计量作业第2章一元线性回归模型

1、第二章一元 性回 模型1、 最小二乘法 随机 差 u作了哪些假定？ 明 些假定条件的意 。答：假定条件：(1)均 假 ： E(u i)=0,i=1,2, ；(2)同方差假 ： Var(u i)=Eu i -E(u i)2=E(u i2 )=u2 ,i=1,2, ；(3)序列不相关假 ： Cov(u i,uj)=Eu i-E(u i)u j -E(u j)=E(u iuj)=0,i j,i,j=1,2, ；(4)Cov(u i ,Xi)=Eu i-E(u i)X i-E(X i)=E(u iXi)=0；(5)u i服从正 分布 , ui N(0, u2)。意 ：有了 些假定条件，就可以用普通最小

2、二乘法估 回 模型的参数。2、 述 本回 模型 合 度的 及回 系数估 著性 的步 。答： 本回 模型 合 度的 ： 可通 离差平方和的分解、 本可决系数、 本相关系数来 。回 系数估 著性 的步 ：(1)提出原假 H0 ： 1=0；(2) 假 H1 ：10；(3) 算 t=1/S1 ；(4) 出 著性水平 ， 自由度 v=n-2 的t分布表，得 界 t/2(n-2) ；(5)作出判断。如果 |t|t /2(n-2) ，拒 H0 ，接受 H1 :10，表明 X对 Y有 著影响。4、 明 什么 ei 2的自由度等于 n-2 。答：在模型中，自由度指 本中可以自由 的独立不相关的 量个数。 当有

3、束条件 ，自由度减少，其 算公式：自由度 = 本个数 -受 束条件的个数，即 df=n-k 。一元 性回 中 SSE 残差的平方和，其自由度 n-2, 因 算残差 用到回 方程， 回 方程中有两个未知参数 0和1，而 两个参数需要两个 束条件予以确定，由此减去 2，也即其自由度 n-2 。5、 明 本可决系数与 本相关系数的关系及区 ， 以及 本相关系数与 1的关系。答： 本相关系数 r的数 等于 本可决系数的平方根，符号与 1相同。但 本相关系数与 本可决系数在概念上有明 的区 ， r建立在相关分析的理 基 之上，研究两个随机 量 X与 Y之 的 性相关关系； 本可决系数 r2建立在回 分析

4、的理 基 之上，研究非随机 量 X 随机 量 Y的解 程度。6、 已知某市的 物运 量 Y(万吨 )，国内生 GDP( 亿元， 1980 年不 价 )19851998 年的 本 下表 (略)。Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/28/13Time: 10:25Sample: 1985 1998Included observations: 14VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP26.954154.1203006.5417920.0000C12596.271244.567

5、10.121010.0000R-squared0.781002Mean dependent var20168.57Adjusted R-squared0.762752S.D. dependent var3512.487S.E. of regression1710.865Akaike info criterion17.85895Sum squared resid35124719Schwarz criterion17.95024Log likelihood-123.0126Hannan-Quinn criter.17.85050F-statistic42.79505Durbin-Watson st

6、at0.859998Prob(F-statistic)0.000028(1) 一元线性回归方程Yt=12596.27+26.95415GDPt(2) 结构分析 1 =26.95425 是样本回归方程的斜率， 它表示某市货物运输量的情况，说明货物运输量每增加 1 亿元，将 26,95425 用于国内生产总值； 0=12596.27 是样本回归方程的截距， 它表示不受货物运输量影响的国内生产总值。(3)统计检验 r2=0.78 说明总离差平方和的 78 被样本回归直线解释，有 22没被解释，说明样本回归直线对样本点的拟合优度还是比较高的。显著性水平 =0.05 ，查自由度 v=14-2=12 的

7、t 分布表，得临界值t0.025 (12)=2.18(4)预测区间 19802000obsGDPRESIDYYFYFSE198019811982198319841985161.691294.518170471381824916954.481829528621837.8050429478071986171.071317.6882638304891852517207.311736169511827.8522585717681987184.07842.28434204673981840017557.715657953261815.3290745659511988194.75-1152.5859567

