2．2【答案】9例17】如图，长方形的长是，则阴影部分的面积是【cm2．(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】2星【题型】填空解析】2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：8´¸-¸¸2´´=82822π26.88所以左图阴影部分的面积等于6.88¸2=3.44平方厘米．答案】3.44【【例18】如图所示，在半径为的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差(大减小)是cm2．【【【考点】圆与扇形关键词】西城实验，期末考试解析】如图，将圆对称分割后，B与A中的部分区域能对应，B仅比A积差为：2´2´1´2=8cm2答案】8【难度】3星【题型】填空．【【尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？2cm①②3cm5cm③④7.5cm【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为：5-7.5-=2´5.5=1cm，而原本应11是两人平分，所以甲应付给乙：´1000=5500(元)．2【答案】5500【例19】求右图中阴影部分的面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．CAB(法1)我们只用将两个半径为10②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．两个四分之一圆1的面积和为150，而①、②部分的面积和为´10´10=50，所以阴影部分的面积为2150-50=100(平方厘米)．(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，积．112所以阴影部分面积为´p´102-´10´10=100(平方厘米)．2【答案】100【例20】如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π=3.14)【【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答关键词】走美，决赛解析】根据题意可知扇形的半径rr2=2´2=18131右边阴影下部，阴影=S扇形-S柳叶答案】8.58=´18π-2(´18π-3´=18-π=8.584【例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．n圆的面积=r2；扇形的面积=r2´；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r´．360三、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常111说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角246n的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．360n比如：扇形的面积=所在圆的面积´；3360n扇形中的弧长部分=所在圆的周长´60n扇形的周长=所在圆的周长´+2´半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)360弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)②③④”弯角：如图：弯角的面积=正方形-扇形”谷子：如图：“谷子”的面积=弓形面积´2四、常用的思想方法：①②③④转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)等积变形(割补、平移、旋转等)借来还去(加减法)外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算4【例21】如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角CAB的度数是________．3CDAB【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空π1π432π【解析】设半圆的半径为1，则半圆面积为π´2=，扇形的面积为´=．因为扇形2223nn2π的面积为r2答案】60度´，所以，π´22´=，得到n=60，即角CAB的度数是60度．3603603【【例22】如下图，直角三角形的两条直角边分别长6和7，分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π=3)【考点】圆与扇形【难度】4星´6´7=21,【题型】解答1【解析】S△ABC=2三角形内两扇形面积和为21-17=4，B+C根据扇形面积公式两扇形面积和为´π´22=4,360°所以B+C=120°,A=60°.【答案】60度43【例23】(即阴影区域)的面积是大圆面积的155小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答3【解析】小圆的面积为π´52=25π，则大小圆相交部分面积为25π´=15π,那么大圆的面积为542254225151515π¸=π，而=´，所以大圆半径为7.5厘米．15422【答案】7.5【例24】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)ABC【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和．将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360°，所以弧所对的圆心角是60°，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段等于塑料管的直径，由此知绳长为：5´6+5π=45(厘米)．【答案】45【例25】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】C是在以B=CBCB=理，有CDE是正三角形．有ACB=ECD=60o，正五边形的一个内角是180o-360o¸5=o，因此ECA=60o´2-o=12o，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是12o´3.1412´´´5=12.56cm．2360o【答案】12.56【例26】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空1【解析】4个小圆的44这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例27】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为SS12部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答形．设大圆半径为r，则S2=2r2，1=pr2-2r2，所以S:S=3.14-2:2=57:100．12移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．答案】57:100【【例28】用一块面积为367边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积=r2:R2=1:9，1小圆面积=36´=4，7个小圆总面积=4´7=28，9边角料面积=36-28=8(平方厘米)．