高三数学教案：圆锥曲线的定义、性质、方程

1、专题 13圆锥曲线的定义、性质和方程 高考在考什么【考题回放】1已知 abc 的顶点 b、 c 在椭圆 x2 y2 1 上，顶点 a 是椭圆的一个焦点，且3椭圆的另外一个焦点在bc 边上，则 abc 的周长是 (c )（ a） 2 3（ b）6（ c） 4 3（ d） 12x2y21的一条渐近线方程为42已知双曲线a2b2y 3x，则双曲线的离心率为 (a)（ a）54533(b)3(c)4(d )23如果双曲线的两个焦点分别为f1 ( 3,0) 、f2 (3,0) ，一条渐近线方程为y2x ，那么它的两条准线间的距离是（c）a 6 3b 4c 2d 14抛物线 y=4 x2 上的一点 m 到

2、焦点的距离为1，则点 m 的纵坐标是 ( b)17( b )157( d ) 0( a )16( c )1685已知椭圆中心在原点， 一个焦点为 f（ 23 ，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是x 2y211646如图， f 为双曲线 c：x2y21 a0, b0 的右焦点。 p 为双曲线 c 右支a2b2o 为坐标原点。已知四边形上一点，且位于 x 轴上方， m 为左准线上一点，ofpm 为平行四边形， |pf |= |of |。（）写出双曲线c 的离心率 e 与 的关系式；（）当 =1 时，经过焦点 f 且平行于 op 的直线交双曲线于a、b 点，若 |ab|=12，求此

3、时的双曲线方程。y【专家解答 】四边形 ofpm 是 ， | of | | pm | c ，h2mp作双曲线的右准线交pm 于 h ，则 | pm | |ph |2a，xc| pf | of |c22ofe，又 ea2c22a2e22| ph |c2e2e 20 。c（）当1 时， e2， c2a， b23a2 ，双曲线为x2y21 四边形4a23a2第 1页共10页ofpm 是菱形， 所以直线op 的斜率为3 ，则直线 ab 的方程为 y3( x2a) ，代入到双曲线方程得：9x248ax60a20 ，又 ab12 ，由 ab1k2( x1x2 )24x1 x2 得：12 2 ( 48a )

4、24 60a2，所以 x2y299解得 a2 9，则 b2271为所求。449274 高考要考什么【考点透视】椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。【热点透析】主要题型：（ 1）定义及简单几何性质的灵活运用；（ 2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答题一般在中等难度以上，一般具有较高的区分度。 突破重难点【范例 1】过椭圆左焦点 f，倾斜角为 60 的直线交椭圆于 a、b 两点，若 |fa|=2|fb|，则椭圆的离心率为 ( b )(a)22123(b)(c)(d)322解：设点 a 、 b 到椭圆左准线的距离分别

5、为d1， d2， fa =r1， fb =r 2，则 r12r2=e，即 d1=2r2，同理 d2= r2，两式相减得 r2d1d2 .d1d1eee因为直线 ab 的倾斜角为 60 ，2|d1-d22|=|ab|=3 r2， e=3【点晴】 本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60 倾斜角、 |fa|=2|fb |这两个条件与椭圆的离心率建立联系。【文】 若 f 1、 f2 为双曲线x2y 222 1 的左、右焦点， o 为坐标原点，点 p 在双曲ab线的左支上，点m 在双曲线的右准线上，且满足：f1o pm , op(of1om) (0) ，of 1om则该双曲线的离心率为（）a 2b 3c

6、 2d 3第 2页共10页解：由 f opm 知四边形 f1 omp 是平行四边形，又 op ( of1om )1of 1om知 op 平分 f 1om ，即 f1omp 是菱形，设 |of 1|=c，则 |pf 1|=c .又 |pf 2|-|pf 1|=2a， |pf 2|=2a+c ，由双曲线的第二定义知e2ac21,且 e1， e= 2，故选 c.ce【范例2】定长为 3 的线段 ab 的两个端点在 y=x 2 上移动， ab 中点为 m，求点 m到 x 轴的最短距离。分析： （ 1）可直接利用抛物线设点，如设a(x1， x12)， b(x2， x22)，又设 ab 中点为m(x0,y

