数值分析(研)试题答案

1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012 学年 第一学期课程名称：数值分析出题人 : 王吉波审核人 :一、填空题（本题40 分 每空 4 分）1设 l j (x) ( j0,1, n) 为节点 x0 , x1 , xn 的 n 次基函数，则 l j ( xi )1, ij 。0, ij2已知函数 f (x)x2x1，则三阶差商 f 1, 2, 3, 4 =0。当n=3时，牛顿-柯特斯系数(3)1(3)(3)3 ，则 C3(3)1。3C0, C1C28884用迭代法解线性方程组 Ax=b时，迭代格式 x (k1)Bx( k)f , k0,1,2,收敛的充分必要条件是( B) 1 或 B

2、 的谱半径小于 1 。5设矩阵 A12，则 A 的条件数 Cond (A) 2 = 3。216. 正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005cm 才能使其面积误差不超过1 cm 2 。11 f (0)A1 f ( x1 ) 具有 27. 要使求积公式f (x)dx次代数精确度，则04x12/3， A13/4。8.用 杜 利 特尔（ Doolittle） 分解 法分 解ALU，9189- 271000210018450- 45其中 A，则L1 - 2 10，901269227- 45913531139189- 2709- 189U0815400009二、（ 10分）已知由数

3、据 （ 0,0 ），（ 0.5 ，y），（ 1,3 ）和（ 2，2）构造出的三次插值多项式 P3 (x)的 x3 的系数是 6，试确定数据 y。答案：利用Lagrange 插值多项式，P3 ( x)L3 (x)f ( x0 )l 0 ( x)f (x1 )l1 ( x)f ( x2 )l 2 (x)f (x3 )l 3 ( x)及基函数的表达式可知x3 的系数为f (x0 )+f (x1 )(x0x1 )( x0 x2 )( x0x3 )x0 )( x1x2 )( x1x3 )( x1+f ( x2 )+f (x3 )x0 )( x2x1 )( x2x0 )( x3x1 )( x3x2 )(

4、x2x3 ) ( x3（ 5 分）代入有关数据得60y32(0.5)(1.5)1 0.5( 1) 21.510.5解得 y=4.25.（ 5 分）三、（ 15 分）试导出计算1 (a0) 的 Newton 迭代格式，使公式中（对xn ）既无开方，又无a除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算1 (a0) 等价化为求 a10 的正根。ax2而此时有12f (x) ax 2 , f ( x)x3 ，（ 5 分）故计算1 (a0) 的 Newton 迭代格式为a1axn23a 33a2（ 5分）xn 1xn22 xn2 xn( 22 xn ) xnxn3迭代函数3a 2) x, x*1x)33ax2|

5、 ( *) | 01，故迭代法局部收( x) (x, (22x22a（5 分）敛。四、（ 15分）已知 x01 , x11 , x23 。424（ 1）推导出以这 3 个点作为求积节点在 0 ， 1 上的插值型求积公式；（ 2）指明求积公式所具有的代数精确度；1（ 3）用所求公式计算x2 dx 。0答案：（ 1）过这 3 个点的插值多项式P2(x x1 )( x x2 )( x x0 )( x x2 )( x x0 )( x x1 )(x)f ( x0 )f ( x1 )f (x2 ) 故(x0 x1 )( x0x2 )( x1 x0 )( x1 x2 )( x2 x0 )( x2 x1 )1

6、120f ( x)dxP2 (x)dxAk f (xk ) ，其中0k 013A01 ( x x1 )( x x2 )1 (x2)( x)20 ( x0x1 )( x0dx4dxx2 )0 11 1 33(2)()1 , A22444A1，故所求的插值型求积公式为33111130f ( x)dx2 f ( )f ( )2 f ( )3424（ 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有 f (x) x3 , x4 代入上述求积公式，有1x3dx12( 1 ) 3( 1 )32( 3 ) 3 1403424x4 dx112( 1 ) 4( 1 )42( 3 ) 4 1503424故上述

7、求积公式具有3 次代数精确度。1（ 3）x2 dx1 2( 1) 2( 1) 22( 3 )2 103424320x12x23x324五、（ 10 分）给定方程组x18x2x3122x13x215x330（5 分）2 次代数精确度。再将（ 5 分）（ 5 分）判定 Jacobi和 Gauss-Seidel方法的收敛性。0131020答案： Jacobi 迭代矩阵为 BJ101；（ 2分）88210155由于(BJ )11 ，故 Jacobi迭代收敛。（ 3分）310240360Gauss-Seidel迭代矩阵为 BG030255；（ 2 分）24000383故 (BG )11，故 Gauss-Seidel 迭代收敛。（ 3 分）41六、（ 10 分）定义内积 ( f , g)span1, x 2 , x 4 中寻求对于f ( x) g(x)dx ，试在 H 11f(x)| x | 的最佳平方逼近多项式p( x) 。222a0135答案：取 01,1x2 , 2x 4 ，经计算得法方程组为222a11 。（