【答案】8【例29】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【【考点】圆与扇形【难度】4星解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．【题型】解答113由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上120°的小扇形面积(即612小圆面积)，所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积63æ1è62ö3ø56为小圆的2=9倍，那么阴影部分面积为ç´9-÷´π´2=π=2.5．【答案】2.5【例30】10406个半径为0厘米的小扇形．(圆周率取3.14)1【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答nR2小扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇=．360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么=120°，又知四边形是平行四边形，所以=120°，这样就可求出扇形的面积120和为6´´π´102=628(平方厘米)，阴影部分的面积=1040-628=412(平方厘米)．360【答案】412【例31】(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，是半圆的直径，O是圆心，=CD=，M是CD的中点，H是弦CD的中点．若N是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】如下图所示，连接、、．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD是对称的，由对称性可知CD与平行．由此可得CHN的面积与CHO的面积相等，所以阴1影部分面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分311面积等于半圆面积的，为12´=2平方厘米．66【答案】2C、DO【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】如图，连接、、CD．由于C、D是半圆的三等分点，所以和COD都是正三角形，那么CD与是平行的．所以ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为1π´62´=18.84．6【答案】18.84【例32】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】相同的图形，再求剩余图形的面积．如右图所示，可知弓形或CD均与弓形相同，所以不妨割去弓形．剩下的图形中，容易看出来与CDBCD与ACDACD60的面积相等，而扇形ACD的面积为π´2答案】0.5´=0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．360【【例33】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】a与梯形的面积均为a+12´a¸214+梯形三角形右上角不规则部分=大正方形右上角不规则部分=圆．因此阴影部分面积为：3.14´12´12¸4=113.04．方法二：连接、，设与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有S△ADM=S△CMF，所以阴影=S扇形DCF=3.14´12´12¸4=113.04【答案】113.04【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】(法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCDBCD的面积就成了解题的关键．1月牙BCD的面积为正方形的面积减去四分之一圆：6´6-´π´6´6=9；4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：1阴影=66939´10+´-=．2(法2)观察可知和是平行的，于是连接、、．则与面积相等，那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和，也就等于11与扇形的面积之和，为：-6)´6´答案】39+´π´62=39．24【【例34】如图，是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，是半圆的直径．已知==10，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】连接、、平行于M与面积相等，则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和．的面积为：10´10¸2¸2=25；弓形面积：3.14´5´5¸4-5´5¸2=7.125；阴影部分面积为：25+7.125=32.125．答案】32.125【【例35】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】连接小正方形,有图可见阴影=S△ACD+S扇形-S△ABC11212∵∴´2=´4´422=32同理CE2=72，∴´CE=481∴S△ACD=´48=2429012S扇形=π´42=12.56，S△ABC=´4´4=8360阴影=24+12.56-8=28.56答案】28.56∴【【例36】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，r和r．11212阴影部分的面积为：π4r2-πr2+r2r25r2+=，2空白部分的面积为：π4r25r2则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．答案】5:11-=r2，【【例37】(西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π=3.14)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】⑴每个圆环的面积为：π´42-π´2=7π=21.98(平方厘米)；⑵⑶五个圆环的面积和为：21.98´5=109.9(平方厘米)；八个阴影的面积为：109.9-77.1=32.8(平方厘米)；⑷每个阴影的面积为：32.8¸8=4.1(平方厘米)．【答案】4.1【例38】已知正方形的边长为10再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π=3.14)【【【考点】圆与扇形解析】39.25答案】39.25【难度】4星【题型】填空【例39】ABCD是边长为aABBCCDDA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，阴影=4´S半圆-S三角形é2ù1æaö12a=4´ê´p´-´a´úç÷è2øê2ë2úû12=a21【答案】a2【ABCD的边长为4BD为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．1则阴影部分的面积为=×π×42-4´4=8；2解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，1所以阴影部分面积=2（×π×42-4´4¸2=8．