liu9-7方向导数与梯度.ppt

1、第七节 方向导数与梯度,第九章 多元函数微分法及其应用,复习,第七节,方向导数与梯度,问题的提出,方向导数,梯度,小结,一、问题的提出:,在山坡上沿不同方向,空气沿不同方向流动,z=f(x,y)当(x,y)沿不同方,行走时陡缓不一样.,的快慢不一样.,在数学上,即设函数,向改变时的变化率决定陡缓与快慢.,如图：,二、方向导数,1.定义:,则称,记作,说明:,的变化率.,l与x轴正向一致时,则,反映函数随自变量变化而变化的快慢程度.,l与x轴负向一致时,类似地:,l与y轴正向一致时,l与y轴负向一致时,注:,偏导数与方向导数不一样.,结论：,如： 在 点处沿任一方向,的方向导数为：,但 在 点不

2、可导.,定理,那么函数在,2.方向导数的存在性及其计算方法:,证明,则,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,故,说明:,（1）可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,如： 在 点处沿任一方向,的方向导数为1，,但它在 处不可微（因不可导）.,则,(3)若计算,，只需在题设中找到,例1,解,与它同向的单位向量为：,则所求方向导数为：,例2 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,解,3.推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式,(1)定义：函数 在点 处沿方向,的方向导数.,例3,解,方向余弦为,而,同理得,

3、思考题：,例4,解,由方向导数的计算公式知：,二、梯度,方向导数公式,令向量,方向导数取最大值：,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (x,y,z) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度与方向导数的关系:,（1）区别：,（2）联系：,梯度是向量，方向导数是数量.,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与,方向导数的最小值？,取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数,的最大值梯度的模为,3. 梯度的几何意义,x,y,z,

4、o,c,等高线,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,梯度为等高线上的法向量.,也叫等高线,同样,x,y,z,o,有等值面(等量面),对应函数,当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为,4.梯度与等高线的关系：,- 梯度的几何意义,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例5 求函数 在点,由梯度计算公式得：,梯度,并求该函数在点 处的方向导数的最大值.,解,处的,则该函数在点 处的方向导数的最大值为：,例6,解,则,1992,5.梯度的基本运算公式,证明留给大家,6.物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场（有势场）.,重力场是有势场.,1.方向导数的概念与计算,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,内容小结,2. 梯度,（注意梯度是一个向量）,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,作业P108： 1，5，6，7，10.,预 习：P109-P