8、725241669317845.585956772531806.1647435845771989197.86-2386.4133565223311554317929.413356522331803.6891930532051990208.55-2288.5531968198881592918217.553196819891795.8513778573231991221.06-246.74958616717411830818554.749586167181788.0138737937551992246.92-1729.783849038541752219251.783849038541776.4

9、503159894641993276.81582.8262138154242164020057.173786184581770.9956488707011994316.382658.9810427230552378321124.018957276941776.9262940212641995363.521645.3625140395232404022394.637485960481803.3104801280861996415.51337.01636838282142413323795.983631617181855.6949869099331997465.78-60.968643007108

10、762509025150.968643007111927.7472141730071998509.1-1813.6223269818824505 26318.622326981882004.9827372665981999200062029307.837321275562255.639096466328单个值预测区间 Y2000 29307.84-2.10 2255.64,29307.84+2.10 2255.64 均值预测区间 E(Y2000 ) 29307.84-2.10 2255.64,29307.84+2.10 2255.64 8、查中国统计年鉴，利用 19782000 的财政收入和

11、GDP 的统计资料，要求以手工和 EViews 软件。(1)散点图100,00080,00060,000PDG40,00020,0000010,00030,00050,00070,00090,000YDependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/29/13Time: 16:40Sample: 1978 2000Included observations: 23VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP0.9860970.001548637.03830.0000C174.417150.3

12、95893.4609390.0023R-squared0.999948Mean dependent var22634.30Adjusted R-squared0.999946S.D. dependent var23455.82S.E. of regression172.6972Akaike info criterion13.22390Sum squared resid626310.6Schwarz criterion13.32264Log likelihood-150.0748Hannan-Quinn criter.13.24873F-statistic405817.8Durbin-Watso

13、n stat0.984085Prob(F-statistic)0.000000一元线性回归方程Y=174.4174+0.98GDP t经济意义 国名收入每增加 1 亿元，将有 0.98亿元用于国内生产总值。(2)检验r2=99 ，说明总离查平方和的99被样本回归直线解释， 仅有 1未被解释，所以说样本回归直线对样本点的拟合优度很高。显著性水平 =0.05 ，查自由度v=23-2=21的 t分布表，得临界值t0.025 (21)=2.08 。(3)预测值及预测区间obsYYFYFSEGDP3768.93952756178.87990788719783645.2000336163645.24180

14、.53660248178.77407772819794062.6676494174062.64545.600000004656.82167002178.6544531234545.60000000198000013003736600014998.01138714178.5706344694891.6000000019814889.50059031800014998.01138714178.5706344694891.6000000019824889.50059031800015423.80826532178.4682301135323.3999999919835330.525588803999

15、96054.22036403178.32110832619845985.6046162425962.77282.30612616178.04995048419857243.8220389017208.19040.700000009065.07170297177.692806300198600011249931901612065.3717992177.189939863198712050.61504891612058.610306.7656098177.469705227198810274.48973405810275.212065.3717992177.189939863198912050.6

16、1504891612058.615008.0838044176.817239439199015036.87724131815042.816930.4807799176.638587454199117000.96771027716992.318582.6870546176.526126442199218718.31982387818667.835017.0857379177.4791848851993352608564403835333.921653.0986794176.418239372199421826.23883446321781.526723.6117586176.5282689811

17、99526937.37555976926923.535017.0857379177.4791848851996352608564403835333.947702.2433131180.747077071199748108.51228159648197.960122.9295526185.968135704199859810.50078457960793.788604.7765912204.561247885199988479.26783819189677.170361.4807487191.661404210200070142.51261209271176.6104413.792272218.

