简并态的定态微扰理论.ppt

1、5.2 简并态的定态微扰理论,未微扰态简并时，原微扰公式: 不能用，原因是1)出现分母=0情形；2)零阶态矢可为简并态的叠加。,若取使Vnn（n与n简并）为零的初始态，则上述表达式有可能仍有用。 设有g度简并态|m(0),其展开的子空间为D。D中的态可一般地写为： 记P0为投影到D的投影算符,P1=1-P0则是投影到其他态矢组成的子空间部分的算符.本征方程可写为,分别用P0和P1作用于上式，有 若微扰成立,则要求 且 E 与 不同。上式可解为: 代入第一式,得 考虑能量至一阶，波函数至零阶，可有 此即g维简并子空间的线性方程组，其解即为求 (V=),由此可得零阶态矢和一阶能移: 因采用使V对角

2、化的|m(0)组合,该方法不限于严格简并情形. 将近简并能级并入D可使微扰展开快速收敛。,若微扰使简并完全消除,可将 看作微扰，其对矢态的修正为,P1子空间对一阶态矢修正的贡献： P0|l(1)+P1|l(1)即为完整的一阶态矢修正。 2阶能量修正： 形式与非简并情形类似,但求和限于D外的子空间,上述一阶波函数和二阶能级修成成立的条件是微扰完全消除简并，否则需将 作为微扰，进一步用简并法求其修正。 归纳之，简并态的微扰法为： 1）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵 2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。久期方程本征值为一阶能量修正，本征解为0的零阶本征矢 3）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表

3、达式，但求和不包括D子空间中的态。,简并微扰理论应用举例,一、一阶Stark效应 氢原子的n相同但lm不同的态是简并的，如2s和2p态简并。对V=-ezE，应用简并微扰理论，得微扰矩阵 其中,容易求出 ， 能移与E成线性关系（一阶Stark效应），源于零阶波函数有偶极矩 .,二、原子的精细结构：自旋轨道作用,类似氢的原子如碱金属, 外层电子所受势为非纯库仑形式的中心势. 不同l 的能级分裂立, l 越大能量越高. 自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场 对电子磁矩作用导致 上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。,下面我们取 对H0=p2/2m+Vc(r) ，可选基：

4、|ls;mms或|ls;jmj 由于HLS与J2、Jz对易，选|ls;jmj为基： 由于HLS在nlm下已对角化，故一级能量修正为,HLS对不同 j 产生的能移差正比于(2l+1)和nl 对Na,基态为(1s)2(2s)2(2p)6(3s),3p与3s能量不简并，而HLS使3P1/2和3P3/2进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓Na的两条D线，波长为5890和5896A(黄光) 由于nle2/a03，精细结构的分裂量级为约为Balmer分裂(e2/a0)的2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正同量级.,三、Zeeman效应,均匀磁场可由矢势A=(Bxr)得出。取B沿z方向, 电子的

5、H(除自旋项外)： 因A无散，Ap+pA=2Ap=BLz, A2=B2(x2+y2) 故 B2 项一般可忽略,考虑电子自旋磁矩与磁场的作用，可将H分为：,将HB作为微扰，采用H0+HLS的J2,Jz本征态为基矢，则一阶能移为： Sz的期待值可求出为 得 此即Zeeman效应,如果HB比HLS大很多，则应用H0+HB作零阶H，而将HLS作为微扰，并用|l,s=;ml,ms为基。 由于 原2(2l+1)简并的H0态分裂,新简并态具有相同ml+2ms 由于 此时ml+2ms简并的态进一步分裂,微扰方法的选取： 由于 据B的大小，可定出应用H0+HLS，还是H0+HB的本征态为基。 对HBHLS的B，则应以简并态微扰形式处理HB+HLS,四、Van der Waals作用,对远距离的两中性体系,由于诱导电偶极矩的作用,其相互吸引势具为1/r6的形式，称为Van der Waals作用。 例如 两氢原子相距r， H=H0+V,零级解的基态为 将V按ri/r展开， 首项对