动量矩定理12 章.ppt

1、第十二章 动量矩定理,问题的提出：,图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有,可见：,动量只能反映刚体随质心运动的强弱，不能反映刚体绕质心转动运动强弱。,本章基本内容：,1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算；,2. 质点、质点系对于固定点和固定轴的动量矩定理；,3. 刚体定轴转动微分方程及其应用。,4. 转动惯量概念及计算。,12 1 质点和质点系的动量矩,一、质点的动量矩,对点的动量矩,力对点O之矩：,质点的动量对点O之矩, 质点的动量对O点的动量矩, 固定矢量,指向：按右手法则确定,几何表示：, 度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量,对轴的动量矩,类似于力对点之矩与力对轴之矩的关

2、系：,质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：,质点的动量 mv 对 x 轴之矩 代数量。,其正负由右手法则确定。,动 量 矩 单位（SI）：,二、质点系的动量矩,对点O 的动量矩,质点系各质点的动量对某点O 之矩的矢量和 质点系对O 点 的 动 量 矩,对轴的动量矩,质点系各质点的动量对某轴之矩的代数和 质点系对某轴的动量矩,三、定轴转动刚体对转轴的动量矩,取质点Mi :,质点Mi 对转轴 z 的动量矩:,刚体 对转轴 z 的动量矩:,记:, 称为刚体对转轴z的转动惯量,定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。,12 2 动量矩定理,一、质点动量对固定点

3、的动量矩定理, 质点动量对某固定点O 的矩,将上式两边对时间求导，有,由于O点为固定点，r 为绝对运动矢径，有,另一方面由质点的动量定理：,将上述关系代入，有,质点的动量对任一固定点的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定点的矩。, 质点对固定点的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,将上式两边同时向坐标轴投影，有,质点的动量对任一固定轴的矩随时间的变化率，等于质点所受的力对该固定轴的矩。, 质点对 固定轴 的动量矩定理,三、动量矩守恒定理,（1）若：,质点的动量对该固定点的矩矢保持不变。,（2）若：,若作用于质点的力对某固定点（或轴）的矩恒等于零，则质点的动量对该固定点（或轴）的矩保持不

4、变。, 动量矩守恒定理,有心力：,力的作用线始终过某一固定点的力，该点称为力心。,有心力作用下的质点，对力心的动量矩矢始终保持不变（大小、方向）。,试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。,O,v,A,例 题,把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，设其质量为 m，摆线长 l 。又设在任一瞬时质点 A 具有速度 v ，摆线 OA 与铅垂线的夹角是 。,通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理,由于动量矩和力矩分别是,解：,和,例 题,从而可得,化简即得单摆的运动微分方程,例 题,一、对固定点的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,三、动量矩守恒定理

5、,（1）若：,（2）若：,质点系的动量矩定理,一、对固定点的动量矩定理,质点系：n个质点,质点 Mi ：, 外力, 内力,由质点对固定点的动量矩定理，有,简写成：,n个方程,将上述方程组两边相加,考虑到：,有：,（内力系的主矩恒等于零）,质点系对任一固定点的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定点矩的矢量和（主矩）。 质点系对固定点的动量矩定理,二、对固定轴的动量矩定理,将式向固定坐标轴投影，得,质点系对任一固定轴的动量矩随时间的变化率，等于质点系所受外力对该固定轴矩的代数和（主矩）。 质点系对固定轴的动量矩定理,注：,与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩,三、质点系动量

6、矩守恒,（1）若：,（2）若：,（各力与z轴平行或相交）, 质点系动量矩守恒定理,质点系的动量矩,对点O 的动量矩：,对轴的动量矩：,定轴转动刚体对轴的动量矩,注意：, 动量矩的转向与角速度转向一致,质点系的动量矩定理,对点固定点O 的动量矩定理,注：,与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩,对固定轴的动量矩定理,动量矩守恒定理,守恒条件：,例：,高炉上运送矿料的卷扬机。半径为 R 的卷筒可绕水平轴O 转动，它关于转轴 O 的转动惯量为 J 。沿倾角为 的斜轨被提升的重物A 质量为m 。作用在卷筒上主动转矩为 M 。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。,解：,(1) 研究对象 卷

7、筒与重物A 整个系统,(2) 受力：（所有外力）,(3) 分析运动，计算系统对轴O的动量矩：, 以顺时针方向为正,(4) 外力对轴O 的矩：,对重物A，有,(5) 代入动量矩定理：,方向与速度方向相同,两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴 O的转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 (图a)，且 m1 m2。试求鼓轮的角加速度。,例 题,解:,取鼓轮，重物 A , B 和绳索为研究对象(图b)。对鼓轮的转轴 z (垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，有,系统的动量矩由三部分组成，等于,考虑到 v1 = r1 ， v2

8、 = r2 ，则得,外力主矩仅由重力 m1g 和 m2g 产生，有,例 题,将表达式 (b) 和 (c) 代入方程 (a)，即得,从而求出鼓轮的角加速度,方向为逆钟向。,例 题,解：取系统为研究对象,应用动量矩定理,小 结,1.动量矩,质点对固定点的动量矩,质点对固定轴的动量矩,质点系对固定点的动量矩,质点系对固定轴的动量矩,定轴转动刚体,注意：,2.质点系的动量矩定理,对点固定点O 的动量矩定理,注：,与动量定理类似，质点系的内力不影响质点系总动量矩,对固定轴的动量矩定理,3.动量矩守恒定理,守恒条件：,解：取系统为研究对象,系统对z轴的动量矩守恒,受力分析：,例：,均质圆盘，其绕轴O的转动