4【答案】8【例40】(四中考题)已知三角形是直角三角形，=，=，求阴影部分的面积．【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形的面积之差，所以221æ4ö1æ2ö1阴影部分的面积为：π´ç÷+π´ç÷-´4´2=2.5π-4=3.85(cm2)．2è2øè2ø22【答案】3.85【例41】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和是平方厘米.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】根据容斥原理得100´3-阴影-2´42=144，所以阴影=100´3-144-2´42=72（平方厘米）【答案】72【例42】如图所示，是一边长为的正方形，E是的中点，而F是的中点．以C为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于G，以F为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于HS和S两块面积之差为π-n(cm2)(其中mn为正整数)m+n12之值为何？ESESADAD22SGGSS11HHCC【难度】3星BFB考点】圆与扇形关键词】国际小学数学竞赛F【【【题型】解答14【解析】(法1)SYFCDE=2´4=8cm2，S扇形BCD=´π´42=4π(cm2)，1S扇形BFH=´π´22=π(cm2)，而4S-S=S-S扇形BFH-SYFCDE=4π-π-8=π-8(cm2)，扇形BCD12所以m=3，n=8，m+n=3+8=11．(法2)如右上图，S+1=SBFEA-S扇形BFH=2´4-2´2´π¸4=8-π(cm2)，S+S2=SABCD-S扇形BCD=4´4-4´4´π¸4=16-4π(cm2)，所以，S-S=-π)--4π)=π-8(cm2)，故m+n=3+8=11．12【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答ππ大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：´4´4-´2´2-4´2=3´3.14-8=1.42．44【答案】1.42【例43】如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，1所以不规则部分ABFD的面积为6´4-´π´42=12(平方厘米)，4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，1则有阴影部分面积为´π´62-12=15(平方厘米)．41414方法二：利用容斥原理阴影=S扇形EAB+S扇形BCF-S长方形ABCD=π´62+π´42-4´6=15(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答1122181【解析】阴影部分面积=半圆面积+扇形面积三角形面积=π´()2+π´122-´122=41.04．22【答案】41.04【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】观察可知阴影部分是被以为直径的半圆形和对角线易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形的面积减去扇形的面积，那么我们的思路就很清楚了．因为=45°，4545所以扇形的面积为：´π´AD2=´3.14´52=9.8125(平方厘米)，3603601那么左下边空白的面积为：´5´5-9.8125=2.6875(平方厘米)，221æ5ö又因为半圆面积为：´π´ç÷=9.8125(平方厘米)，2è2ø所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125(平方厘米)．答案】7.125【【例44】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)345°45°33ABAB1.51.531.5【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．92716所以S+S=1.52π-1.5´3¸4+2π-3´3´2¸8=¸4+9¸8=．AB427【答案】16【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】填空面积．é2ù1æ3öè2ø112998所分成的弓形的面积为：êπ´ç÷-2´ú´=π-；ê2ë4úû1611989另一部分的面积为：π´2-2´=π-；8449989927278所以阴影部分面积为：π-+π-π-=1.92375»1.92．168416【答案】1.92【例45】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O、O、O123的面积．(π=3)【【考点】圆与扇形【难度】4星解析】【题型】解答面积减去一个90°扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：1¸ù=´-20´2-é´-¸ù=(平方厘米)，所75S正方形S扇形--éëS-圆42020π2020100π4ûëû正方形4以阴影部分的面积为75´2=150(平方厘米)．【答案】150【例46】一个长方形的长为96l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：9014每个角阴影部分面积为1´1-π´2´=；3601那么圆无法运动到的部分面积为4´=14方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为2´2-3´2=1答案】1【【例47】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以OA2=62.8¸3.14=20．因此：S△AOB=´¸2=OA2¸2=10(平方厘米)．由于是等腰直角三角形，所以AB2=20´2=40．4545因此：扇形的面积=π´AB2´=π´40´=15.7(平方厘米)．360360所以，阴影部分的面积等于：15.7-10=5.7(平方厘米)．答案】5.7【【例48】如图，等腰直角三角形ABC的腰为10AEF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．1而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形=´10´10=50，2则圆的面积为50´8=400【答案】400【例49】如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长．(π=3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．1半圆面积为：´π´102=1571577=150BC=2´150¸20=15．2【答案】15【巩固】三角形是直角三角形，阴影I的面积比阴影的面积小25cm2，=，求的长度．AIII【难度】3星BC【考点】圆与扇形【题型】解答【解析】由于阴影I的面积比阴影的面积小25cm2面积减去半圆面21æ8öè2ø积为25cm2，则直角三角形面积为π´ç÷+25=8π+25(cm2)，2的长度为8π+25´2¸8=2π+6.25=12.53()．