18、176634678200191221298105709 个 的 区 Y2000 104413.8-2.07 218.2 ，104413.8+2.07 218.2 均 区 E(Y2000 ) 104413.8-2.07 218.2 ，104413.8+2.07 218.2第三章多元 性回 模型2、 二元 性回 模型Yi= 0+1 X1i+2 X2i+ui，i=1,2,3 ， n 作回 分析：(1)求出未知参数 0 ， 1 ， 2 的最小二乘估 量 0 ， 1 ， 2；(2)求出随机 差 u 的方差 2 的无偏估 量；(3) 本回 方差 合 度 ；(4) 体回 方程的 著性 行 F ；(5) 1

19、， 2 的 著性 行 t ；(6) 当 X0 =(1， X10， X20 ) ，写出 E(Y 0/X 0)的置信度 95%的 区 。ur0uruuruuruur ur=1 答： (1)由公式 =（）1X Y 可得出0 ， 1 和2。其中2 ，X X3X1iX2iYiX X X1iX1i 2X 2i X1i X Y X1i Yi X 2iX1i X2iX1i2，X 2i YiESS2ei(2)2=随机 差 的方差的无偏差估 量 n-k-1 n-k-1(3) 求出 本可决系数R2R-squared ，修正 本可决系数 2比 R22R =Adjusted-squared,和 R 大小关系，即可得出

20、本回 方差 合 度。(4)提出 的原假 H 0： i= 2=0，H 1:至少有一个i不等于 立假 零（ i=1, 2），由 意得 F的 量 F-statistic。 于 定的 著性水平,；从附录 4 的表 1 中，查出分子自由度为f1 ，分母自由度为 f 2 的 F 分布上侧位F （ f ,，f ）F （ f ,， f ）数0.0512。由 F-statistic 与0.0512的值大小关系，可得显著性关系。(5)提出检验的原假设H 0： i =0， i=1,2 ，求出 t 统计量 ti -statistic 。对于给定的显著性水平=0.05, ；从附录 4 的表 1 中，查出 t 分布的自由

21、度为 f的 t 分布双侧位数t0.05（ f ）ti-statistic 与t 0.05（ f ）。比较值的大小关系， 可得检验结果的显著性关系。(6)E(Y O XO)的预测区间： (Y0 -t/2(v)?S(Y0 ),Y0+t /2(v)?S(Y0 ) ；YO 的预测区间： (Y0-t /2(v)?S(e 0),Y 0+t /2(v)?S(e0)3、经研究发现，学生用于购买书籍及课外读物的支出与本人受教育年限和其家庭收入水平有关，对 18 名学生进行调查的统计资料如下表所示 (略)。Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/29/

22、13Time: 22:18Sample: 1 18Included observations: 18VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.X20.4022890.1163593.4573190.0035X1104.30816.40970916.273450.0000C-0.96298030.32507-0.0317550.9751R-squared0.979722Mean dependent var755.1556Adjusted R-squared0.977019S.D. dependent var258.6819S.E. of regre

23、ssion39.21512Akaike info criterion10.32701Sum squared resid23067.39Schwarz criterion10.47541Log likelihood-89.94312Hannan-Quinn criter.10.34748F-statistic362.3656Durbin-Watson stat2.561545Prob(F-statistic)0.000000回归方程 Y=-0.96+104.3X1+0.4X2(2)检验设原假设H0 ： i=0i=1,2根据上表中的计算结果知： S( 1 )=6.409709S( 2)=0.116

24、359将 S( )和 S( 2)的值代入检验统计量式中，得1t2= S( )=3.4561T1= S( 1)=16.2735212对于给定的显著水平 =0.05 ，自由度为 v=15 的双侧分位数 t0.05/2 =2.13 。因为t1t0.05/2 t2t0.05/2 ，所以否定 H0：1 0，H0 ：2 0，即可以认为受教育年限和家庭收入对学生购买书籍以及课外读物有显著性影响。(3) R2=RSS/TSS=0.979722R2=1-(1-R2)n-1/n-k-1=0.97702(4)预测区间obsYYFYFSEX2X148517365506621450.52648

25、4408171.24486.34804179042.10363828282507.710217697174.24602.76501018441.60234303783613.949776757204.35504.24990259941.39814289674563.418881567218.74504.53150490441.39212417825501.505097067219.44825.90378190542.97924483696781.589650921240.47541.799999999526.29534017941.41179733767999981699013273.5463

