多维随机变量与条件随机变量课件

1、多维随机变量与条件随机变量,1,第一章 概率论基础,1.1 概率公理与随机变量 1.2多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数 1.6 典型分布 1.7 随机变量的仿真与实验,多维随机变量与条件随机变量,2,1.2 多维随机变量与条件随机变量,定义 在某些情况下，随机实验的基本可能实验结果经过两个或两个以上的实函数映射，得到两个或两个以上的随机变量，比如 ，这些随机变量组成的向量称为n维随机变量（或向量）：,多维随机变量与条件随机变量,3,n维随机变量（或向量）,1.2 多维随机变量与条件随机变量,多维随机变量与条件随机变量,4,1.

2、2 多维随机变量与条件随机变量,二维随机变量的概率分布函数 二维随机变量Z的概率分布函数是其分量随机变量X与Y 的联合概率分布函数。其定义为 ： 这里，X或Y的概率分布函数 或 称为 的边缘概率分布函数。,多维随机变量与条件随机变量,5,二维随机变量的概率分布函数,多维随机变量与条件随机变量,6,联合概率分布函数FXY(x,y)的性质,性质1：区间概率特性 性质2：极限取值特性,多维随机变量与条件随机变量,7,联合概率分布函数FXY(x,y)的性质,性质3：单调递增性 性质4：边缘概率分布,多维随机变量与条件随机变量,8,二维随机变量的概率密度函数fXY(x,y),定义：二维随机变量的概率密度

3、函数 二维随机变量Z的概率密度函数，就是其分量随机变量X和Y的联合概率密度函数或简称二维概率密度函数。 这里，X或Y的概率密度函数 或 称为 的边缘概率密度函数(marginal probability density function)。,多维随机变量与条件随机变量,9,二维随机变量的概率密度函数fXY(x,y)的性质,性质1：区间概率特性 性质2：非负性,多维随机变量与条件随机变量,10,二维随机变量的概率密度函数fXY(x,y)的性质,性质3：归一性 性质4：边缘概率特性,多维随机变量与条件随机变量,11,二维随机变量的概率密度函数fXY(x,y)的性质,D.r.v联合分布律来描述， 密

4、度函数由多维冲激函数组成，形如 联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如,多维随机变量与条件随机变量,12,多维随机变量,类似的，对于多维随机变量 n维联合概率分布函数和密度函数分别为：,多维随机变量与条件随机变量,13,1.2 多维随机变量与条件随机变量,给出观察系统工作情况的样本空间和随机向量(X1, X2)的联合样本空间SJ，并指出和SJ中事件的对应关系； 计算的(X1, X2)概率密度函数。,多维随机变量与条件随机变量,14,1.2 多维随机变量与条件随机变量,多维随机变量与条件随机变量,15,1.2 多维随机变量与条件随机变量,多维随机变量与条件随机变量,16,1.2 多维随机变量与条件

5、随机变量,多维随机变量与条件随机变量,17,多维随机变量与条件随机变量,18,1.2 多维随机变量与条件随机变量,多维随机变量与条件随机变量,19,1.2 多维随机变量与条件随机变量,多维随机变量与条件随机变量,20,例1.8 二维正态分布,二维正态分布 的二维概率密度函数为: 求f ( x ) 与f ( y )。,多维随机变量与条件随机变量,21,例1.8 续,解：指数部分可写成,多维随机变量与条件随机变量,22,1.2 多维随机变量与条件随机变量,它们是一维正态分布,多维随机变量与条件随机变量,23,1.2 多维随机变量与条件随机变量,条件事件形如：,多维随机变量与条件随机变量,24,1.

6、2 多维随机变量与条件随机变量,条件随机变量的概率分布与密度函数： 对于点事件,多维随机变量与条件随机变量,25,1.2 多维随机变量与条件随机变量,全概率公式： 贝叶斯公式： 链式公式:,多维随机变量与条件随机变量,26,随机变量的独立性 Independence 及其判决条件,定义：两个随机变量统计独立 统计独立的充要条件,多维随机变量与条件随机变量,27,随机变量的独立性及其判决条件,k个随机变量 统计独立的判别条件,多维随机变量与条件随机变量,28,1.2 多维随机变量与条件随机变量,例1.8 二维正态分布 Normal/Gaussian 求（1）f( y|x ); （2）X与Y之间的独立性。,多维随机变量与条件随机变量,29,1.2 多维随机变量与条件随机变量,解：（1） 条件分布是一维正态分布 （2） X与Y独立的充要条件是：,多维随机变量与条件随机变量,30,1.2 多维随机变量与条件随机变量,例1.9 二维均匀分布 求：,多维随机变量与条件随机变量,31,1.2 多维随机变量与条件随机变量,解：根据例1.6的结果，由定义有， 任意给定 ，条件事件 服从均匀分布 ，比如 即条件