9、惯量为J ，可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为 m2 的人由 B 点按规律 沿距 O 轴半径为 r 的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。,解：,圆盘与人一起 研究对象,受力分析：,动量矩关于 z 轴守恒,计算质点系的动量矩：,初始时：,任意瞬时：,负号说明实际转向与图中相反,134 刚体对轴的转动惯量,一、定轴转动刚体对转轴的动量矩,刚体各质点的质量与它们到转轴 z 垂直距离的平方的乘积之和,定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于其转动惯量与角速度的乘积，转向与角速度的转向相同。,二、转动惯量的基本概念, 称为刚体对转轴 z 的转动惯量,转动惯量 Jz 的特点：,J

10、z 0, 恒正的标量,影响 Jz 的因素：,与转轴 z 的位置有关；,与质量 mi 的分布有关；,改变 Jz 的方法：,1. 改变质量（密度）；,2. 改变质量分布情况。,Jz 的物理意义：, 物体转动运动惯性的度量,Jz 的单位（SI）：,三、转动惯量的计算,1. 积分法,由定义：,可得, 适用于质量连续分布，几何形状简单的物体。,若已知密度函数：,则有,常见规则形状的均质物体，转轴过质心 C 的 Jz 由有关工程手册查得。,（1）均质细杆,杆长 l,单位长度的质量为,微段的质量：,杆的总质量：,（2）均质圆环,（3）均质圆板,取同心圆环研究：,（4）圆板对 x ，y 轴的转动惯量,由于圆板

11、对称：,2. 组合法, 代数和,如：, 适用于均质、简单形状组合的物体,3. 转动惯量的工程实用计算公式, m为刚体的质量；z 为回转半径。,注意：, z 回转半径。,（假想将刚体的质量全部集中离转轴距离z 的质点上，而此质点对轴 z 的转动惯量 Jz 与原刚体对轴 z 的转动惯量 Jz 相同。）, 其中 m 、Jz 由计算或实验测定，然后反算z 。,（注意： z 并不是质心 C 到转轴的距离）,四、转动惯量的平行轴定理,设 z 轴过刚体的质心C，z与z轴平行，两轴间的距离为 h ，由转动惯量的定义，有,将,代入，有,由质心坐标的计算公式，有, 转动惯量的平行轴定理,均质杆，质量 m,均质圆盘

12、，质量 m,几点说明：, 轴 z 与轴z 必须平行；, z 轴必须过质心 C ；, 过质心 C 的转动惯量最小。,刚体对于任意轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,例 题,133 刚体定轴转动微分方程,设定轴转动刚体作用有力：F1、F2、Fn，转动角速度：，转动惯量：Jz ，其绕轴的动量矩, 其转向与 相同,代入动量矩定理，有, 刚体定轴转动微分方程,（转动定理）,刚体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用于刚体上的所有外力对转轴矩的代数和。,讨论：,（1）方程建立了与 Mz 的瞬时关系,（须在任意瞬时建立方程）,（2）,

13、匀变速转动, 匀速转动, 角速度 取极值,（3）,则有, 此时 取决于Jz,Jz 大,小, 说明转动运动状态不易改变,Jz 小,大, 说明转动运动状态容易改变, 惯性大, 惯性小,Jz 是刚体转动运动惯性的度量,应用：,（1）已知外力矩 Mz ，求 、 、 = (t) 。,（2）已知 、 、 = (t) ，求与力矩 Mz 有关的量（力、距离等）。,如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度 。,例 题,根据刚体绕定轴的转动微分方程有,于是得,由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉

14、力才是相等的。,解：,例 题,飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度O绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。,O,O,例 题,以轮为研究对象。,将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得,由此解得,解：,O,O,F,FN,FOx,FOy,W,例 题,列刚体的转动微分方程为,（取逆时针方向为正）,例：,复摆（物理摆）如图。已知摆的重量为W，摆关于转轴O 的转动惯量为 JO ，悬挂点（轴）O 到质心的距离为 a ，求：复摆作微幅摆动时的运动规律。,解：,运动分析：,任意瞬时 OC 与x轴的

15、夹角为,（注： 以增大方向为正转向）,建立定轴转动微分方程，并求解,（1）,两边同除以 JO ，并整理得,（2）,当作微幅摆动（ 很小）时，,（3）,其解为：,（4）,式中：,常数 A、 由初始条件确定。,注意：,方程两边正转向规定必须一致。,例：,高炉上运送矿料的卷扬机。均质卷筒半径为 R，重量为G 。沿倾角为 的斜轨被提升的重物A 重 W 。作用在卷筒上主动转矩为 M 。斜面与重物间摩擦因素为，绳重可不计。试求重物的加速度。,解：,(1) 研究对象 卷筒O,（1）,(2) 研究对象 重物A,（2）,（3）,（4）,(3) 运动学关系：,（5）,联立求解，得,例：,图示系统。均质圆轮 A ：质量 m1 ，半径 r1，以角速度绕轴A 转动；均质圆轮 B：质量 m2，半径 r2，绕轴 B 转动，初始静止；现将轮 A 放置在轮 B