答案】12.53【【巩固】如图，三角形是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，长40厘米．求的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答1【解析】图中半圆的直径为，所以其面积为´202´π»200´3.14=628．2ꢀꢀ有空白部分③与①的面积和为628，又②-①=28，所以②、③部分的面积和628+28=656．11有直角三角形的面积为´´=´40´=656．所以=32.8厘米．22【答案】32.8【例50】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．【【【考点】圆与扇形关键词】十三分，入学测试题【难度】3星【题型】解答解析】如下图，设半圆的圆心为O，连接．从图中可以看出，=20，=20-4=16，根据勾股定理可得=12．阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，1为：π´202´-´2)´12=200π-384=244．2【答案】244【例51】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】我们就找到了解决问题的方法了．1112阴影部分面积=小圆面积+中圆面积+三角形面积大圆面积22112121=×π×2+×π×42+´3´4-×π×5222=6【答案】6【例52】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？【考点】圆与扇形解析】阴影=S直角三角形-S半圆【难度】4星【题型】解答´r10´r【，6设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：+=8r221又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为´6´8=24，2所以8r=24，r=31所以阴影=24-´9=24-4.5π2【答案】24-4.5π【例53】大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作Or50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)【【【考点】圆与扇形【难度】3星关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【题型】解答解析】阴影部分的面积，也就是R2-r2=50平方厘米，那么环形的面积为：R2-r2=π(R2-r2)=π´50=157(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答R2r2【解析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有-=25，即R2-r2=50．22则圆环面积为：R2-r2=π(R2-r2)=50π=157(cm2)．【答案】157【例54】已知图中正方形的面积是20(π取3.14)【【【考点】圆与扇形关键词】101中学，考题解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径【难度】3星【题型】填空aa2为，大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)2=a2+a2，得r2=．22所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：r2:a2=π:2，所以大圆面积为：20¸2´π=10π；a小圆的面积与正方形的面积之比为：π()2:a2=π:4，所以小圆的面积为：20¸4´π=5π2圆的面积之和为：10π+5π=15π=15´3.14=47.1(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径aa2为，大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)2=a2+a2，得r2=．22aa2a2a2所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：r2:π()2=r2:=:=2:1，2424即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30´2=60(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a，小正方形的面积是．【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空解析】设图中小正方形的边长为b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a，而从图中1a2=b2+b2=b2b2=a221的面积为a2．21【答案】a22【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为，请问阴影部分的面积为多22少平方厘米？(取π=)7【【【考点】圆与扇形【难度】3星关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【题型】解答解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是π´2-2´2¸2=π-2．内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是π´(22+22)¸4-2´2=2π-4．中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22+22=8，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8´2=16，所以外圈阴影部分的面积是π´16¸4-8=4π-8．22所以阴影部分的面积是7π-14=´7-14=8(平方厘米)．7【答案】8【例55】图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π=3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答æ1è211121ö´÷´6=43ø【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：ç´++332æ4öè2ø∴圆的面积为：πç÷=12.56【答案】12.56【例56】916图中阴影部分的面积大？为什么？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答a【解析】设正方形的边长为ar2raaaa14部共有´个圆，于是这些圆的总面积为：阴影=r2××=a2．2r2r2r2r积就是一定的．由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．【答案】相等【例57】如图，在3´3方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S:S=?12ABDEFS1S2C【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】如右图，仔细观察图形不难发现带形1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形BCD的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．