7、0 )用弦长公式及中点公式得出y0 关于 x0 的函数表达式， 用函数思想求出最短距离。（ 2）m 到 x 轴的距离是一种“点线距离 ”，可先考虑 m 到准线的距离， 想到用定义。解法一： 设 a( x1， x12)， b(x2， x22)， ab 中点 m(x0， y0)( x1x2 )2( x12x22 ) 29则 x1x22x0x12x222 y0由得 (x1-x2 )21+( x1+x2)2=9 ， 即 (x1+x2)2-4x1x2 1+( x1+x2)2=9由、得2x12020020代入得 (2x02-(8x0201+(202=9x =(2 x ) -2y =4x-2y)-4y )x

8、 ) 4 y04 x0292 ，1 4 x04 y04x029(4 x021)912 9 1 5,y054x0214 x0214当 4x2即 x02时， ( y0 ) min525)0 +1=32此时 m (2,44法 2：如图 2 mm 2aa2bb2afbfab3y313b mm 2， 即 mm 1，m242a mm 15， 当 ab 经过焦点 f 时取得最小值。a10 m14b1x5 m 到 x 轴的最短距离为2m224abx1， x2，从而形成【点晴】 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消y0 关于 x0的函数，这是一种 “设而不求 ”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将

9、中点 m 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为a、b 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁 ”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证ab 是否能经过焦点 f ，而且点 m 的坐标也不能直接得出。请思考：当|ab |在什么范围内取值时不能用解法二？【文】（北京卷） 椭圆 x2y21(a, b 0) 的两个焦点 f 1、f 2，点 p 在椭圆 c 上，a2b2第 3页共10页且 pf1 pf2，| pf 1|= 4 ， | pf 2|= 14 .33（ i）求椭圆 c 的方程；（ ii ）若直线

10、l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 m 交椭圆于 a、 b 两点，且 a、b 关于点 m 对称，求直线 l 的方程。解法一： ( )因为点 p 在椭圆 c 上，所以2apf1 pf2 6 ， a=3.在 rt pf 1f 2 中， f1 f2pf2222 5, 故椭圆的半焦距c= 5 ,pf1从而 b2=a2 c2=4, 所以椭圆 c 的方程为x 2y 29 1.( )设 a4，b 的坐标分别为（ x ,y ）、（ x ,y ） .1 122由圆的方程为（ x+2）2+(y1) 2=5,所以圆心 m 的坐标为（ 2，1）.从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆

11、c 的方程得（ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为 a，b 关于点 m 对称 .所以 x1x218k 29k2.8 ，249k 2解得 k98 (x所以直线 l 的方程为 y2) 1,即 8x-9y+25=0.(经检验，符合题意 )9解法二： ( )同解法一 .( )已知圆的方程为（x+2） 2 +(y 1) 2=5,所以圆心 m 的坐标为（2， 1）.设 a，b 的坐标分别为（ x1,y1） ,(x2,y2).由题意 x1x2 且x12y121,9422x2y21,94( x1x2 )( x1 x2 )( y1 y2 )( y1 y2 )由得940.因

12、为 a、b 关于点 m 对称，所以 x1+ x2= 4, y1+ y2=2,y1y28，即直线l 的斜率为8，代入得x1x299所以直线 l 的方程为 y 1 8 （ x+2），即 8x9y+25=0.9( 经检验，所求直线方程符合题意.)【范例 3】如图 1，已知 a、b、c 是长轴为4 的椭圆上三点，点a 是长轴的一个顶点， bc 过椭圆中心uuur uuuruuuruuuro，且 ac ? bc0 ， bc2 ac 。（ 1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（ 2）如果椭圆上两点 p、 q 使直线 cp、 cq 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形， 是否总存在实数第 4页 共10页

13、图 1uuuruuur使 pqab ？请给出证明。解：（ 1）以 o 为原点， oa 所在的直线为x 轴建立如图直角坐标系，则a（ 2， 0），椭圆方程可设为x2y21(0 b 2) 。4b2而 o 为椭圆中心，由对称性知|oc|=|ob|uuuruuur又 ac ? bc 0 ，所以 ac bcuuuruuur又 bc2 ac ，所以 |oc| |ac| ，所以 aoc 为等腰直角三角形，所以点c 坐标为（ 1， 1）。将（ 1， 1）代入椭圆方程得 b2 4，则椭圆方程为x23y21。344（ 2）由直线 cp、cq 与 x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线cp 的斜率为 k，则直

