正切函数的定义、图象和性质

1、课题：正切函数的定义、图像及性质一、 教学目标：a) 知识与技能（ 1）了解任意角的正切函数概念； （ 2）理解正切函数中的自变量取值范围； （ 3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像； （ 5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质； （ 6）能熟练掌握正切函数的图像与性质； （ 7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。b) 过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念； 在此基础上，比较三个三角函数之间的关系； 让学生通过类比， 联系正弦函数图像的作法， 通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像； 能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导

2、公式和正切函数的性质。c) 情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点 :正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点 :熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、 余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可

3、以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。教学用具 : 投影机、三角板一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。【探究新知】1 正切函数的定义在直角坐标系中，如果角满足：R， k(k Z) ，那么，角的终边与单2位圆交于点P（a， b），唯一确定比值b . 根据函数定义，比值 b 是角的函数，我们把它叫aa作

4、角的正切函数，记作ytan ，其中R， k， kZ.2比较正、 余弦和正切的定义，不难看出： tan sin( R， k，kZ).cos2由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A（ 1,0 ），任意角y30 ToxA210的终边与单位圆交于点P，过点 A（ 1 ,0 ）作 x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。从图中可以看出：当角位于第一和第三象限时，T 点位于 x 轴的上方；当角位于第二和第四象限时，T 点位于 x 轴的下方。P分析可以得知，不论角的终

5、边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段 AT为角的正切线。2正切函数的图象（ 1）首先考虑定义域： xkkz2（ 2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：sin xsin x, k ztan xtan x x R,且 x kcos xcos x2 ytan x xR, 且 xk, kz 的周期为 T（最小正周期）2（3）因此我们可选择,的区间作出它的图象。22yOx22根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytan xxR ，且 xkkz 的图像，称“正切曲线”y2303x2222从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x k(k Z) 隔开的无穷多支2曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。3正切函数y tanx 的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：x | xk, kz，2（2）值域： R观察：当 x 从小于 kkz ， xk时，22当 x 从大于k kz ， xk时，22（3）周期性： Ttan xtan x。（4）奇偶性：tanxtan x 奇函数。（ 5）单调性：在开区间k,kkz 内，函数单调递增。22二、归纳整理，整体认识（ 1）请学生回顾本节课所