11æè1öæ÷-ç22-π´221öæèπö所以，S的面积=ç2-π´2´´÷=5´ç1-÷；14øè4ø4ø同理可求得带形S2的面积：æπö带形S的面积=曲边三角形BCD的面积曲边三角形BCD的面积=3´ç1-÷；21122è4ø所以，S:S=5:3．12【答案】5:3【例58】如图中，正方形的边长是，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取.14)3【考点】圆与扇形æ【难度】3星【题型】解答3öø【解析】çπ´52´+5´5¸2÷´2=142.75(cm2)．è答案】142.754【【例59】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，是以C为圆心，AC为半径的圆弧．求阴影部分面积．【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】【题型】解答ABC再减去扇形ACB的结果．1半圆面积为´π´152，211三角形ABC面积为´15+15´15=152，又因为三角形面积也等于´2，22所以2=2´152，9014那么扇形ACB的面积为´π´2=´π´2´152．360阴影部分面积阴影=S半圆+S三角形-S扇形121==´π´152+152-´π´2´1524225(平方厘米)【答案】225【例60】和是两个半圆．平行于1阴影部分是多少平方米？(π取3.14)【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】如左下图所示，弓形的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差，为1412π1´π´2-´1´1=-(平方米)，42RSP1O1Q2++1æöè2ø1OR221122π半圆的面积为´π´ç÷=π´=π´=(平方米)，22124244π12π所以阴影部分的面积为-+=´π-=1.07(平方米)．44【答案】1.07【例61】在右图所示的正方形长2厘米扇形是以D为半径的圆的一部分．求阴影部分的面积．2B3A1DC【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答2π11æöè2ø11812【解析】如右图所示，1=´AD2-AD2，S+S=π´ç÷-AD2=π´2-AD2．234222因为2=2AD2=4，所以阴影部分的面积为：π1218121412´AD2-AD2+π´2-AD2=π´2-=π-2=1.14(平方厘米)．24另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形面积之和减去正方形的面积，所π18以阴影部分的面积为´AD2+π´-AD2=1.14(平方厘米)．24【答案】1.14【例62】某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？4【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：222æ4öæ4öæ4öπ-´2+´2¸4´π=6π-8=10.84(cm2)．ç÷ç÷ç÷è2øè2øè2ø【答案】10.84【例63】10平方米每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是平方米．【【【考点】圆与扇形关键词】小学生数学报【难度】4星【题型】解答解析】相等．由A与A'，B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．10¸2=5(平方米)．答案】5【【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？【【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：阴影部分甲=120°的扇形三角形小弓形；阴影部分乙=三角形+小弓形；由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：æ11öè36ø1=圆的面积的ç-÷=圆的面积的1:1．6【答案】1:1【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答解析】影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系．将原题图中的等边三角形旋转30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为、与所对的弓形与弦、扇形中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是0¸2=5(平方米)．1答案】5【【ꢀ巩固】如图，已知三角形是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米．ꢀꢀꢀ=COD==90°．求阴影部分的面积．【【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答解析】直接解决．ꢀꢀꢀꢀ总阴影面积=每块阴影面积´3=(大弓形小弓形)´3．ꢀ关键在于大弓形中三角形的面积，ꢀ设J为弧的中点，则可知是菱形，是正三角形，1152ꢀꢀꢀ所以，三角形的面积=´´26．115213ꢀ所以大弓形的面积：SGJI=π´152-´´2622ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ=235.5-97.5ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ=138．11ꢀꢀ小弓形的面积：SFJE=π´152-´152=176.625-112.5=64.125．42ꢀ【ꢀꢀꢀ所以，总阴影面积=138-64.125´3=221.625(平方厘米)．答案】221.625【例64】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．BOO12A【【考点】圆与扇形【难度】3星解析】阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．【题型】解答由已知条件，若分别连结，，，，OO，如图所示，就可以得到两个等边三角121212形(各边长均等于半径)，则O=O=60°，即B=120°．21212这样就可以求出以O为圆心的扇形的面积，然后再减去三角形B的面积，就得到弓2122形的面积，三角形B的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦，高是OO的一半．212所以，阴影部分面积=2´S扇形2B-SD2Bæè1203601210ö2ø=2´3.14´102´-´17´ç÷11=209-85=124(平方厘米)．3313【答案】124【例65】下图中，=3，阴影部分的面积是【【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空解析】如图可知=3RrR=，r==定理得R2=2r2，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知阴影=小圆-S柳叶===小圆-2S扇形EHF-SVEHF)小圆小圆-2S扇形EHF+2SVEHF-S大半圆+2SVEHF=2SVEHF´=3´3¸2=4.5=【答案】4.5【例66】如图，是平行四边形，=8cm，=10cm=30°CH=分别以CD分别以CB(精确到0.01)【【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答解析】因为四边形是平行四边形，=，=10cm，=30°，所以30°25S扇形EAB=S扇形FCD=102π´=πcm2，33600°16°3S扇形DAM=S扇形BCN=82π´=πcm2．