14、线 cq 的斜率为 k，直线 cp 的方程为 y=k (x-1)，直线 cq 的方程为 y=-k (x-1)。由椭圆方程与直线 cp 的方程联立，消去 y 得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2 -6k-1=0 因为 c（ 1， 1）在椭圆上，所以x1 是方程的一个根，于是3k 26k 13k26k 1xp3k 2同理 xq3k 211这样， kpqypyq1， 又 b（ 1， 1），所以 kab1xpxq3，uuuruuur3即 kab=k pq。所以 pqab，存在实数使 pqab 。【点晴】 利用斜率互为相反数关系，整体替换，可简化解题过程。【文】（ 06 上海春 ）学校科技小

15、组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2y 21001 ，变轨（即航天器运行25轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、 m 0,64为顶点的抛物7线的实线部分，降落点为d( 8, 0 ) . 观测点 a( 4, 0)、 b( 6, 0) 同时跟踪航天器.（ 1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（ 2）试问： 当航天器在 x 轴上方时， 观测点 a、 b 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（ 1）设曲线方程为yax 264，由题意可知， 0 a 6464.a1.164777曲线方程为 yx

16、2.7 7（ 2）设变轨点为 c( x, y ) ，根据题意可知第 5页共10页x2y21,(1)10025y1x264(2)7,7得 4y 27y360 ，y4 或 y9 （不合题意，舍去） .y44.得 x6 或 x6 （不合题意，舍去） .c 点的坐标为 ( 6, 4 ) ， | ac | 2 5,| bc | 4 .答：当观测点a、 b 测得 ac 、 bc 距离分别为2 5、 4 时，应向航天器发出指令 .【范例 4】过抛物线 x2=4y 上不同两点 a、 b 分别作抛物线的切线相交于p 点，pa pb0.（ 1）求点 p 的轨迹方程；（ 2）已知点 f（ 0，1），是否存在实数使得

17、 fa fb( fp) 20 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由。解法（一）：（1）设 a( x1, x12), b(x2 , x22), ( x1x2 )44由 x24 y,得： yxkpax1 ,kpbx2222pa pb 0,pa pb, x1x24直线 pa 的方程是 yx12x1 (xx1 ) 即 yx1 x x124224同理，直线 pb 的方程是：yx2 xx2224x1x2x2(x1, x2r)y1(xr).由得：点 p 的轨迹方程是x1x2y1,4x12fbx22x1x2,1)（ 2）由（ 1）得： fa ( x1,1),(x2 ,1), p(442fp( x1 x2

18、, 2), x1 x24，fafbx1x2( x121)( x221)2x12x222x2 )2x12x22444(fp )2( x142 ，所以 fa fb( fp) 2044故存在=1 使得 fa fb(fp)20解法（二）：（1）直线 pa、 pb 与抛物线相切，且pa pb0,直线 pa、pb 的斜率均存在且不为0，且 papb,第 6页共10页设 pa 的直线方程是ykxm(k, mr,k0)ykxm4kx4m0由4 y得： x2x216k 216m0 即 mk 2即直线 pa 的方程是： ykxk 2同理可得直线pb 的方程是： y1 x1k 2kk 2ykxxk1r由1x1 得：

19、kykk2y1故点 p 的轨迹方程是 y1(xr).（ 2）由（ 1）得： a(2k, k 2 ), b(2 , 12 ), p(k1 ,1)2 , 1kkk1 , 2)fa (2k, k 21), fb(1) ， fp(k4 (k 2 1)( 12kk 212 )kfa fb1)2 (k 2( 1k1k(fp )2k)24 2 (k 2)kk 2故存在=1 使得 fa fb(fp)20【点晴】 抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点。解法一、解法二是解决抛物线切线问题的常用方法，应熟练掌握。【文】 已知 abc 的两顶点 a、 b 分别是双曲线2x2-2y2=1 的左、右焦点 ,

20、 且 sinc是 sina、sinb 的等差中项 .（）求顶点 c 的轨迹 t 的方程；作直线 l 交轨迹 t 于 m、 n 两点，问 mpn 的大（）设 p(-2,0), 过点 e（ 2，0）7小是否为定值？证明你的结论.解： ( ) 由条件知a (-1 , 0 ) , b (1 , 0 )，且 sina + sinb = 2sinc |bc| + |ac | = 2|ab| = 4点 c 的轨迹是以 a、b 为焦点，长轴长2a = 4 的椭圆（不包括x 轴上两点） .点 c 的轨迹 t 的方程是 x22y=1 (x 2)43y 2( ) 当 l x 轴时，直线 l 的方程为 x =2 ，代