26、955748283418611.1098582294.851174.9535425847.476863243191222.156119662330.210863.19597284940.689700528910793.276936574333.17667.81514260741.632322169411660.8628612193665766.04864788840.412719019712792.707583422350.96560.24853236643.309873220813580.903977763357.94664.99911955941.45455915

27、5114612.7008447813595878.80478631940.553079882815890.826516174371.971112.9260479342.495886074316112102836637435.391044.2607846643.6391801181171094.20354712523.981285.1405015846.399158639318125380579679604.1101235.2164358244.1250725573196087282348010单个值的预测区间Y1235.216-2.13 44.125 ， 1235.216+2.13 44.12

28、5均值的预测区间E（Y） 1235.216-2.1344.125 ，1235.216+2.13 44.1254、假设投资函数模型估计的回归方程为：ttt-1,R2=0.8,DW=2.05,n=24tt分别为第 t期投资和国民收I =5.0+0.4Y +0.6I其中 I和Y入(1)对总体参数 ? 1 ,? 2的显著性进行检验 ( =0.05)(2)若总离差平方和 TSS=25 ，试求随机误差项 ut方差的估计量(3)计算 F统计量，并对模型总体的显著性进行检验（=0.05 ）答： (1)首先提出检验的原假设 H0 ：? 1=0 ，i=1 ，2,。由题意知 t的统计量值为t1=4.0,t 2 =3

29、.2 。对于给定的显著性水平 =0.05, ；从附录 4的表 1中，查出 t分布的自由度为 v=21的双侧分数位 t0.05/2 (21)=1.72 。因为 t1=4.0 t 0.05/2 (21)=1.72, 所以否定 H0,? 1 显著不等于零即可以认为第t期投资对国民收入有显著影响；t2 =3.2 t0.05/2 (21)=1.72 。所以否定 H0 ,? 2显著不等于零即可以认为第 t期投资对第 t-1 期投资有显著影响。(2)R 2 =RSS=R 2 TSS=0.8 25=20.u t的方差估计量为：(3)提出检验的原假设 H0:? 1=? 2 =0，F=42 ，对于给定的显著性水平

30、 =0.05 ，从附录 4的表 3中，查出分分子自由度为 2，分母自由度为 21的F分布上侧位数 F0.05/2 (21)=3.47 。因为 F=423.47 ，所以否定 H0 ,总体回归方程存在显著的线性关系，即第 t期投资与第 t-1 期投资和第 t期国民收入的线性关系是显著的。6、已知某地区某农产品收购量 Y，销售量 X1 ，出口量 X2，库存量 X3 的19551984年的样本观测值见下表。试建立以收购量 Y为被解释变量的多元线性回归模型并预测。根据题意可设方程为 Y=0 + 1X1+ 2X2+3 X3,利用 Eview 可知，Dependent Variable: YMethod:

31、Least SquaresDate: 10/29/13Time: 22:55Sample: 1955 1984Included observations: 30VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.X30.1509710.0833181.8119840.0816X22.9240951.6553241.7664800.0891X10.9191200.2358963.8962880.0006C0.4372724.0505750.1079530.9149R-squared0.600052Mean dependent var22.13167Adjus

32、ted R-squared0.553904S.D. dependent var14.47259S.E. of regression9.666307Akaike info criterion7.498736Sum squared resid2429.375Schwarz criterion7.685562Log likelihood-108.4810Hannan-Quinn criter.7.558503F-statistic13.00281Durbin-Watson stat1.153567Prob(F-statistic)0.000022回归方程 Y=0.437+0.919X1+2.924X 2 +0.151X 3第四章非线性回归模型的线性化1某商场 1990 年1998 年间皮鞋销售额 （万元）的统计资料如下表所示。 (表略 )考虑指数模型 lnY= +t+ut，试利用上表的数据进行回归分析，并预测1999 年该商场皮鞋的销售额。答：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/30/13Time: 21:52Sample: 1990 1998Included observa