360°3因为平行四边形的高CH=4，所以SYABCD=10´4=40cm2．由图中可看出，扇形与FCD的面积之和，减去平行四边形的面积，等于曲边四边形的面积；平行四边形的面积减去扇形与扇形BCN的面积，等于曲边四边形的面积．则阴影=曲边四边形DFBE-曲边四边形DMBN==2S扇形EAB-SYABCD-SYABCD-2S扇形DAM2´S扇形EAB+-S扇形DAMSYABCDæ25è316öøæ41è3öø=2´π+π-40=2´´3.14-40»5.83cm2．ç÷ç÷3【答案】5.83【例67】如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没有滑动)PPP(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)P【【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答解析】如上图：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可P270ºP点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270°+360°=630°．因为两条线段共长30厘米，所以270º的弧长或者630º的弧长再加上两个半径是30厘米．270606303602r´+2r=30(厘米)，或者2r´+2r=30(厘米)，所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘3米．答案】2.31【【例68】将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.图1【难度】5星图2【题型】解答图3【【【考点】圆与扇形关键词】希望杯¢=¢=¢¢=¢¢=-=¢¢¢´=解析】如图1所示，使ABCDDA1239(厘米)，则正方形AD的面积为9981¢=¢=¢=¢=¢¢¢¢(平方厘米).如图2所示，使CC3(厘米)，则正方形ABCD的面积为112´12-4´´3´(12-3)=90(平方厘米).2¢¢¢=¢=¢=¢¢如图3所示，连结交曲线于点A，使ABBCCDDA.观察图3可知¢¢=¢¢¢¢-=±¢AB121.510.5(厘米).(AB的长度在(10.50.2)厘米之间均可．)于是正方形ABCD的面积为10.5´10.5=110.25(平方厘米).因为81<90<110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.【答案】110.25例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．n圆的面积=r2；扇形的面积=r2´；360n圆的周长=2r；扇形的弧长=2r´．360五、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常111说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角246n的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．360n比如：扇形的面积=所在圆的面积´；3360n扇形中的弧长部分=所在圆的周长´60n扇形的周长=所在圆的周长´+2´半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)360弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)②③④”弯角：如图：弯角的面积=正方形-扇形”谷子：如图：“谷子”的面积=弓形面积´2六、常用的思想方法：①②③④转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)等积变形(割补、平移、旋转等)借来还去(加减法)外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块、曲线型旋转问题【例69】正三角形的边长是6A么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)BACBA【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120°的圆弧，所以路线的总长度为：1202π´6´´2=8π厘米；360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120°的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：201π´62´´2+15=24π+15平方厘米．360【答案】24π+15【巩固】直角三角形放在一条直线上，斜边长20厘米，直角边长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B，C点；再绕B点转动，到111达位置Ⅲ，此时A，C点分别到达A，C点．求C点经C到C走过的路径的长．12212A2CB1Ⅲ0ⅠⅡ630°CABC12【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答180°-30°5【解析】由于为CAB=30°CC为大圆周长的=CC为小1°12360121圆周长的，而CC+CC即为C点经C到C的路径，所以C点经C到C走过的路径的长为1121212451450365π+5π=π(厘米)．26π´20´+2π´10´=1235【答案】π3【和这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．ⅠⅡⅢⅣABCDE【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．这三段路程分别是：1第1段是弧，它的长度是2´π´4´()；141第2段是弧AA，它的长度是2´π´5´()；1241第3段是弧AE，它的长度是2´π´3´()；24111所以A点走过的路程长为：2´π´4´+2´π´5´+2´π´3´=6π()．444【答案】6π【例70】草场上有一个长201030米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答3【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的个圆，B，C分41别是半径为20米和10米的个圆．4341414所以羊活动的范围是π´302´+π´202´+π´102´æè34141ö4ø==π´302´+202´+102´ç÷2512．【答案】2512【巩固】一只狗被拴在底座为边长的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按3.14计算)33【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答【解析】4m300°的扇形与两个半径120°的扇形之和．所以答案是43.96m2答案】43.96．【【例71】如图是一个直径为的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为，圆周率按3计算)．