21、入 x 2=1 解得 m、 n 的坐标为743（212,），而 |pe| = 12 ， mpn = 90 ，777猜测 mpn= 90为定值 .证明：设直线l 的方程为 my = x + 2 ，x = my2773x2 + 4y2 = 12第 7页共10页由，得 (3m2 + 4) y 212 my576 = 074912m576 y1 + y2 =24)， y1 y2 =24)7(3m49(3m pm pn = ( x1 + 2 , y1) (x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) ( x2 +2) + y1 y2= ( my1 + 12 ) (my2 + 12 ) + y1 y2

22、 = (m2 +1) y1 y2 + 12 m (y1 + y2) + 14477749=( m2 +1)576+ 12 m12m4)+ 144 = 049(3 m24) 77(3m249 mpn = 90 ，为定值 . 自我提升1. 若椭圆经过原点，且焦点为f 1（ 1，0）， f2 （， 0），则其离心率为（c ）a.32114b.c.d.3242.双曲线的虚轴长为4，离心率 e6， f 1、 f 2分别是它的左，右焦点，若过f12的直线与双曲线的左支交于a、b两点， 且 |ab|是 |af 2|与 |bf2|的等差中项， 则 |ab|为（a ）.a 、 82b、 42c、 22d、 83

23、. f1、f2 为椭圆两个焦点， q为椭圆上任一点， 以任一焦点作 f1 qf2的外角平分线的垂线，垂足为 p，则 p点轨迹为（ a） .a 、圆b、椭圆c、双曲线d、抛物线4双曲线x 2y 21的左支上一点 p， o为 pf1f 2的内切圆，则圆心o的横坐a 2b 2标为（ b） .a 、 ab 、 -ac、caac2d、2| x | y |则 (c)5. 已知点 f1(-4,0) ， f2 (4,0), 又 p(x,y)是曲线31 上的点 ,a. |pf |+|pf |=10510d. |pf|+|pf |10b. |pf |+|pf |b0）的两焦点，过1的弦 ab2组成等腰直6. f、

24、fa 2b2f与 f角三角形 abf 2，其中 baf 2=900，则椭圆的离心率是_ 637已知椭圆 e 的离心率为e，左、右焦点为f 1、 f2，抛物线 c 以 f2为焦点， f1为其顶点，若p 为两曲线的公共点，且e|pf 2|=|pf 1|，则 e _ 。338已知 o： x2+y2=4，一动抛物线过a（ 1，0）、 b（ 1，0）两点，且以圆的切线为准线，则动抛物线的焦点f 的轨迹方程为 _x 2y 21， y 0439如图，已知三点a(7, 0)， b(7,0) ， c(2,12).第 8页共10页 若椭圆过 a、b 两点，且 c 为其一焦点，求另一焦点 p 的轨迹方程； 若双曲线

25、的两支分别过a、b 两点，且 c 为其一焦点，求另一焦点q 的轨迹方程。解析： 由椭圆定义知， |ap| |ac| |bp| |bc|，即 |pb| |pa|ac|bc|2| ab| 14故 p 的轨迹为 a （ 7， 0）、 b（ 7， 0）为焦点实轴长为2 的双曲线的一支，其方程为 x 2y 21( x 0) ；48a 在双曲线的哪一支上, 经讨论知，无论总有 |qa| |qb| |ac| |bc| 28 |ab| 14故点 q 的轨迹为以 a （ 7，0）、 b（ 7， 0）为焦点长轴长为28 的椭圆，其方程为x2y 21 。196147x2y25) 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准10已知椭圆m1(2 mm1线从左到右依次变于a、b、c、d，设 f(m)=|ab|-|cd |,（ 1）求 f(m),（ 2）求 f(m)的最值。解：（ 1）椭圆 x 2y21 中， a2221mm 1=m， b =m-1， c =1，左焦点 f (-1,0)则 bc:y=x +1,代入椭圆方程即 (m-1)x2+my2-m(m-1)=0yd得