【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】面积=圆心角为60°的扇形面积+半圆空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60°的扇形面积6032=´π´2=π=4.5(cm2)．360【答案】4.5【例72】的斜边长为10厘米，=60°长5B为中心，将顺时针旋转120°A、C分别到达点E、D的位置．求边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)【考点】曲线型旋转问题【解析】注意分割、平移、补齐．【难度】3星【题型】解答如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，因为=60°，那么=120°，1则阴影部分为一圆环的．31所以阴影部分面积为´π´AB2-=75(平方厘米)．23【答案】75【巩固】如右图，以为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星解析】【题型】解答之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边．1因此可以求得，三角形扫过的面积为：24+´π´10´10=24+25π=99(平方厘米)．4【答案】99【巩固】学而思杯数学试题)中，B=2厘米，=4厘米，则在将绕C点顺时针旋转120°的过程中，边扫过图形的面积为．(π=3.14)AAB'BCBCA'【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】如右上图所示，假设旋转120°到达A'B'C的位置．阴影部分为边扫过的图形．于扇形ACA'的面积与的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB'的面积与A'B'C的面积，由于的面积与A'B'C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACA'与扇形BCB'的面120120360积之差，为´π´42-´π´22=4π=12.56(平方厘米)．360【答案】12.56【例73】如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米p=3.14）【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。【题型】解答12因为r2+r2=2，所以r2=。æè11ö÷+2-r2p´14p12p所求面积为ç2p´-2´=-+=0.6775（平方米）42ø48【答案】0.6775【例74】如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4BC=3AC=5AD边扫过部分的面积．(p取3.14)ABDC【考点】曲线型旋转问题【解析】如下图所示，【难度】3星【题型】解答ADDAB\A\D\\A\B\B\\\BBD\CC¢¢¢¢如下图所示，端点A扫过的轨迹为AAA，端点D扫过轨迹为D，而AD之间的点，扫过的¢¢轨迹在以ADAD，AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然,有阴影部分面积为S¢DC+S¢-S-SD,而直角三角形ADCACD面积相等．¢¢S¢DC+S¢-S-SD=S¢-SD9ppp9=AC2-CD2=(52-42)=p=平方厘米)36036044即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．答案】7.065【【例75】(祖冲之杯竞赛试题)如图，是一个长为4为35C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积．ABDC【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答1【解析】容易发现，边和边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如图：4ABDC9π因此DC边扫过图形的面积为4π，边扫过图形的面积为．42、研究边的情况．在整个边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：ADBC下面来求这部分的面积．观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：扇形ACA'面积＋三角形A'B'C面积－三角形面积一扇形BCB'面积＝扇形ACA'面积一扇52π32π形BCB'面积=-=4π443、研究边扫过的图形．由于在整条线段上距离C点最远的点是AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：ADBC52π42π94用与前面同样的方法可以求出面积为：-=π44旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．9π【1）边扫过图形的面积为4（（2）边扫过图形的面积为4π9π3）边扫过图形的面积为4（4）DC边扫过图形的面积为4π【例76】(华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径也运动到了与初始时相对的位置．这时沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到与初始位置重合，这时自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．AOOA⑴⑵【所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．【答案】1圈【25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答解析】如图，同样考虑小圆的一条半径，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径滚动了540°，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．OAAO⑴⑵也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3的周长也是小圆的3本题中小圆自身转了3圈．【答案】3圈【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n>1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【【考点】曲线型旋转问题【难度】3星解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．【题型】解答设小圆的半径为“单位1，则大圆的半径为“n．⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π´(n-．2π´(n-所以小圆绕自己的圆心转动了：=n-1(圈)．2π⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．因为圆心滚动的距离为2π´(n+．π´(n+2所以小圆绕自己的圆心转动了：=n+1(圈)．2π【答案】n-1和n+1【例77】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：